第六章+量纲分析和相似原理

1、1 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理 一、概述一、概述 二二 、定性分析与实验量化、定性分析与实验量化 （一）量纲和单位（一）量纲和单位 （二）量纲和谐原理（二）量纲和谐原理 （三）量纲分析法（三）量纲分析法 （四）实验量化（四）实验量化 三、相似准数与模型实验三、相似准数与模型实验 （一）基本概念（一）基本概念 （二）相似准则（二）相似准则 （三）模型律（三）模型律 本章小结本章小结 第六章第六章 量纲分析和量纲分析和相似原理相似原理 2 一、概述一、概述 （一）流体力学研究问题的方法（一）流体力学研究问题的方法 1、解析法；、解析法；2、试验法；、试验法； 3、数值分析法

2、、数值分析法 （二）定量分析与定性分析（二）定量分析与定性分析 1、定量分析、定量分析 （1）可建立数学模型：）可建立数学模型：1）对数学模型的求解（解析解、数值解）；）对数学模型的求解（解析解、数值解）； 2）针对模型进行试验研究，得出用于生产或研）针对模型进行试验研究，得出用于生产或研 究所需要的数据。究所需要的数据。 （2）对不能建立数学模型：实验或原形观测，得出统计（经验）规律。）对不能建立数学模型：实验或原形观测，得出统计（经验）规律。 2、定性分析、定性分析 在不能给出数学模型时，建立各相关参数间的关系。在不能给出数学模型时，建立各相关参数间的关系。 量纲分析法量纲分析法根据量纲和

3、谐原理建立各参量间的关系。根据量纲和谐原理建立各参量间的关系。 （三）本章的内容用于解决以下问题（三）本章的内容用于解决以下问题 1、定性分析：建立各相关参数间的关系。、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计、模型实验设计相似准数与相似律相似准数与相似律 第六章第六章 量纲分析和量纲分析和相似原理与相似原理与概述概述 3 （一）量纲与单位（一）量纲与单位 （二）量纲和谐原理（二）量纲和谐原理 （三）量纲分

4、析法（三）量纲分析法 （四）实验量化（四）实验量化 二、二、 定性分析与实验量化定性分析与实验量化 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 4 1、单位单位（Unit） ：量度各种物理：量度各种物理量数值大小量数值大小的标准量，称的标准量，称 单位。如长度单位为单位。如长度单位为m或或cm等。等。“量量”的表征。的表征。 2、量纲量纲（Dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理）：是指撇开单位的大小后，表征物理 量的量的性质和类别性质和类别。 如长度量纲为如长度量纲为L。 “质质”的表征。的表征。 （一）量纲与单位（一）量纲与单位 3 3、基本量纲基本量纲

5、（Primary Primary Dimension）：具有独立性的，不）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 LL、时间、时间TT、质量、质量MM。 4 4、导出量纲导出量纲（Derived Dimension）: :是指由基本量纲导出的量是指由基本量纲导出的量 纲。纲。 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 5 , MTLx 5、 量纲公式量纲公式: 几何学量纲：几何学量纲：0， =0， =0 运动学量纲：运动学量纲：0，0， =0 动力学量纲：动力学量纲：0，（，（0或或 =

6、0 ），），0 6、无量纲数或称量纲为、无量纲数或称量纲为1（纯数，如相似准数）：（纯数，如相似准数）： =0， =0， =0，即，即 x = 1。 特点：特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）普适性。）普适性。 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 对任何一个物理量，其量纲可表示成基本量纲的组合，即物理对任何一个物理量，其量纲可表示成基本量纲的组合，即物理 量量x，有：，有： 量纲归类：量纲归类： 6 （二）量纲和谐原理（二）量纲和谐原理 1、量纲和谐原理（、量纲和谐原理（Theory of Dimens

7、ional Homogeneity） 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的， 即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和 谐原理。谐原理。 2、 量纲和谐原理的重要性量纲和谐原理的重要性 （1）一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确）一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确 性和完整性。性和完整性。 （2）量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数）量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数量纲分析的基

8、量纲分析的基 础。础。 （3）可用来建立物理方程式的结构形式。）可用来建立物理方程式的结构形式。 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 7 （三）量纲分析法（三）量纲分析法 1、雷利法（、雷利法（Rayleigh）是量纲和谐原理的直接应用。是量纲和谐原理的直接应用。 应用范围应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于小于等于45个。个。 （1） 确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输个物理量，如管道流体输 送中单位长度的压强损失：送中单位长度的压强损失： 2、雷利法的计算步骤：、雷

