本质安全管理体系培训教材一

1、 半角的正弦、余弦和正切 （课堂教学实录） 广西防城港市上思县上思中学 凌旭球（中学特级教师） 点评教者王春雷 一、教学目标 掌握半角公式及推导方法。1、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。2、 能熟练、合理地运用公式。3、 二、重点、难点分析TSC ，公式的推导、识记及熟练运用。重点：1、 ，? 222TSC ，三个公式的灵活运用。2、 难点：公式中双重符号的选择、? 222 三、教学用具、准备 电脑和投影设备，自制电脑课件。 四、教学过程设计 （一）复习引入 师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：?cos2sin2sin?

2、2222?sin2?sin1?2cos1cos2?cos ?tan2?tan2 （师生合作回答，然后用投影显示） 2?tan?1 评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。?4?)2?,0?(,cos2coscos4，和下面，我们一起来看一道习题：的值。求 45 （投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？ 生：能，用二倍角公式。 师：那好，下面我们就一起来完成这道题：7422?()?2cos12?1?2cos4?cos2(2) 2554?1?9?cos21 522?1cos22?cos?cos? 22103?10cos? 101 3?10?cos? （生集体回答，师板书）10 既

3、起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。评：这道习题的设计，师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这 时就需要考虑函数值的符号了。?4?cos,)cos?(0,的值。现在，我们再来看另一道习题，已知：，求 225 （投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任 务学。 生：不能。?2 师：但如果我们把看成上题的角，那角就变成了上题的什么角？ 2? 生：角。?cos 的值是（稍作停顿）师：

4、所以， 2310 生：。10?2角换成师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的角换成角，把公式中的? 角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师板书课题） 2评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的 欲望与热情。 （二）新课讲授 1、公式推导。先探讨如何将公式师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”?sin 变形得出与角的三角函数关系。 2?2?sin?sin1?2sincos?2sinsin ，从中解出。生：由 22222?sin，能否用更简洁的方法来求解呢？ 师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出 2?cos?1cos

5、?122?sin?2sinsin1?cos? ，从而得出生：可以利用 22222 （板书）对，但公式中“”号的确定是关键，是不是两个都要呢？师：?角所在的范围中正弦的符号来选取。（稍作讨论后回答）不是，应根据生： 2?角在第一、二象限时取（稍作停顿） 师：具体的说，就是 22 +”号。生：“? 角在第三、四象限时取（稍作停顿）师：当 2 -”号。生：“?师：如果没有指明角的范围呢？ 2 生：“”号都要。评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依 ”号的确定这一关键性问题。靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“?师：很好。下面我们接着来研究 角的余弦。

6、2?cos?1cos1?22?cos?2coscos1?cos得出生：利用，从而 。 22222 （板书）这里又出现了“”号，请大家参照刚才的方法总结一下。师：?角的-”生：当；如果没有指明角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“ 22 “”号两个都要。范围时， 评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你 能马上得出半角的正切公式吗？?cos?1?sin?cos?1 22?tan 生：能。由商数关系得： ?cos21?cos1?cos? 22评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用

7、。 师：（板书）由于分子、分母都有“”号，能否把“”号约掉？ 生：不能。 师：那么又如何理解结果中的“”号呢？ 生：是分子、分母的“”号搭配的结果当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异号时取“-”。 ?角所在的范围说出如何选取正切符号吗？师：由这一搭配的结果，你能根据 2?角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“角-”生：能。当；当没有指明 22的取值范围时，应该同时取“”号。 师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论） 评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。 3 ?sin? 2cossin 师：我们能不能利用乘除符号性质来判断是同号还是

8、异号呢？与 ?22cos 2 生：能，是同号。?tansin 师：那么与呢？ 2 生：也是同号。?tan更便于使用。使它变得更简单，的公式，师：根据这种思路，下面我们进一步来研究 2?sinsin? 22?tansincossin，使2或由于2，将的分子、分母同时乘以 ?2222coscos 22?sin ，那么会得到什么结果呢？变成?cossin2?sin?sin 222?tan? 生： ?cos12?coscos?2cos 222?sinsinsin2?cos1? 222?tan? 或 ?sin2coscos?2sin 222（师板书） 、公式识记2师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角

