大一上学期第一学期高数期末考试题有答案

1、i4.设f (x)是连续函数，且2x(A)2(B)(C)二、填空题(本大题有4小题，每小题(D) x 2.4分，共16分)5.lximo(13x)sin x6.已知粤是f(x)的一个原函数，则 fg 20%*二x大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f (x) = cos x( x+ |sinx ),则在x= 0处有()(A)f(0)=2(B) f (0)= 1(C f (0)= 0( D)f(x)不可导.1 _ xn设(X)二二一,x)=3 33x,则当 x 1 时()2.1 x.(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B):(x)

2、与(x)是等价无穷小；(C)(X)是比-(x)高阶的无穷小；(D)(X)是比(X)高阶的无穷小.x3.若 F (x)二 0 (2t-x) f(t)dt，其中 f(x)在区间上(一 1,1)二阶可导 且 f (x) 0，则().(A) 函数F(x)必在x = 0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x = 0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y = F(x) 的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0, F (0)也不是曲线y二F(x)的拐点1f (x) = x 2 o f (t)dt ,贝 y f (x)=(3 / 57.2n _ 1li

3、m (cos2 cos2cos2)=n n nnn8.2 x arcsin x 1 dx =1 1 - x22三、解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)9.设函数y = y(x)由方程exsin(xy)确定，求 y(x)以及 y (0).io.x(1 x )dx.11.12.xe,x兰0i设 f(x) 求 3f(x)dx*2x x2,0cxE1设函数f(x)连续，1g(x)二 f(xt)dt lim f (x) = A0，且 J0 x , A 为常数.求g(x)并讨论g(x)在x=o处的连续性.13.求微分方程xy 2y = xlnx满足y(1)19的解.四、解答题(本大题10分)1

4、4. 已知上半平面内一曲线 y二y(x) (x 一0),过点(0,1),且曲线上任一点M(Xo,y。)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线X=Xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线 方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln x的切线，该切线与曲线 y = ln x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得 旋转体的体积V.六、证明题(本大题有 2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在0,1】上连续且单调递减，证明对任意的q，0,1,q1f (x) d x - q f (x) dx00.nr TJ f

5、 (x) d x = 017. 设函数f(x)在0二1上连续，且0,JIf ( x) cosx dx 二 00.证明：在0,二内至少存在两个不同的点xF (xH f (x)dx1,2，使 f ( 1)- f ( 2)- 0(提示：设0解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C5.二、填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共1“COSX、26 () Ce . 6. x .7.2. 8.、解答题(本大题有 5小题，每小题8分， 解：方程两边求导ex y(1 y ) cos(xy)(xy y) = 0ex y ycos(xy)y(x) b e + x c

6、os(xy)x = 0, y = 0y (0) = -1解： u = x7 7x6dx=du原式=-7 u(1 +u)1(ln |u| -2ln |u 1|) c12ln | x71ln |1 x71 C77f (x)dxxedx2x-x2dx-33001 -严(-)0 1J；9.10.11.解:16分)JI3共 40 分)57(召-(x -1)2dx|l_-xe-e：匸cos2兀32e31412.解：由 f(0)-051g(x)二 f (xt)dt =0知 g(0)二 0。xJ f (u)duxt -u0(x=0)xxf(x)- f (u)du g(x)0rx(x = 0)5 / 5xf (

7、u)dug (0) = lim 2lim f(x)= Ax)0x2x 0 2x 2xxf(x) - f(u)du!卵（口*li .A A xm0x2-， g(x)在 x = 0处连续。dy 2 y = ln x2dxx Inxdx C)13.解：dx xy 二e1I_2xln x - 一 x Cx31 1 1 y（1） ,C = 0 y xlnx x9，39四、解答题（本大题1分）x14.解：由已知且八2oydxy，将此方程关于X求导得y =2y y特征方程：r2-r-2=0解出特征根：口一12 = 2其通解为y=C1eC2e2x2x|x ( eC _2 C _1。飞 C231 2xe31代入

8、初始条件y（）= y（）=1，得=2_x故所求曲线方程为：y？e五、解答题（本大题1分）,切线方程:15.解：（1 ）根据题意，先设切点为（xojnx。）1y Tn Xo 二（x - x）Xo由于切线过原点，则平面图形面积解出Xo=e，从而切线方程为:1 y1A 二（e ey）dye-11 一 2e3e 一周o2Vi，则1X =（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为 曲线ywx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线 所得旋转体体积为V21V2 二（e - ey）2dy07 / 5D绕直线 x = e旋转一周所得旋转体的体积兀2V 二V -V(5e -12e 3)6六、证明题(本大

9、题有 2小题，每小题4分，共12分)qiqq1f (x) d x - q f (x)dxf (x) d x - q( f (x) d xf (x)dx)16.证明：0000qqi=(1 -q) f(x)dx-q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( i)(2)=q(1-q)f)-q(1-q)f(J)K 0故有：q1f (x) d x q f (x) dx00证毕。17.证：构造辅助函数:续，在(0,二)上可导兀0 =由题设，有 0xF(x) = f(t)dt ,Qx071。其满足在0“】上连F (x)二 f(x)，且 F(0) = F()=0兀斤 兀| f (x)cosxdx = JcosxdF (x) = F ( x)cosx|0 + J sin x F (x)dx0 0 0 ，F(x)sinx