毕达哥拉斯与勾股定理

1、毕达哥拉斯与勾股定理 我们在初二已经学习过勾股定理。 在国外， 尤其在西方， 勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为 最早发现直角三角形具有“”这一性质并且最先给出严格 证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（ Pythagoras ，约公元 前580前500年）。 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定 理的某些特例。除我国在公元前 1000 多年前发现勾股定理 外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定 直角。 但是， 这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家 M克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃 及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们

2、有拉绳人 （测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5 的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何 文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于 公元前 2019 年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证， 其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30 个单位的棍 子直立在墙上，当其上端滑下 6 个单位时，请问其下端离开 墙角有多远？”这是一个三边为为 3:4:5 三角形的特殊例 子；专家们还发现， 在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表， 表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一 列为从 1到 15 的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着

3、15 组勾股数。这说明，勾股定理实际上 早已进入了人类知识的宝库。 无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了 勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这 同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全 人类的共同财富。值得一提的是：在发现这一共同性质后的 收获却是不完全相同的。下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾 股定理”为例，做一简单介绍：一、毕达哥拉期定理 毕达哥拉斯是一个古希腊人的名宇。生于公元前 6 世纪的毕 达哥拉斯，早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印 度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里 组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体一一

4、毕达 哥拉斯学派， 这个学派非常重视数学， 企图用数来解释一切。 他们宣称，数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于 实用，而是为了探索自然的奥秘。他们对数学看法的一个重 大贡献是有意识地承认并强调；数学上的东西如数和图形是 思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。有些原 始文明社会中的人（如埃及人和巴比伦人）也知道把数脱离 实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认 识程度，与毕达哥拉斯学派相比，是有相当差距的。而且在 希腊人之前， 几何思想是离不开实物的。 例如，埃及人认为， 直线就是拉紧的绳或田地的一条边；而矩形则是田地的边 界。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧

5、密联系起 来。正因为如此，毕达哥拉斯学派在他们的探索中，发现了既属 于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公 式：若 2n+1, 分别是两直角边，则斜边是（不过这法则并不 能把所有的整勾股数组表示出来） 。也正是由于上述原因， 这个学派通过对整勾股数的寻找和研究，发现了所谓的“不 可通约量”例如，等腰直角三角形斜边与一直角边之比 即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达。为此， 他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”，意即 相比两量可用公共度量单位量尽，而把不能这样表达的比称 做“不可公度比”。像我们今日写成： l 的比便是不可公度 比。至于与 1 不能公度的证明也是毕达

6、哥拉斯学派给出的。 这个证明指出：若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公 度，那么，同一个数将既是奇数又是偶数。证明过程如下： 设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为： ，并设这个比已 表达成最小整数之比。根据毕达哥拉斯定理，有。由于为偶 数即为偶数，所以必然也是偶数，因为任一奇数的平方必是 奇数（任一奇数可表示为 2n+1 ，于是，这仍是一个奇数。 但是：是既约的，因此，必然不是偶数而是奇数，既然是偶 数，故可设 =2。于是。因此， ，这里，是个偶数，于是也是 偶数，但是同时又是个奇数，这就产生了矛盾。 关于对毕 达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料 是欧几里得（公元前 300 年左右）所著的几何原本第一 卷中的命题 47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边 上的两个正方形之和”。其证明是用面积来进行的。 如下图，可证图1 ABD FBC矩形 BL=2AABD正方形GB= 2凸FBG于是矩形BL=正方形GB同样有 矩形CL=E方形AK）所以正方形GB+E方形AK=E方形BEo 毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究及其收获由此可见一般。 实际上，毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研 究；以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为 主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式。而 毕达哥