数列求和的基本方法和技巧

1、) 1(211nnkSnkn一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法最基本最重要的方法. . 1 1、等差数列求和公式：等差数列求和公式： 2 2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式： 3 3、 4 4、 5 5、dnnnaaanSnn2) 1(2)(11) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnaSnnn) 12)(1(6112nnnkSnkn213)1(21nnkSnkn_2642. 1n_2141211. 2n) 1( nnn212 例例1 1 已知已知 ， 求求 的前的前n

2、 n项和项和3log1log23x nxxxx32 由等比数列求和公式得由等比数列求和公式得nnnnnxxxxxxxS211211)211 (211)1 (32 公式法求和的前提是由已知条件能得到公式法求和的前提是由已知条件能得到此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅要牢记公式，还要计算准确无误。要牢记公式，还要计算准确无误。在什么情况下，用公式法求和？在什么情况下，用公式法求和？例例2_2642. 1n1112._242n)212n()414()212(nnnSS求)414()212(nS)212n(n=(2+4+2n)4121()21n211)21(1

3、 212)22(nnnnnn)21(1) 1(1)21(2nnn分组求和分组求和解：解：求前求前n项和关键的第一步：项和关键的第一步：在什么情况下，用分组求和？在什么情况下，用分组求和？ nnnnncabab其中是等差数列是等比数列例例3 求数列的前求数列的前n项和：项和：231, 71, 41, 1112 naaan， 解：设解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn 将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组）（分组） 2) 13(nnnSn2) 13(nn 当当a1时，时，（分组求和）（分组求和） 1

4、a2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan当当时，时，变式训练变式训练1 1：求和：求和)221 () 21 (122221 ()21n21na12n2121n12 n解：设解：设21Saanna222nn2nn21)21 (2221nn) 12() 12() 12(2n分组求和分组求和 如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末两项等距离的两，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为和，这一求和的

5、方法称为倒序相加法倒序相加法. . 4412 (),()()42201220122011().2012例 、设求xxfxSfff( )(1)( )1,xxaf xaafxf x提示：函数具有一个特征，即满足可利用这一特征，解决求和的相关问题。 把数列中的把数列中的相邻几项合并相邻几项合并，进而求和的，进而求和的方法称为方法称为并项求和法并项求和法. .22222121 , 2 ,3 , 4 ,5 ,( 1),11.00.nn 求求数数列列的的前前项项和和例例点评点评：此题的：此题的关键关键是把相邻两项分别是把相邻两项分别合并、合并、分解因式分解因式后，后，转化转化为等差数列求和为等差数列求和.

6、 .四、并项求和法四、并项求和练练习习. .50分析：分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是此数列为特殊数列，其通项的分母是两个因式之积，且两数相差两个因式之积，且两数相差1,若把通项作适若把通项作适当变形为当变形为 )2)(1(1541431321SnnnnS求2111) 2)(1(1nnnn例例2裂项裂项五、裂项相消法五、裂项相消法 把数列的把数列的通项拆成两项之差通项拆成两项之差，即数列的，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时求和时一些正负项相互抵消一些正负项相互抵消，于是前，于是前n n项的和变成项的和变成首尾若干少数

7、项之和首尾若干少数项之和，这一求和方法称为，这一求和方法称为裂裂项相消法项相消法. . 五、裂项相消法五、裂项相消法 技巧小结技巧小结：常见的裂项变形：常见的裂项变形 11111n nnn+ 1211212112121nnnn11()ababab 11 11()n nnk+kkn 11221111(),1111();2nnnnnnnnnaa adaaa adaa若是等差数列，则1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn解解:111(1)(2)12nannnn11111111()()()()23344512nSnn11()22n2(2)nn 求和求和)2)(1(154143132

8、1Snnn裂项相消裂项相消解：由题意设解：由题意设1)(2nnan1)(12nn2111nSn 3211432322212) 1(2nn3121211 (2)111nn)111 (2n) 1(1431321211 2nn12nn求)( ,32114321132112111*Nnn。 11nnan已知已知 ，若，若 前前n项和为项和为10，则项数，则项数n为为_. na120 如果一个数列的各项是由一个等差数列如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法和可采用错位相减法.六、错位相减法六、错位相减法nnnS2226

9、242232 2311242(1)222222nnnnnS 1432222222222222)211 ( nnnnS1122212nnn1224nnnS解解:设设得得（设计错位）（设计错位）（错位相减（错位相减） 例例3.求数列求数列 ,22,26,24,2232nn前前n项的和项的和 是等比数列是等差数列其中nnnnnbabac的值求nxnxxxS) 1(432132 2323123111112121123(1)2011234(1)23(1).(1)1(1)1(1)1111112nnnnnnnnnnnxSnxxSxxxnxxSxxxn xnxx SxxxxnxxnxxxnxSx 当 时， ；

10、当且时，因为 ，所以 由得 ，所以 【解析】x七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前通项揭示的规律来求数列的前n n项和，是一项和，是一个重要的方法个重要的方法.例例 求求11111111111个n 之和之和.解：由于解：由于) 110(91999991111111 kkk 个个（找通项及特征）（找通项及特征） 11111111111个n ) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1

11、111 (91)10101010(911321 个nn )91010(8119110) 110(10911nnnn练习练习 1.数列数列 的的前前 n项之和为项之和为Sn，则，则Sn的值等于的值等于( ) (A) (B) (C) (D) ，nn2112161781541321112211-nnnn2112nnn21122nnn2112A 1111(2),1111221(1),1 33313 5242 4n nnn ， ，2.练习：练习：求下列数列前求下列数列前n项的和项的和Sn： 解：由题可知，解：由题可知， 的通项是等差数列的通项是等差数列2n1 的通项与等比数列的通项与等比数列 的通项之积

12、的通项之积 设设 （设制错位）（设制错位） 得得 （错位相减（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：再利用等比数列的求和公式得： 3、求和 ： 132) 12(7531 nnxnxxxS1) 12(nxn1nxnnxnxxxxxS) 12(7531432 nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (121)1 ()1 () 12() 12(xxxnxnSnnn 把数列的通项拆成两项之差，即数列的把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前正负项相互抵消，于是前n n项的和变成首尾若干项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. . 1. 1.公式法公式法: :4. 4.错位相减法：错位相减法：2. 2.分组求和法分组求和法：3. 3.裂项相消法：裂项相消法：直接利用等差等比数列的求和公式直接利用等差等比数列的求和公式 有一类数列，既不是等差数列，有一类数列，既不是等