9、公式”全部推导出来了。下面，我们一起来 （投影显示公式）探讨对这组公式的初步理解与记忆。?cos1?sinS ?22）（ 2?cos1?cos?C （）。 ?22 2?cos?1tan?T ）（ ?2cos1? 2?sin? ?cos?1?cos?1?T （） ?sin 2? 角的取值范围，先看、。师：首先明确公式成立的条件，即?R? 生：公式、的条件是。 师：再看公式、。4 ?k?01?cos，且生：对于公式、，需满足左、右两式均有意义，即： 22?Z?,k?(2k?1) 所以。 师：那么公式的条件呢？?kZ,)k?(2k?1?k?sink?0，且，所以，即：，且生： 22Z?k 。?sin

10、? 2?tan 师：公式、都是从式子推出的，为什么成立的条件不相同呢？ ?2cos 2?sin时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的生：（稍作议论后回答）因为同乘以2 2?k?k2? ，所以增加了公式的使用条件。等价性，需添上条件，即 2 师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。 （投影显示图表从左到左取取右范取值变范cosi未coco未cosita未cococo缩小变,?tan ?k?)1(2k? k2 围为?sin2 师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列?coscos?sin1?sin1（投影显示）进行判断，这四个式子

11、， ?sin1coscos?1?sin?tan 是否是公式的表达式？ 2 生：都不是。?tansin1cos?cos1?，师：对，在，和的表达式中，只含有三种不同的式子： 2?cos?1cos1出现则一定出现出分子上，如、若出现一定会在分母上，而；若?sin。而、如、；两个公式，另一个位置肯定就是一旦分子或分母确定下来，5 ?sin? 2?cos1?tansin与同时，根据的性质，我们就可以很容易地建立起 ?22，cos 2?cos1?cos的联系。当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并与 2 掌握下来。评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的

12、习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。这样做可拓展学生的思维领域，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 3、巩固练习 师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影：?4?tansin?cossin 例：已知，根据下列条件求的值。 2522，?3?),2?( 为第四象限的角。 ； 2 师：我们应该用什么方法来解这道题呢？ 生：用半角公式。 师：还需要什么条件吗？?cos 生：还需要知道角的范围。和 2 师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下。?3?),2?(? 生：（板书）解： 2?33?)(?,cos ， 5243?1?51?cos5?sin? 52223?1?5cos21?5?cos?

13、 5222?sin?1 2?tan ?22cos 2? 号的选择要看“”角范围的指出，特别值得肯定的是对师：做得很好。因为公式中 22 角的范围。非常重要，起着巩固新知的作用，评：恰当的课内练习，而对学生练习作实事求是的评价，6 可使学生感受成功的乐趣。 师：下面，我们来做。由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。 ?k?k,(k?Z)22?kk?，即生：。为第四象限， 224?kk 为第四象限的角；当为偶数时，为第二象限的角。当为奇数时， 22?tansincoscos 为正，为第二象限时，当为负，为负。为正， 2222?tansincoscos 为负，为第四象限时，当为正，为负。为正，

14、 2222师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？ ?3?,2()生：中的角也是第四象限的角，为什么只是第四象限的角，中的 2有一组解，而却有两组解呢？ ?角只师：问题提得好。这是因为中的角是区间角，只是第四象限角中的一部分， 2?角有两种可能。所以我们要在解题时一定要是象限角，有一种可能；而中的 2注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。 （三）归纳小结 这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。在这里我们要注意以下几点： 半角与倍角是相对的，也是紧密联系的，是同一种关系的不同表现形式。 对公式的记忆要采取合成记忆的方法，即对比记忆（求同）结

15、合特例记忆（求异）来进行。 要处理好公式中双重符号的选择。（投影显示以上三点） 至于对半角公式的进一步综合应用将在下节课继续研究。 评：必要的归纳、总结，起到将知识升华及迁移运用，使之转化为能力的作用。则对公式的灵活运用，有待后续课程的强化。 （四）布置作业： P1、2、3题课本题 224 五、课堂设计说明 本节课没有直接给出公式，而是采用启发式教学，注重学生的参与度，通过提问、板演、投影、讨论等多种形式引导学生对公式的内容、推导进行独立思考、探索，培养学生联系转化的辩证思想。 六、板书设计 3.3半角的正弦、余弦、正切 7 题 例 倍角公式复习题 1、二倍角公式（略） 半角公式推导 2、 半角公式（略）（略） P3 2作业：1、224 总评：本课教者从与新知相关的旧知“二倍角公式”复习入手，设计了两道习题 作为探求新知的引子，将所学新知识转化为用旧知识去研究解决，即符合认识 规律，又为探求新知起到前期测诊及扫清障碍的作用。在讲授中，采用师生对话、合作讨论的启发式教学方法，全程围绕教学目 标开展，从旧知自然引申到新知，有层次地引导学生向深层探索，逐步展开，充