工程问题教学讲义

1、 第十讲 工程问题1、 教学目标1. 理解工程问题中三个基本概念及它们之间的关系；掌握工作总量可以用单位“1”来表示，工作效率用单位时间内完成的工作量的几分之一来表示。2. 培养学生利用已有知识解决新问题的能力；培养学生的抽象逻辑思维能力。3. 掌握解决工程问题中的拆合思想。4. 通过联系实际生活，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新精神。二、教学重点与难点1. 教学重点：理解工程问题中的数量关系，找等量关系的式子。2. 教学难点：如何找出对应的工作效率和工作量，从而求出工作时间。三、教学用具：无。四、教学过程 导入同学们，元旦就要到来了，为了迎接新年，老师给明明和芳芳布置了一项任务，要求他们为

2、我们班做450面小红旗。根据去年的统计，芳芳如果单独做要15天做完，明明单独做要10天做完。为了尽早完成，老师要求他们两人合作，那么，需要多少天他们就可以做完呢？师：老师先请同学们回答下面的问题？ 生： （1） 芳芳一天可以做多少面小红旗？ 45015=30（面）（2） 明明一天可以做多少面小红旗？ 45010=45（面）（3） 如果合作，他们一天可以做多少面小红旗？ 3045=75（面）（4） 一共需要多少天？ 45075=6（天） 师：同学们很快能回答出老师的这几个问题的答案，那么我们一起来看看这个问题所涉及到的数量关系：450面小红旗是老师安排的总任务，我们称它是工作总量，15天和10天

3、分别是芳芳和明明完成这项任务的工作时间，由此我们可以知道他们每天完成的量，这个量我们称之为工作效率，简称工效。在实际生活中，探讨工作总量，工作时间和工作效率之间关系的问题我们统称为工程问题。根据上面的例子我们发现这三者之间存在这样的数量关系： 生：工作总量=工作时间工作效率 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率师：实际的工程问题往往不知道工作总量的实际数量，一般情况下我们把工作总量看做单位“1”。通过下面的例子，我们一起来看看如何根据单位“1”求工作效率与工作时间。例题讲解例1.一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？分析 这

4、项工程的总量未知，我们把工作总量看做单位“1”，工作效率= 1（）=6（天） 答：两队合作，需要6天完成。 师：解决工程问题基本的思路是先求各自的工作效率，再求合作的工作效率，然后根据题意去寻找未知量所涉及到的数量关系式，例如，例1合作的工作时间=合作的工作量合作的工作效率。通过掌握这个思路，我们来看例2.例2.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙两人合作，还需几小时完成？分析 根据题意，完成这项工作，是甲先做，乙丙后做，那么我们可以得出这样的等量关系：甲的工作时间甲的工作效率+乙丙的工效和乙丙的合作时间=“1”，要求乙丙的合作时

5、间我们必须先算出他们合作的工作量=1-甲的工作量 甲的工作量： 2= 乙丙合作的工作量： 1-= 乙丙合作的工作时间：（）=5（小时） 答：余下的两人合作，还需要5小时。师：通过例2我们发现，列出了等量关系后，思路就清晰了，下面我们继续学习通过列出等量关系，寻找问题解决的办法。例3.一项工程甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作，需要多少天完成？分析 通过题目我们还是先看工作效率，单个的工作效率未知时我们就先看合作的工作效率。显然，工效和有这样三个等式：甲乙= ，乙丙=，甲丙=。=（甲乙）（乙丙）（甲丙）=2（甲乙丙）= 甲乙丙的

6、工效和：（）2= 甲乙丙合作需要的时间：1=10（天) 答：甲乙丙三队合作需要10天完成这项工程。师：我们现在学习了怎样通过求出工作效率再求工作时间，现在通过练习巩固所学。学生做a组练习第一题和第二题。例4.老刘和小李合作一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这项工作需几天完成？分析题目要求小李单独做需要的时间也就是要先转化为求他的工作效率。我们发现这项工作是这样完成的：老刘的工效8小李的工效14=“1”. 单独的工效都未知，但是合作的工效已知，通过这个条件我们可以把小李的工作时间进行这样的拆分：14天可以看做是有8天和老刘合作，

7、剩下的6天单独做，即老刘的工效8小李的工效8小李的工效6=两人的工效和8小李的工效6=“1”。 两人合作8小时完成：8= 还剩： 1-= 小李的工效： （14-8）= 小李单独做这件工作需要：1=18（天） 答：小李单独做这项工作需要18天完成。师：这是工程问题中拆合法的应用，在工效和已知的情况下，把某一个的时间拆出一部分同另一个合起来从而求出合作的工作量，由此也可以计算出单独完成的工作量，从而求出单个的工作效率。接下来我们探讨工程问题中有休息的情况。例5.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。

