第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(四)代数

1、第八届“启智杯数学思维能力竞赛集训四代数-假设与逆推【备注】一、考察的思维品质 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。二、考察的思维能力1发散性思维能力：直觉思维数学直觉和数学灵感；形象思维数学表象和数学想象。2收敛性思维能力：逻辑思维形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。3、解决问题时，从问题所述的最后结果出发，一步一步倒着往前推，直到问题解决，叫做逆推思维；从假设条件入手，先假设某个条件或某个现象成立，或假设一个具体的数量，用这个具体数量和其他条件一起分析数量关系，再根据出现的矛盾，加以适当调整，最后解决问题，叫做假设推理思维。同步练习1当X= ，Y= 时，下面竖式成立。 【参考答

2、案】逆向思维。因为87=56，所以Y=7,X=5.2.某班女同学人数是男同学的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克。全部同学的平均体重是多少千克？【参考答案】设女生为1人，男生为2人，全班同学的平均体重为3. 阅读以下文字，并答复： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和例如，上面的真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和，反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止，我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组。如：对于假分数，所生成的自然数组为，请答复：1所生成的自然数组为 2某个假分数所

3、生成的自然数组为1，2，3，4，这个假分数为多少？【参考答案】16+，所生成的自然数组为6，1，2，22逆推：4由得到，3由3+得到，原数是，2由2+得到，原数是，1由1+得到，原数是，所以原数是。4. 有3个不同的自然数组成一等式： += 这三个数中最多有 个奇数。【参考答案】假设三个数都是奇数，那么奇+奇+奇=奇，而奇奇-奇=偶；假设三个里有2奇1偶，那么奇+奇+偶=偶，而奇奇-偶=奇，或奇偶-奇=奇，都为奇；假设三个数里有1奇2偶，那么奇+偶+偶=奇，而偶偶-奇=奇。所以最多有1个奇数，举例：2+4+1=24-1.5某手表每小时比准确时间慢3分钟，假设在清晨4点30分与准确时间对准，那么

4、在当天上午手表指示时间为10点50分时，请问准确时间应该是几点几分？【参考答案】设所求的准确时间为X小时，由题意得：，解得x=11小时=11时10分。或：设所求的准确时间为分钟，解得：=400，400分钟=6小时40分。即准确时间为11时10分。6. 把乒乓球装在8个盒子中，每盒装的个数分别为1个、3个、9个、27个、81个、243个、729个、2187个。从这8个盒子中每次取其中的1盒或取其中的几盒，计算乒乓球的个数之和，可以得到255个不同的和。如果把这些和从小到大依次排列起来，是1个、3个、4个、9个、10个、12个、，那么第250个数是多少？【参考答案】首先应该想到，不能用从取1盒、2

5、盒、计算乒乓球个数之和的方法去寻找第250个和是多少个。根据题意，第255个乒乓球个数之和是很容易计算出来的，而第250个乒乓球个数之和是与之相差不多的，然后倒着往回来计算，就可以得出结果了。根据，第255个乒乓球之和是139278124372921873280；于是第254个乒乓球个数之和应是328013279；第253个和是328033277；第252个和是3280133276；第251个和是328093271；第250个乒乓球个数之和是3280913270。7. 从一副扑克牌中至少要取出多少张牌才能保证有4张牌的花色是一样的.【参考答案】3黑+3红+3梅+3方+2王+1=15张8.从一副

6、扑克牌中至少要取出多少张牌才能保证有3张牌的点数是一样的.【参考答案】13黑+13红+2王+1=29张9. 从150中至多取出多少个自然数，任意两个数的和都不是6的倍数?【参考答案】506=82，从1至50，这50个数，被6除余1的有9个；被6除余2的有9个；被6除余3的有8个；被6除余4的有8个；被6除余5的有8个；被6除余0的有8个.取被6除余1的与余2的全部；被6除余3的与余0的各取1个，共9+9+1+1=20个。10.从1、2、31988、1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？21教育网【参考答案】把1-1989这些数按顺序每4个为一组，19894=

7、497组1人，共498组，其中最后一组只有1989这一个数。分别是：(1)1,2,3,4;25,6,7,8;39,10,11,12;(497)1985,198,1987,1988;(498)1989,每组中的每两个数的差都不是4，每隔一组的8个数每两个数的差也不是4，为了尽量多，应取第1，3，5，497组中的数，共49824=996个数。11.有5050张数字卡片，其中1张上写着1，2张上写着2，3张上写着3100张上写着100。现在要从中抽取假设干张，为了确保抽出的卡片至少有10张的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？【版权所有：21教育】【参考答案】取1张1，2张2，3张3，4张4，9张9