9、利法的计算步骤： 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的 指数指数a1、a2、a3、a4、a5，代入指数方程式即得各物理量之间，代入指数方程式即得各物理量之间 的关系式。的关系式。 ),( DuF L p （2） 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： 54321 0 aaaaa DuC L p 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 8 例例1：管中紊流，单位管长压强损失管中紊流，单位管长压强损失p/L，取决于下列因，取决于下列因 素：平均流速素：平

10、均流速v，管径，管径D，重力，重力g，粘度，粘度 ，管壁粗糙高度，管壁粗糙高度 和和 密度密度 ，试用瑞利法分析确定方程的一般形式。，试用瑞利法分析确定方程的一般形式。 54321 0 aaaaa DvC L p ;dim ;dim ;dim ;dim ;dim ;dim 1111 31111 221 LTLM LMLDTLv TLM L p 2） 给定参数的量纲列表如下：给定参数的量纲列表如下： 3） 由量纲和谐条件可得由量纲和谐条件可得 41 54321 43 2 32 1 aa-T: a-aa-aa-L: aaM: 解：解： 1）设单位压强损失可表成如下的形式）设单位压强损失可表成如下的

11、形式 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 9 5个未知量，个未知量，3个方程，取个方程，取a4、a5为待定系数。为待定系数。 可解得：可解得： a1 = 2 a4 a2 = -1 a4 a5 a3 = 1 a4 故可得关系：故可得关系： 544544 112 0 aaaaaa DvC L p 整理得：整理得： 12 0 4 5 Dv vD D C L p a a 令：令： ) R , D ( vD D C e a a 1 2 4 5 0 式中：式中：Re雷诺数，雷诺数，：沿程损失系数，由实验确定。：沿程损失系数，由实验确定。 例例1 第六章第六章 量纲分析和相似

12、原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 10 定义沿程水头损失：定义沿程水头损失： g v D L h f 2 2 p h f ) 1 ,( e RD 则有：则有： vD Re 上式称为达西公式，上式称为达西公式，也称为达西系数。也称为达西系数。 可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。同时，量纲分析还给出了试验途径。 例例1 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 11 2、布金汉（、布金汉（Buc

13、kingham） 定理定理 （1） 定理定理：对于某个物理现象，如果存在：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即个变量互为函数，即 f (x1, x2, , xn)=0。 而这些变量中含有而这些变量中含有m个基本量，则可将这些变量排列成个基本量，则可将这些变量排列成（n-m）个无量个无量 纲数的函数关系纲数的函数关系 ( 1, 2 , , n-m ) = 0，即可合并，即可合并n个物理量为个物理量为（n-m） 个无量纲个无量纲 数。数。 （2） 定理的解题步骤：定理的解题步骤： 1）确定关系式确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各：根据对所研究的现象的认识，确定影响

14、这个现象的各 个物理量及其关系式：个物理量及其关系式： 0)x,x,f(x n21 2）确定基本量纲：确定基本量纲：从从n个物理量中选取所包含的个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基个基本物理量作为基 本本量纲的代表，对流体力学问题，在不考虑温度时，取量纲的代表，对流体力学问题，在不考虑温度时，取m=3，即所选三即所选三 个基本物理量应包含长度个基本物理量应包含长度L，质量，质量M和时间和时间T，。，。 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 12 3）确定确定 数的个数数的个数N（ ）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量，并写出其余物理量与基本物理量 组

15、成的组成的 表达式：表达式： ), 3 , 2 , 1( 21 21 mni xxx x miii a km a k a k i i 4）确定无量纲确定无量纲 参数：参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各 项的项的 指数指数a1，a2，.，am；从而定；从而定 出各无量纲出各无量纲 参数。参数。 5）写出描述现象的关系式写出描述现象的关系式 0),f( m-n21 或显解一个或显解一个 参数，如：参数，如： ),f( m-n321 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 13 例例1：管中紊流，单位管长沿程水头损失：管中紊流，

