计量方法与误差理论误差部分的处理

1、-误差理论与数据处理误差理论与数据处理 参考书目参考书目1.1. 周渭，测试与计量技术基础，西安电子科技大学出版社，周渭，测试与计量技术基础，西安电子科技大学出版社，200420042.2.梁晋文，误差理论与数据处理，中国计量出版社，梁晋文，误差理论与数据处理，中国计量出版社，20012001第二部分第二部分:误差理论与数据处理误差理论与数据处理随机误差的随机误差的数字数字特征和精度指标特征和精度指标1非等精度测量非等精度测量2系统误差和粗大误差系统误差和粗大误差3误差合成与分配误差合成与分配4多次测量，残差呈现出的规律多次测量，残差呈现出的规律 xxii三、正态分布及特性三、正态分布及特性

2、测量数据的概率密度函数：测量数据的概率密度函数：2)(exp21)P(22xxy真值真值随机误差的概率密度函数：随机误差的概率密度函数：2exp21)(22 fy误差误差 正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决定误差的因素有限，可能服从非正态分布。定误差的因素有限，可能服从非正态分布。正态分布曲线在正态分布曲线在 处很特殊：拐点！处很特殊：拐点！)2exp(2)(22522 f0)( f内，内，曲线向下弯曲；曲线向下弯曲；0)( f外，外，曲线向上弯曲；曲线向上弯曲；)(22221)(02222itttttitdtedtettPiii?)P

3、(x更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）/t式中，式中，说明了什么？说明了什么？ 我们可以有我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出的把握认为测量值的误差不超出0.68276827. 0)P(x5 . 025. 02)6745. 0P(5762. 02881. 02)8 . 0P(9973. 0)3P(9545. 0)2P(xxxx)(2)()(iiittPttP拉普拉斯函数的变形：拉普拉斯函数的变形：思考：若测量值必须具有思考：若测量值必须具有99%的可信度，其误差应放宽至多大？的可信度，其误差应放宽至多大？例：假定理想电压源

4、例：假定理想电压源U0=10V，多次测量时的标准差为，多次测量时的标准差为0.020V，若某次测量的结果为，若某次测量的结果为10.016V，问对该次测试结果，问对该次测试结果有多大的把握性？若要对测试数据有有多大的把握性？若要对测试数据有99%的可信度，问测试的可信度，问测试数据应该在哪个范围内？数据应该在哪个范围内？ P=0.95( )，一般精密测量，应用广泛；，一般精密测量，应用广泛；2 P=0.9973( )，用于较重要的科研工作和精密仪器；，用于较重要的科研工作和精密仪器；3 P=0.9999( )，用于个别对可靠性要求特别高的科研，用于个别对可靠性要求特别高的科研 和精密测量工作；

5、和精密测量工作；4一、随机变量的数字特征一、随机变量的数字特征 描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）数学期望：位置特征数学期望：位置特征方差：分散性指标方差：分散性指标xD标准差标准差随机变量关于其数学期望的偏离随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都程度比其他任何值的偏离程度都小。如果小。如果x x是测量值，那么是测量值，那么ExEx就就是该被测量值最可信赖的值（或是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）称概然值）二、算术平均值（数学期望的估计）二、算术平均值（数学期望的估计）要求估计值在参考量附近摆动

6、，作为无偏估计，就要证明要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值的数学期望正好等于未知量（真值）估计值的数学期望正好等于未知量（真值）解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）例：两组测量值例：两组测量值平均值都是平均值都是20.0000， 但是第但是第II 组更分散组更分散衡量的指标：标准差衡量的指标：标准差1 1、标准差的估计、标准差的估计 贝赛尔公式贝赛尔公式贝赛尔公式贝赛尔公式即即贝赛尔公式估算条件：测量次数贝赛尔公式估算条件：测

7、量次数n比较大比较大 就是就是 的无偏估计的无偏估计2、标准偏差的其他估算方法、标准偏差的其他估算方法1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters）)(E贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求 ，再求，再求 ，复杂！，复杂！xi2） 极差法极差法 nxmax - xmin根据极差得分布函数，可以求出数学期望：根据极差得分布函数，可以求出数学期望： dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，n大的概率高，故大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，应大。极差法可简单迅速算出标准差，n10时适用。时适用。例：例：)

8、(08. 309. 000.7509.7510minmax查表dmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225 2101200825

9、. 0mmvii)(2mmvi3) 最大误差法最大误差法查表查表真值未知时真值未知时例：例：nK1nK1n n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.491.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n n16 17 18 19 20 21 22 23

10、24 25 26 27 28 29 3016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.430.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 302 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68

11、0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.441.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK1mmvi045. 0max57. 0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的贝氏公式的1.071.07倍；倍； 用极差法计算用极差法计算，非常迅速方

12、便，可用来作为校对公，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当式，当n10n10时可用来计算时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当n10n10n10以后，以后， 的的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取此一般情况下取n=10n=10以内较为适宜。总之，以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。