8、，9张10，9张11，9张99，9张100，最后再取任意1张，共1+2+3+9+919+1=865张。12.a、b、c、d为整数，满足等式那么d= 。【参考答案】，a=1，b=2，c=3，d=4.13. 一个三位数除以43，商是a，余数是b，a、b均为自然数，ab的最大值是多少？【参考答案】因为余数要比除数小，设余数最大为42，a应该小于100043=2311，所以a=22,这个三位数是4322=988，所以a+b=42+22=64.14. 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人。如果每人最多参加两科竞赛，那么参加两科竞赛的最多有多少人？【参考

9、答案】设每两科都参加的人数分别为a、b、c，要使单科都参加的人数尽可能地少，令它为0，那么a+b=28,b+c=23,c+a=20，这样a+b+c=28+23+202=351，所以参加两科竞赛的人数最多有35人。15.小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人准备到肯德基去开生日派对，每人都有2张肯德基的优惠劵，集中到一起一看，原来是从1元的到10元的各有一张。他们各自的优惠劵加在一起的情况是：小赵的是小钱的2倍；小钱的是小孙的2倍；小李是小周的2倍。请问：小赵的2张优惠劵分别是几元的和几元的？【参考答案】小赵、小钱、小孙的合计钱数的比是421，另外，每个人的钱数的合计，最小是312元，最大是1910

10、9元。那么，以上三人的钱数是如下两种情况：12，6，3；16，8，4。 如果是的情况，三人的合计是21，剩下的小李和小周的合计钱数是55从1到10的和2134元，这样的话，比例不是21，所以不成立。如果是的情况，两人的合计钱数是55168427元。小李小周是21，分别是18元和9元。这时，我们已经知道所有人的钱数：小赵是7元9元；小钱是2元6元；小孙是1元3元；小李是8元10元；小周是4元5元。综上所述，小赵的优惠劵是7元的和9元的。16.王乐乐每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出50个，肥皂泡吹出之后，经过一分钟有一半破了，经过二分钟还有没有破，经过两分半钟肥皂泡全破了。王乐乐在第30次吹出50

11、个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有多少个？【参考答案】从王乐乐第30次吹出肥皂泡算起，递次向前推算。王乐乐第30次吹出50个肥皂泡时，第29次吹出的肥皂泡还有没有破，第28次吹出的肥皂泡还有没有破，第27次和以前吹出的肥皂泡全破了。将第30次、29次、28次的肥皂泡相加得到：50(1)80(个)。17.直线上放有6枚棋子，每一枚棋子要么是黑色，要么是白色。我们对棋子上的所有棋子进行以下操作：每相邻的两枚棋子，如果它们的颜色相同，那么在它们之间放一枚白子，如果它们的颜色不同，那么在它们之间放一枚黑子，然后将原来所有的棋子移走，称为一次操作。如果共经过两次操作，直线上剩余的4枚棋子都是白子，请

12、问最初的6枚棋子的颜色有多少种可能的排列方式？【参考答案】采用逆推法，考虑每次操作前的状态，当操作后出现一颗白子时，那么操作前为两颗同色的棋子，即操作后操作前当操作后出现一颗黑子时，那么操作前为两异色的棋子，即操作后操作前依此逐步向前推导，即可得以下4种排列方式。18.四个自然数的任意三个数的和分别是153，187，215，264，那么这四个自然数中最大的数是多少？【参考答案】设这四个自然数分别为a、b、c、d，由题意得：abc153，abd187， acd215， bcd264，四个式子相加得：3abcd153187215264819，那么abcd8193273，那么这四个数中最大的数d273153120.19.盒子里有30个红球和白球，甲、乙、丙各拿了其中的10个。甲拿的红球数是乙的白球数的2倍，乙拿的红球数是丙的白球数的2倍。又知白球的总数是奇数，那么盒子里红球共有多少个?【参考答案】由“乙拿的红球数是丙的白球数的2倍可知，乙拿的红球、白球数都是偶数；由“甲拿的红球数是乙的白球数的2倍又可知，甲拿的红球、白球也都是偶数。又因为白球的总数是奇数，所以丙拿的红球、白球数都是奇数。又因为“乙拿的红球数是丙的白球数的2倍，所以丙拿的白球数只能是1个、3个或5个。当丙拿的白球数为1个时，乙拿的红球有2个，那么乙