16、单位管长沿程水头损失p/L，取决于下，取决于下 列因素：流速列因素：流速u，管径，管径D，重力，重力g，粘度，粘度 ，管壁粗糙高度，管壁粗糙高度 和和 密度密度 ，试用，试用 定理分析确定方程的一般形式。定理分析确定方程的一般形式。 0),( gDuf L p / 111 1 zyx Du Lp 解：解： 的个数的个数N( )=n-m=7-3=4。取。取u， D， 为基本量，则与为基本量，则与p/Lp/L的的1 1 为：为： 1= p/L /(u x1Dy1 z1 )= ML-2T-2/L T-1 x1 L y1 ML-3 z1 则则 L: -2-(x1 +y1 -3z1 )=0 T: -2-

17、 (- x1 )=0 M： 1 - z1 =0 由此解的由此解的x1 = 2， y1 = -1， z1 = 1。即：。即： / 112 1 Du Lp 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 14 与与对应的对应的2 2为：为： 222 2 zyx Du 111 2 Du 333 3 zyx Du 2= /(u x2Dy2 z2 )= ML-1T-1/L T-1 x2L y2 ML-3 z2 则则 L: -1-(x2 +y2 -3z2 )=0 T: -1- (- x2 )=0 M： 1 - z2 =0 由此由此x2 = 1， y2 = -1， z2 = 1。即：。即

18、： 同理，同理，对应对应3 3；g g对应对应4 4有：有： 444 4 zyx Du g 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 15 可解得：可解得： x3 = 0， y3 = 1， z3 = 0； x4= 2， y4 = -1， z4 = 0 ; / 2 1 Du Lp ; R 1 e 2 uD ; 3 D 12 4 Du g 0),( 4321 f即：即： 显示标示为：显示标示为： ),( 43211 f ), 1 ( / 12 1 2 Du g DR f Du Lp e 即有：即有： 引入常用沿程水头损失定义：引入常用沿程水头损失定义： g u D L g

19、 u D L D f fh p h 22 22 )(Re, )(Re,2 D f 称沿程阻力系数，具体由实验决定。称沿程阻力系数，具体由实验决定。 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 16 例例2： 已知文丘里计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落已知文丘里计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落 P随随 流量流量Q，流体密度，流体密度 ，液体粘性系数，液体粘性系数 ，管壁粗糙高度，管壁粗糙高度 ，流量计长度，流量计长度L 以及大小直径以及大小直径D1、D2变化。试用变化。试用 定律求出的压强降落定律求出的压强降落P表示的流量表示的流量 公式。公式。 解：函数

20、式为：解：函数式为：),( 21 LDDQfp 选取选取 、Q、D1为基本变量，则存在为基本变量，则存在8-3=5个个 数数 )/( 1 11 11 z yx DQp )/( 2 22 12 z yx DQ )/( 3 33 123 z yx DQD )/( 4 44 14 zyx DQL )/( 5 55 15 z yx DQ / 1 1113321 1 z yx LTLMLTML 4z ,2 ,1 111 yx 2 2 1 2 2 1 4 1 2 1 ) 2 /2 () / ( QD pg QD p DQ p 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 17 1 1

21、 2 )( D Q 1 2 3 D D 1 4 D L 1 5 D 并解一个并解一个 参数：参数：),( 543 1 21 2 1 f 1)( /2 1 1 2 4 4 2 1 1 4 3 2 11 D D pgA Q e R Du 11 1 22 4 若设：若设： 其中平均流速其中平均流速 u1 = Q/A1 = 4Q/ D12 /2 1)( ),( 4 2 1 1 111 2 1 pg D D A DD L D D RfQ e 这样就可得到：这样就可得到： hKChg DD A CQ 2. 1)/( 4 21 1 其中：其中： ),( 111 2 DD L D D RfC e 流量函数流量

22、函数 第六章第六章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 18 （四）实验量化（四）实验量化 对由量纲分析得到的沿程水头损失公式（对由量纲分析得到的沿程水头损失公式（Darcy Weisbach公式）公式） 其中其中Darcy摩擦系数：摩擦系数： 如何进行实验，得到圆管路如何进行实验，得到圆管路各种各种流态下的摩擦系数，从而可以流态下的摩擦系数，从而可以 使用沿程水头损失公式计算水头损失，尼古拉茨（使用沿程水头损失公式计算水头损失，尼古拉茨（Nikurades）做）做 了著名的实验。了著名的实验。 g u D L f h 2 2 )(Re, D f 第六章第六章 量纲分析和相似