13、取适当的测量次数。 xnx多次测量的算数平均值的标准差：多次测量的算数平均值的标准差：mmx045.75mmmmnvnii0303. 011000825. 0112 例：例： 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)： 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。mmmmnx0096. 0100303. 0解：解：二、算数平均值的置信度二、算数平均值的置信度1. 一般表达式一般表达式)(xxtPtttxx)P(P两种求解方法！两种求解方法！即置信概率即置信概

14、率2. 测量次数测量次数n较多时（通常较多时（通常n20）)(2PPPtntxtxx拉普拉斯函数求解法！拉普拉斯函数求解法！mm021.40 xmm002. 0s%95P )(2PPtntx0.950.002mm查表查表t=1.96mm001. 025002. 096. 1ntmm001. 0021.40ntx%)95(P 3. 测量次数测量次数n较少时较少时t分布求解分布求解nxt212)1 ()2()21(),(ttfy01)(dtetmtm)(xxtP)P(Ptttxx当测量次数当测量次数n较少时：较少时：不服从正态分布，而是服从自由度不服从正态分布，而是服从自由度n-1的的t分布分布(

15、 (伽玛函数伽玛函数) )t 分布数字特征：分布数字特征： 0),(dttft2),(22dttft 当自由度趋向于无穷大时，当自由度趋向于无穷大时，t t分布就是标准的正态分布就是标准的正态分布。实际上在测量次数足够大（分布。实际上在测量次数足够大（n20n20）, ,可以近似用可以近似用正态分布代替。正态分布代替。利用利用t分布求解置信度的方法分布求解置信度的方法(测量次数较少时测量次数较少时)： tdttfttPntxP0),(2P),(),(21P0有关，查表计算与tdttftmm056.40 xmm005. 0s%95P 1),(2PP0dttfntxtmm006. 05005. 0

16、78. 2ntmm006. 0056.40ntx%)95(P 三、算数平均值的精度指标（常用的有三、算数平均值的精度指标（常用的有4 4个）个）nx%)27.68(P1、标准差：、标准差： nnTx547979.02、平均误差、平均误差T： %)62.57(PnnRx326745. 03、几率误差、几率误差R： %)50(P4、极限误差：、极限误差： nx33lim%)73.99(P估计的精度问题估计的精度问题 一、什么是非等精度测量一、什么是非等精度测量 测量条件（测量条件（人员、方法、测量次数、环境条件等人员、方法、测量次数、环境条件等）部分或者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不部分或

17、者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不一样。这种测量称为一样。这种测量称为非等精度测量非等精度测量。 客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测量。但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理。量。但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理。等精度测量特点等精度测量特点：具有同一标准差：具有同一标准差)(122122222nxxxnx1、多组重复测量，仅测量次数不一样；、多组重复测量，仅测量次数不一样；)(112111111nxxxnx)(121mnmmmmmxxxnx2、多组重复测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）；、多组重复

18、测量，改变不同组之间单次测量的精度（更一般情形）； 在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以在一些重要的测量中，往往有意要采用非等精度测量以获取更精确的测量结果。通常有两种情况：获取更精确的测量结果。通常有两种情况：（1 1）用不同的测量次数进行对比测量：）用不同的测量次数进行对比测量：.2211xnxn（2 2）用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的。）用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的。如：用三种方法测量电流如下如：用三种方法测量电流如下;A1,A109;A3,A108;A2,A107321321mmimmimmiiii求被测量电流的数值。求被测量电流的数值。二、二、“

19、权权”的概念和加权平均的概念和加权平均1. “权权”的概念的概念 “权权”可以理解为各组测量结果相对的可信可以理解为各组测量结果相对的可信赖程度，测量结果越可靠，其赖程度，测量结果越可靠，其“权权”越大，即可靠性越大，即可靠性越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大。越大的测量结果在最后结果中所占的比重越大。212211Pnnxnxnx例：对于两组重复测量，例：对于两组重复测量，21nn 2. “权权”的确定（权与方差的关系）的确定（权与方差的关系）显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小。显然：方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小。以多组重复测量为例，测量次数决定权值，即以多组重复测量

20、为例，测量次数决定权值，即iinPixni),.,3 , 2 , 1(mi 2222212222211P.PP.2121mmxmxxxmxxnnn 权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减小若干倍，而比例关系不变。小若干倍，而比例关系不变。以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到以上推导为单次测量精度相等情况，如何得到更一般的情形？更一般的情形？222211:.:1:1P:.:P:P21mxxxm3. 加权平均（一般情况下的推导）加权平均（一般情况下的推导）), 0(

21、,), 0(), 0(2211mmNNN设设则这些误差同时出现的概率为：则这些误差同时出现的概率为：)2(11122)2(1)( miiefPmimmii利用最大似然估计法：利用最大似然估计法：maxPP min2)(2122122miimiiEXx对对EX进行微分，并令其等于进行微分，并令其等于0：02)(212miiEXxmimiixEX12121更一般的加权平均表达式：更一般的加权平均表达式：mmmmimiipPPPxPxPxPxx21221112121对于多组重复测量亦有上述结论对于多组重复测量亦有上述结论：mmmpPPPxPxPxPx212211例：用三种方法测量电流如下例：用三种方