8、问乙队休息了几天？分析这项工作是这样完成的：甲的工效甲的工作时间乙的工效乙的工作时间=“1”。 甲的工作量： 13= 乙的工作量： 1- = 乙的工作时间：=10.5（天） 乙休息了： 16-10.5=5.5（天） 答：乙队休息了5.5天。师：工程问题中我们要注意这项工作是如何完成的，根据这一点列出等式，从而让思路变得更加清晰。练习：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了若干天。从开始到完工共用了11天的时间，问乙队休息了多少天？师:工程问题中不仅存在休息的情况，还涉及周期问题，我们看例6.例6. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙

9、单独做需要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，.，如此交替工作，请问完成任务时，共用了几小时？分析甲和乙按一定的顺序轮流交替工作，此时需要弄清一个循环周期的工作量，从而求出完成全部工作量需要多少个循环周期。 一个循环周期的工作量：= 需循环的次数：1=7（次） 循环7次完成的工作量：7= 余下工作量由甲单独做需要的时间：（1-）=（小时） 一共需要的时间：72=14（小时） 答：完成任务时共用了14小时。练习：一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？师：在周期工程问题中先

10、弄清一个循环周期的工作量，利用周期规律把复杂的问题变得简单。要注意的是最后不满一个周期的部分所需要的工作时间。例7.一个水池，单开甲管5分钟灌满，单开乙管10分钟灌满，单开丙管15分钟可将水池水放尽。现在，甲乙丙三管齐开，2分钟够关闭乙管，再过3分钟后，还差0.8立方米的水灌满全池。水池的总容量是多少立方米？ 分析这里要注意的是开丙管是放水，三管齐开时的工效和不再是三个的工作效率相加，而是把放水看做做减法。 甲乙丙三管齐开的工效和： -= 2分钟后放水： 2= 甲管注水，丙管放水3分钟： （-）3= 5分钟共后还剩： 1-（+）= 水池的总容量： 0.8=6（立方米） 答：水池的总容量是6立方

11、米。师：这是我们分数应用题量率对应在工程问题中的应用。在这个过程中单位“1”起了重要作用。接下来的例子我们来看单位“1”如何帮助我们思维。例8. 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库a和b，甲在a仓库，乙在b仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮甲搬运了几个小时？分析解决这类工程问题，我们需要从题目的条件中找出隐含的信息。甲乙丙同时开始搬运同时结束，在这个过程中，三人共同搬完了两个仓库的货物，如把其中一个的货物量看做单位“1”，那么两个仓库的总量为2. 甲乙丙搬完共需要的时间：2（）=8（小时） 甲在a仓

12、库搬运的工作量：8= 丙帮助甲的时间：（1-）=3（小时） 答：丙帮甲搬运了3小时。总结：今天我们用不同的方法解决了不同类型的工程问题，但是，在这个过程中大家要谨记工作总量未知时把工作总量看做单位“1”，在据此列出等式，根据等式转换求出要求的量。作业：a组第3题，4题; b组第5题，6题，7题。c组第8题。板书设计：工程问题 总结知识点 例题讲解过程 分析过程作业：1. 一段公路长30米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天可以完成？ 1（）=6（天） 答：两队合修6天可以完成。2. 加工一批零件，由一个人单独做，甲要12小时，乙要10小时，丙要15小时。如果由甲乙丙三人合

13、作，几小时可以完成这批零件的？ （）=3（小时） 答：3小时可以完成这批零件的。3. 一件工作，甲单独做10天完成，乙单独做15天可以完成，现在甲、乙合作，中途乙因病休息了几天，所以完成这项工作共用了8天，中途乙休息了几天？ （1-8）=3（天） 8-3=5（天) 答：中途乙休息了5天。4. 修一条路，甲队每天修8小时，5天完成，乙队每天修10小时，6天完成，两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？ （）6= 1=4（天） 答：4天可以完成。5. 一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合作，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公出差了2天，求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 1-（32）= （）23=15（天） 答：一共花了15天。6. 一个水池装了两种不同粗细的水管，甲种水管2根，乙种水管3根。甲种水管单独开一根12小时可把水池注满，乙种水管单独开一根18小时可把水池注满，如果2根甲水管先开，放了若干小时后，再打开3根乙水管，2小时将水池注满，问2根甲水管放了几小时？ （1-32）（2）=4（小时 ） 答：2根甲水管放了4小时。7. 某工厂预计30天完成一批加工零件，先由18名工人干了12天，完成了任务的，现在