23、原理量纲分析和相似原理量纲分析量纲分析 19 原型：原型：天然水流和实际建筑物称为原型。天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称 为模型。为模型。 三三 相似准数与模型实验相似准数与模型实验 水力学模型试验：水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按 一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析 研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原

24、型中，分析判断原型的研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的 情况。情况。 水力学模型试验的目的：水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。 关键问题：关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。模型水流和原型水流保持流动相似。 流动相似：流动相似：两个流动，各相应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作两个流动，各相应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作 用力）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。用力）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。 （一）基本概念（一）基本概念 第六章第六章 相似原理与量

25、纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 20 模型和原型保证流动相似，应满足：模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似几何相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似 初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似 几何相似几何相似 几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其 流动所有相应的线性变量的比值均相等。流动所有相应的线性变量的比值均相等。 2 1 L L l 长度比尺：长度比尺： 2 2 2 2 1 2 1 L L L A A A 面积比尺：面积比尺： 3 3 2 3 1 2 1 L L L V V v

26、体积比尺：体积比尺： 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 21 运动相似运动相似 运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括 边界上各点）的速度边界上各点）的速度u及加速度及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。方向相同，且大小各具有同一比值。 动力相似动力相似 动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同， 其大小比其大小比 值相等。值相等。 1 / / 22 11 2 1 tLtL tL u u u 速度比

27、尺：速度比尺： 12 2 / / 22 11 2 1 LutLtu tu a a a 加速度比尺：加速度比尺： 2223 2 1 22 11 uLtLLam am f F F 力的比尺：力的比尺： 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 22 流动相似的含义流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现；运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似

28、的流动。凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 初始条件和边界条件的相似初始条件和边界条件的相似 初始条件初始条件：适用于非恒定流。：适用于非恒定流。 边界条件边界条件：有几何的，运动的和动力等方面。如固体边界上的法线流速：有几何的，运动的和动力等方面。如固体边界上的法线流速 为零，自由液面上的压强为大气压强等。为零，自由液面上的压强为大气压强等。 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 23 （二）（二） 动力相似准则动力相似准则 2 2 1 x u x p f x u u t u x x x x x 2 2 2 2 1 x u L U x p

29、 L p fg x u u L U t u T U x x x x x 2 2 22 1 x u LUx p U p f U gL x u u t u TU L x x x x x 对不可压牛顿流体运动，应满足不可压流体的对不可压牛顿流体运动，应满足不可压流体的Navier-Stokes方程，方程， （以一维运动为例）（以一维运动为例） 将上述方程表示成无量形式，长度以特征将上述方程表示成无量形式，长度以特征L为尺度，速度以为尺度，速度以U为特为特 征速度，时间以征速度，时间以T为特征时间，质量力以为特征时间，质量力以g为特征值，压强以为特征值，压强以p为特征值，为特征值， 则有：则有： 方程

30、两侧同除以方程两侧同除以 ， 可得：可得： LU / 2 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 24 动力相似准则：在两相似的流动中，要求动力相似准则：在两相似的流动中，要求St、Fr、Eu及及Re相等。相等。 2 2 2 111 x u Rx p E f Fx u u t u S x eu x r x x x t 式中：式中： TU L St 称为斯特哈罗（称为斯特哈罗（Strouhal）数；）数； gL U gL U F rr F 2 或 称为弗汝德（称为弗汝德（Froude）数；）数； p U Eu 2 LULU R e 称为欧拉（称为欧拉（Euler）数；

31、）数； 称为雷诺（称为雷诺（Reynolds）数。）数。 （二）（二） 动力相似准则动力相似准则 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 25 1、雷诺（粘滞力）准则、雷诺（粘滞力）准则 适用：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，如层流状态下的适用：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，如层流状态下的 管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。 L / 2 / 3 Re v LL tL dy du A ma 粘滞力 惯性力 L为流场中的特征线性长度。为流场中的特征线性长度。 Re雷诺数。雷诺数。 式中： 当粘滞力起主要作用时，

