几何证明专题三

1、几何证明专题三适用学科初中数学适用年级九年级适用区域广东省课时时长（分钟）60知识点三角形的概念，特殊平行四边形性质，相似三角形教学目标理解三角形全等的证明，特殊平行四边形的证明方法教学重点全等三角形的证明及应用教学难点特殊平行四边形的灵活应用教学过程一、课堂导入我们前面学习的内容基本都是数与式的关系，但几何图形又有什么联系呢？二、复习预习一、线与角1、两点之间，线段最短。2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。3、等角的补角相等，等角的余角相等。4、对顶角相等。5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。6、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）

2、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。8、平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。二 全等图形:9、全等多边形的对应边、对应角分别相等。10、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形；互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。11、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。12、全等三角形的判定：（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三个角全等。（SSS）（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么

3、这两个三角形全等。（SAS）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（ASA）（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）。（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（HL）三、知识讲解考点1线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分

4、成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点2平行线 1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。考点3 全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两

5、角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点4相似三角形1、相似三角形的概念对应角相等，对应边

6、成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCABC，则ABCABC（3）传递性：若ABCABC，并且ABCABC，则ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个

7、三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应

8、角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。考

9、点5，特殊四边形特殊四边形的有关性质、判定：图形性质判定对称性平行四边形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。中心对称矩形对边平行且相等；四个角都相等都是直角；对角线互相平分且相等。有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形。轴对称中心对称菱形对边平行且四条边都相等；对角相等；对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。有一组邻边相等的平行四边形；四条边相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形。轴对称中心对称正方形对边平行且

10、四条边都相等；四个角都相等都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形；两条对角线垂直的矩形；两条对角线相等的菱形。轴对称中心对称等腰梯形一组对边平行而另一组对边不平行，两腰相等；同一条底边上的两个角相等；对角线相等。两腰相等的梯形；同一条底边上的两个角相等的梯形；两条对角线相等的梯形。轴对称四、例题精析考点1 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质例1如图，在RtABC中，C=90，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE（1）证明DECB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边

11、形DCBE是平行四边形【规范解答】（1）证明：连结CE点E为RtACB的斜边AB的中点，CE=AB=AEACD是等边三角形，AD=CD在ADE与CDE中，ADECDE（SSS），ADE=CDE=30DCB=150，EDC+DCB=180DECB（2）解：DCB=150，若四边形DCBE是平行四边形，则DCBE，DCB+B=180B=30在RtACB中，sinB=，sin30=，AC=或AB=2AC当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形【总结与反思】此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质考点2 相似

12、三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质例2【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由【规范解答】（1）证明：ABC、AMN是等边

13、三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN【总结与反思】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解

14、答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论考点3等腰三角形的性质；三角形三边关系例3等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A12B15C12或15D18【规范解答】解：当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；当3为腰时，其它两边为3和6，3+3=6=6，不能构成三角形，故舍去，答案只有15故选B【总结与反思】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键考点4梯形；等腰三角形的判

15、定与性质例4如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，连结BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为（）【规范解答】解：延长AE交BC于F，AE是BAD的平分线，BAF=DAF，AECD，DAF=AFB，BAF=AFB，AB=BF，AB=，BC=4，ADBC，AECD，四边形AFCD是平行四边形，故选B【总结与反思】本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线五、课堂运用【巩固】1，如图，在ABC中，CAB=75，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB=（）A30B35C40D50【规

16、范解答】解：ABC绕点A旋转到ABC的位置，AC=AC，BAC=BAC，CCAB，CAB=75，ACC=CAB=75，CAC=1802ACC=180275=30，BAB=BACBAC，CAC=BACBAC，BAB=CAC=30故选A2、等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A25B25或32C32D19【规范解答】解：当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；当6为腰时，其它两边为6和13，6+613，不能构成三角形，故舍去，答案只有32故选C3、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点

17、F为边DC的中点，DGAE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A2B4C4D8【规范解答】解：AE为ADB的平分线，DAE=BAE，DCAB，BAE=DFA，DAE=DFA，AD=FD，又F为DC的中点，DF=CF，AD=DF=DC=AB=2，在RtADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在ADF和ECF中，ADFECF（AAS），AF=EF，则AE=2AF=4故选B4、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A4B5C6D8【规范解答】解：如图，满足条件的点M的个数为6故选C课程小结1

18、、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定

19、的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形