必修四平面几何中的向量方法(附答案)

1、平面几何中的向量方法学习目标1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos .(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|.思考ABC中，M、N分别为AB

2、、AC的中点求证：MNBC.证明设a，b，则ba，又M、N分别为AB、AC的中点a，b.AMN中，ba(ba)，即与共线，MNBC.知识点二直线的方向向量(1)直线AxByC0的方向向量为(B，A)；直线ykxb的方向向量为(1，k)请预览后下载！(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线l1：yk1xb1与直线l2：yk2xb2，它们的方向向量依次为v1(1，k1)，v2(1，k2)当v1v2，即v1v21k1k20时，l1l2，夹角为直角；当k1k21时，v1v20，直线l1与l2的夹角为(090)不难推导利用k1、k2表示cos 的夹角公式：cos .思考1已知直线l：2xy10，在

3、下列向量： v1(1,2)；v2(2,1)；v3；v4(2，4)其中能作为直线l方向向量的有：_.答案思考2直线x2y10与直线2xy30的夹角为_；直线2xy10与直线3xy10的夹角为_答案9045知识点三直线的法向量(1)直线AxByC0的法向量为(A，B)；直线ykxb的法向量为(k，1)(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的法向量分别为n1(A1，B1)，n2(A2，B2)当n1n2时，l1l2或l1与l2重合即A1B2A2B10l1l2或l1与l2重合；当n1n2时，l1l2.即A1A2B

4、1B20l1l2.思考直线l1：(a2)x(1a)y30与直线l2：(a1)x(2a3)y20垂直，则a的值为_答案1解析n1(a2,1a)，n2(a1,2a3)，l1l2，请预览后下载！n1n2(a2)(a1)(1a)(2a3)(a1)(a1)0，a1.题型一向量在平面几何中的应用例1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求：(2a，a)，(a，2a)，不妨设、的夹角为，则cos .故所求钝角的余弦值为.跟踪训练1已知正方形ABCD中，E、F分别

5、是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，请预览后下载！，即BECF.(2)设点P坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得点P的坐标为(，)| 2|，即APAB.题型二向量在解析几何中的应用例2已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)

6、求AB边上的高线CH所在直线方程解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，请预览后下载！则.0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程跟踪训练2已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标解设P(x，y)，则(x，y)，(x4，y)，因为P是AC与

7、OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上，即得，由点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)得，(2,6)，(4,4)，得方程组解得故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)题型三平面向量的综合应用例3如图所示，在平行四边形ABCD中，BC2BA，ABC60，作AEBD交BC于E，求的值解方法一(基向量法)设a，b，|a|1，|b|2.ab|a|b|cos 601，ab.请预览后下载！设b，则ba.由AEBD，得0.即(ba)(ab)0.解得，.方法二以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则，.由AEBD，得0

8、.即0，得m，所以.跟踪训练3已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，请预览后下载！|，则A(0,1)，P，E，F，于是，.| ，同理|，|，PAEF.0，.PAEF.转化条件证“三心”例4(1)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，其中(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心(2)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(请预览后下载！)

9、，其中(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心(3)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，其中(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心 C外心 D内心解析(1)由已知得()，两边同向量取数量积，得()(|)0，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，故选B.(2)对()，其中(0，)进行移项转化，设ABC的BC边上的高为h，BC边上的中点为D，则由已知得()，即，向量与向量共线，故动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A.(3)设BC的中点为D，则由已知得()，两边同时与向量取数量积，得()(|B|)0，故动

10、点P的轨迹一定通过ABC的外心，故选C.答案(1)B(2)A(3)C请预览后下载！1已知ABC，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定2已知A(1,2)，B(2,1)，以AB为直径的圆的方程是_3在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|2，则_.4正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cosDOE的值5已知直线l1：3xy20与直线l2：mxy10的夹角为45，求实数m的值请预览后下载！一、选择题1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的

11、长是()A2 B. C3 D.2点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点3在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()请预览后下载！A. B2 C5 D104若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形5已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于()A2 B. C3 D6若四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A正方形 B矩形C菱形

12、 D直角梯形7已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，则|AB|，则_.8已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5.则_.9.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_10已知P、Q为ABC内的两点，且，则APQ的面积与ABC的面积之比为_请预览后下载！三、解答题11过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程12三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：ADBFDC.13.如图所示，正三角形

13、ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点请预览后下载！A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC.当堂检测答案1答案A2答案x2y2x3y0解析设P(x，y)为圆上任一点，则(x1，y2)，(x2，y1)，由(x1)(x2)(y2)(y1)0，化简得x2y2x3y0.3答案解析已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，D(3,9)，四边形OBDE为菱形AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|3，请预览后下载！.(x1，y1)(3,9)，即.4解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故cosDOE.即cosDO

14、E的值为.5解设直线l1，l2的法向量为n1，n2，则n1(3,1)，n2(m，1)由题意：cos 45.整理得：2m23m20，解得：m2或m.请预览后下载！课时精练答案一、选择题1答案B解析BC中点为D，|.2答案D解析，()0.0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点3答案C解析(1,2)(4,2)440，S四边形ABCD|25.4答案B解析|，|2|，|，请预览后下载！四边形ABDC是矩形，且BAC90.ABC是直角三角形5答案C解析如图所示，由题知ABC30，AEC60，CE，3，3.6答案C解析0，四边形ABCD是平行四边形，由()0，得0，即此四边形对角线互相垂直，

15、故为菱形7答案解析如图，作ODAB于D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60，AOB120，所以|cos 12011().8答案25解析ABC中，B90，cos A，cos C，0，4516，539.25.9.答案2请预览后下载！解析O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.则mn2.10答案解析如图，根据题意，P、Q为ABC中位线DE、DF的中点，PQEFBC，而A到PQ的距离是到BC距离的，根据三角形的面积公式可知，SAPQSABC.三、解答题11解设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50.所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.12证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，请预览后下载！(2,2)，设F(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F点在AC上，则，而(