32、动力相似有：当粘滞力起主要作用时，动力相似有： 1 U l emep RR 或 （三）模型相似律（三）模型相似律相似准数（则）的适用相似准数（则）的适用 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 26 适用：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力适用：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力 起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻 力平方区的有压管流与隧洞流动等。力平方区的有压管流与隧洞流动等。 2、佛汝德（重力）准则、佛汝德（重力）准则 gL gL tL Fr 2

33、 3 / 3 重力 惯性力 一般取一般取 gL Fr 当重力起主要作用时，动力相似有：当重力起主要作用时，动力相似有：1 2 lg U rmrp FF 或 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 27 模型设计时模型设计时重力相似与粘性力相似的矛盾重力相似与粘性力相似的矛盾 2522/ lluQlluQ 1 1 g 雷诺（粘滞力）准则雷诺（粘滞力）准则佛汝德（重力）准则佛汝德（重力）准则 2/11 /1 lullu 2121 r ReReFrF 22 2 11 1 2 22 1 11 lg u lg ululu 32222123 lulfullulf 可见：若取可见

34、：若取 1 则有：则有： 1 3 lff 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 28 3、欧拉数准则、欧拉数准则 流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：流体流动以动水总压力为主要作用力的情况： p pL L u E 2 2 22 压力 惯性力 4、韦伯准则、韦伯准则 表面张力为主导作用力时的相似准则：表面张力为主导作用力时的相似准则： L L L We 222 表面张力 惯性力 当压力起主要作用时，动力相似有：当压力起主要作用时，动力相似有： 1 2 p v umup EE 或 当表面张力起主要作用时，动力相似有：当表面张力起主要作用时，动力相似有： 1 2 l

35、v emep WW或 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 29 5、斯特哈罗数（时间准则）、斯特哈罗数（时间准则） 斯特哈罗数斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度：非恒定流体流动中，当地加速度 ，这个加速度，这个加速度 所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 0 t u 对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有： 1 tv l tmtp SS 或 u Lf ut L s u u t u St 位变惯性力 时变惯性力 f振动频率振动频率 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似

36、原理与量纲分析相似准数相似准数 30 流体音速流体音速 弹模弹模 E E c 式中：式中： 6、马赫数、马赫数 弹性力弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：为主导作用力时的相似准则（例水击现象）： 2 2 2 22 cLE L Ca 弹性力 惯性力 柯西数柯西数 令令 c CaMa 1 1 1 Ma Ma Ma 运动速度为音速运动速度为音速 运动速度为亚音速运动速度为亚音速 运动速度为超音速运动速度为超音速 当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音 速或超音速运动等，动力相似有：速或超音速运动等，动力相似有： 1 c v amap

37、 MM 或 第六章第六章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析相似准数相似准数 31 本章小结本章小结 1、两液流流动相似必须满足：、两液流流动相似必须满足： （1）几何相似；）几何相似； （2）运动相似；）运动相似； （3）动力相似；）动力相似； （4）初始条件和边界条件相似；）初始条件和边界条件相似； 2、相似准则：、相似准则：Re相似准则、相似准则、 Fr相似准则、相似准则、 Eu相似准则相似准则 p V Eu gl V Fr Vd 2 Re 3、基本量纲、诱导量纲、无量纲数。、基本量纲、诱导量纲、无量纲数。 4、量纲和谐原理、雷利法、量纲和谐原理、雷利法、 定理量纲分析法。定理量纲分析

38、法。 End 32 6-1 6-1 量纲分析量纲分析 6-1 量纲分析 6-1-16-1-1量纲和单位量纲和单位 1 1、量纲、量纲( (或称因次或称因次) ) （Dimension）： 例如：例如： 速度量纲就是导出量纲，因为速度量纲速度量纲就是导出量纲，因为速度量纲 v=L/T。 例如：长度、时间、质量三种物理量，分别与远近、迟早、重轻三类概念相关，这例如：长度、时间、质量三种物理量，分别与远近、迟早、重轻三类概念相关，这 是三个性质完全不同的物理量，是三个性质完全不同的物理量，“质质”的表征。的表征。 通常表示量纲的符号为通常表示量纲的符号为 dim 。 （1 1）量纲）量纲( (或称因