22、法测量电流如下;A1,A109;A3,A108;A2,A107321321mmimmimmiiii求被测量电流的数值。求被测量电流的数值。解：解：mA6 .10800. 111. 025. 010900. 110811. 010725. 0Px25. 01P211i11. 01P222i00. 11P233i三、加权平均的精度参数三、加权平均的精度参数1. 根据测量数据的标准差求解（一般情况）根据测量数据的标准差求解（一般情况）mimiipxDxD12121)(mimiixD122122)1()()(mi1211mimii1221222)1()(mixp12211（误差合成原理）（误差合成原理

23、）例：用普通仪表和高精度仪表测电压如下例：用普通仪表和高精度仪表测电压如下V1,V102;V2,V1012211uu求被测量电压的数值及精度（均方差）。求被测量电压的数值及精度（均方差）。解：解：25. 01P21100. 11P222V8 .10100. 125. 010200. 110125. 0Px)V(8 . 000. 125. 0122PxV89. 0Pxmiixpp1ixni2. 根据根据“权权”求解（不知单次测量精度时）求解（不知单次测量精度时）（问题：单次测量精度相同，但每次测量的次数不同）（问题：单次测量精度相同，但每次测量的次数不同）假设进行假设进行m组测量，各组测量次数为

24、组测量，各组测量次数为mnnn,21),(21mxxxmiimxnnnnp121Nxnnnxnxnxnxmmmp212211miiixmiiixxppnniip11ixni（1）单位权概念）单位权概念假设进行假设进行m组测量，各组测量次数为组测量，各组测量次数为mnnn,21),(21mxxx222221.21mxmxxnnn222221P.PP21mxmxx222221P.PP21Pmxmxx注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况。注：这里的单位权考虑的单次精度相同，仅测量次数不同的情况。（组内等精度，组间非等精度）（组内等精度，组间非等精度） 定义：值为定义：值为1的权称

25、为单位权，具有同一方差的权称为单位权，具有同一方差 的的等精度单次测得值的权数为等精度单次测得值的权数为1。即。即 为具有单位权的测为具有单位权的测得值方差。得值方差。2 思考：如何根据单位权求加权平均值精度？思考：如何根据单位权求加权平均值精度？2单位化权值！单位化权值！（2）单位化权）单位化权单位化权的实质单位化权的实质：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到：任何一个测量值乘以自身权数的平方根，得到 新的量值的权数为新的量值的权数为1证明证明：22P)PD(iixiiizxiiixzP令：令：取方差：取方差：221:1:iiixzizPP122iiizixzPP单位权化以后得到的新值的

26、权数为单位权化以后得到的新值的权数为1 1！可使不等精度测量列转化为等精度测量列！可使不等精度测量列转化为等精度测量列！（3 3）根据权值求加权平均值的标准差）根据权值求加权平均值的标准差已知各组测量结果的残差：已知各组测量结果的残差：pixxxvi将各组将各组 单位权化：单位权化：ixpiiixixpxpvpi112mvpmixixpiiimiimixixpmvpip112)1(总结：加权平均的精度参数总结：加权平均的精度参数mixp12211miimixixpmvpip112)1(（一般情况，常用于（一般情况，常用于组内不等精度）组内不等精度） （已知权值情况，常（已知权值情况，常用于组间

27、不等精度）用于组间不等精度） 例：工作基准米尺长度鉴定：例：工作基准米尺长度鉴定：999.9425mm（3次测量）次测量）999.9416mm（2次测量）次测量）999.9419mm（5次测量）次测量）求测量结果及其精度？求测量结果及其精度？?px?px一、评定非正态分布随机误差的方法（一、评定非正态分布随机误差的方法（4 4个特征量个特征量）1. 理论均值理论均值 和标准偏差和标准偏差 )()E(2xExEx和正态分布的计算方法一样和正态分布的计算方法一样2. 相对分布系数相对分布系数K分布范围（误差极限）为：分布范围（误差极限）为：相对分布系数：相对分布系数：tttKN3评定实际分布曲线相对于正态分布曲线的差异程度。评定实际分布曲线相对于正态分布曲线的差异程度。（t为实际分布在极限处的置信系数）为实际分布在极限处的置信系数）3. 相对不对称系数相对不对称系数实际曲线的不对称程度：实际曲线的不对称程度： NN3NNN, 0;, 0;, 0二、均匀分布二、均匀分布数字表征：数字表征：0,33K3, 0a例子：仪器最小分辨率误差例子：仪器最小分辨率误差 在分辨在分辨率率范围内出现的所有测量值实际上是以不范围内出现的所有测量值实际上是以不同的值等概率出现在分辨力范围内的任