39、次或称因次) )：表征各种物理量性质和类别的标志。：表征各种物理量性质和类别的标志。 基本量纲基本量纲 ：互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。：互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。 导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲。导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲。 （2 2）基本量纲）基本量纲（Fundamental Dimension）和导出量纲和导出量纲（Derived Dimension）。 在国际单位制中有在国际单位制中有7 7个基本量纲：质量个基本量纲：质量MM、长度、长度LL、时间、时间T T 、电流、电流II、热力学温、热力学温 度度、物质的量、物质的量NN

40、、发光强度、发光强度J J 。 由于基本量纲的选择不同，物理量可分为两种单位制：工程单位制和国际单位制。由于基本量纲的选择不同，物理量可分为两种单位制：工程单位制和国际单位制。 以力为基础的工程单位制以力为基础的工程单位制LTF。基本量纲为：力。基本量纲为：力F、长度、长度L、时间、时间T。 以质量为基础的国际单位制以质量为基础的国际单位制LTM。基本量纲为：质量。基本量纲为：质量M、长度、长度L、时间、时间T。 33 （3 3）量纲公式。）量纲公式。 6-1 量纲分析 dim abc LT M 导出量纲一般可用基本量纲的指数乘积形式来表示。导出量纲一般可用基本量纲的指数乘积形式来表示。 式中

41、式中 任一物理量的量纲；任一物理量的量纲； LL、MM、TT长度、质量和时间的量纲；长度、质量和时间的量纲； a a、b b、cc指数，可以是正负整数，也可以是正负分数或零。指数，可以是正负整数，也可以是正负分数或零。 量纲按基本量纲的指数量纲按基本量纲的指数a a、b b、c c的值，可分为以下三类的值，可分为以下三类 ： 几何学量纲：几何学量纲：a 0，b=0，c=0 运动学量纲：运动学量纲：a 0，b 0，c=0 动力学量纲：动力学量纲：a 0，b 0，c 0 2 2、单位（、单位（Unit）：）： 单位单位 ：量度各种物理量数值大小的标准量。：量度各种物理量数值大小的标准量。 例如比较

42、长度的大小，可以选择米、厘米、市尺作为单位。由于选择单位的不同，同例如比较长度的大小，可以选择米、厘米、市尺作为单位。由于选择单位的不同，同 一长度可以用不同的数值表示，可以是一长度可以用不同的数值表示，可以是1(以米为单位以米为单位)，也可以是，也可以是100(以厘米为单位）。以厘米为单位）。 34 3、量纲一的量（、量纲一的量（quantities of dimension one）（无量纲数）（无量纲数 （dimensionless number）、纯数）：）、纯数）： 6-1 量纲分析 a=0，b=0，c=0，则：，则： 特点：特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；）无量纲

43、单位，它的大小与所选单位无关； （2）具有客观性；）具有客观性； （3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。 例如：水力坡度例如：水力坡度 J=hw/l ，其量纲式，其量纲式 dim J=LL=1 就是一个无量纲数，它反映流体的总水头沿流程减少的情况。不论所选用的长度单位是就是一个无量纲数，它反映流体的总水头沿流程减少的情况。不论所选用的长度单位是 米还是英尺，只要形成该水力坡度的条件不变时，其值也不变。无量纲数，米还是英尺，只要形成该水力坡度的条件不变时，其值也不变。无量纲数， dim x=L0T0M01 -

44、(6-2) 例如：判别流动状态的雷诺（例如：判别流动状态的雷诺（Beynoolds）数）数Re，其量纲式为，其量纲式为 1 000 21 dim1 e LTL RL M T LT 常用的几种物理量及其单位换算关系常用的几种物理量及其单位换算关系 35 6-1-2 6-1-2 量纲和谐原理量纲和谐原理 6-1 量纲分析 1 1、量纲和谐原理、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity） ： 2、量纲和谐原理的重要性、量纲和谐原理的重要性 连续性方程、伯努利方程、动量方程来验证连续性方程、伯努利方程、动量方程来验证 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，

45、各项的量纲是一致的，这就是量一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量 纲一致性原理，或称量纲和谐原理。纲一致性原理，或称量纲和谐原理。 LT-1L2 LT-1L2 =L3T-1 每一项的量纲为：每一项的量纲为： a a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。 b、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c、可用来建立物理方程式的结构形式。、可用来建立物理方程式的结构形式。 1122 v Av AQ 3、应用量纲和谐原

46、理来探求物理量之间的函数关系的方法、应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法量纲分析量纲分析(dimensional method)法。法。 a a、适用于影响因素间的关系为单项指数形式的场合，称瑞利（、适用于影响因素间的关系为单项指数形式的场合，称瑞利（L.RayleighL.Rayleigh）法。）法。 b b、具有普遍性的方法，称具有普遍性的方法，称定理。定理。 36 6-1-3 6-1-3 瑞利法瑞利法 6-1 量纲分析 1 1、 确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n n 个物理量；个物理量； 式中，式中，k为无量纲数，为无量纲数，1、2、.、n为待定指数

47、；为待定指数； 对某一物理现象，主要因素为对某一物理现象，主要因素为y y、x x1 1，x x2 2、x xn n。它们之间待定的函数关系为。它们之间待定的函数关系为 2 2、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各物理量之间的指数乘、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各物理量之间的指数乘 积的形式，积的形式， 3 3、表示为基本量纲指数乘积的形式。、表示为基本量纲指数乘积的形式。 LaTbMc=La1T1b1Mc11 La2Tb2Mc22.LanTbnMcn n 4、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数关系式根据量纲和谐原理，即等式两端的

48、量纲应该相同，确定物理量的指数关系式 12 ( ,) n yf x xx L a=a11+a22+.+ann T b=b11+b22+.+bnn (6(6- -4)4) M c=c11+c22+.+cnn 111 12n ykxxx 解上式，求出特定指数解上式，求出特定指数1 1、2 2、.、n n。但因方程数只有三个，当。但因方程数只有三个，当n3n3时，则有时，则有(n-3)(n-3) 个指数需用其他指数值的函数来表示。得到表示诸因素间的函数关的方程式。个指数需用其他指数值的函数来表示。得到表示诸因素间的函数关的方程式。 37 例例6-1 6-1 实验揭示，流动有两种状态实验揭示，流动有两

49、种状态: :层流和湍流，流态相互转变时的流速临界流速。实层流和湍流，流态相互转变时的流速临界流速。实 验指出，恒定有压管流的下临界流速验指出，恒定有压管流的下临界流速vcr与管径与管径d，流体密度，流体密度 p 流体动力粘度流体动力粘度有关。试有关。试 用量纲分析法求出它们的函数关系。用量纲分析法求出它们的函数关系。 6-1 量纲分析 解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为 vcr=f(d,) 将上式写成指数乘积的形式为将上式写成指数乘积的形式为 312 cr vkd 再写成量纲方程为再写成量纲方程为 312 1000300110 dim() ()

50、 () cr vLT MLT ML T ML T M 列方程列方程 123 : 13L 3 : 1T 23 : 0M 解得解得3=1，2=-1,1=-1将这些指数值代人指数乘积函数关系式将这些指数值代人指数乘积函数关系式 cr vk d 整理整理 Re cr cr v d 38 6-1-4 6-1-4 定理定理 6-1 量纲分析 1 1、 确定确定n n 个物理量方程；个物理量方程； 式中式中1，2，n-m为（为（n-m）个无量纲数，这些无量纲数是用）个无量纲数，这些无量纲数是用来表示的；来表示的；所以称所以称 为为定理。定理。定理在定理在1915年由布金汉（年由布金汉（E.Buckngham

51、)提出，又称为布金汉定理。提出，又称为布金汉定理。 2 2、其中可选出、其中可选出m m个变量在量纲上是互相独立的，其余（个变量在量纲上是互相独立的，其余（n-mn-m）个变量是非独立的；那）个变量是非独立的；那 么，此物理方程，必然可以表示为么，此物理方程，必然可以表示为(n-m)(n-m)个无量纲数的物理方程式，个无量纲数的物理方程式， 3、在应用在应用定理时要注意所选取的定理时要注意所选取的 m 个量纲独立的量，不能组合成一个量纲一的个量纲独立的量，不能组合成一个量纲一的 量。设所选择的物理量为量。设所选择的物理量为x x1,x,x2 2,x,x3 3，知，它们的量纲式可用基本量纲表示为，知，它们的量纲式可用基本量纲表示为 12 ( ,)0 n f x xx 12 (,)0 n m F 为使为使x x1,x,x2 2,x,x3 3互相独立、不能组合成量纲一的量，就要使它们的指数乘积不能为零，也就互相独立、不能组合成量纲一的量，就要使