第2章-投影的基本知识(2)

1、1 1. 1.4 4 点、直线点、直线的投影的投影n直线直线的的投影投影n属于直线的点属于直线的点n重影点及其可见性重影点及其可见性2倾斜于三个投影面倾斜于三个投影面 一般位置直线一般位置直线平行于一个投影面平行于一个投影面投影面平行线投影面平行线垂直于一个投影面垂直于一个投影面投影面垂直线投影面垂直线 在三投影面体系中，直线对投影面的位置，可分为两大类：在三投影面体系中，直线对投影面的位置，可分为两大类：平行于平行于H面面水平线水平线平行于平行于V面面正平线正平线平行于平行于W面面侧平线侧平线垂直于垂直于H面面铅垂线铅垂线垂直于垂直于V面面正垂线正垂线垂直于垂直于W面面侧垂线侧垂线特特 殊殊

2、 位位 置置 直直 线线直直 线线直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置3ABVWHXYZO 一般位置直线一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。ZXabaOYHYWabbbbabaa4一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。 事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。5求解一般位置直线的实长及倾角求解一般位置直线的实长及倾角 根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几

3、何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用直角三角形法直角三角形法求解实长及倾角最为简便、快捷。6XOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角)mmABABmAB0=abBB0=AB两点的高度差mab7直角三角形法直角三角形法 直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。8ABVWHXYZO水平线水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）aababb Xa b ab baOZYHYW水平

4、投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴轴 9VWHXYZOAB正平线正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）aababb正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴轴 Xabab baOZYHYW 10VWHXYZOAB侧平线侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）aa b a bb侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴轴 bXZa b baOYHYWa11OZYXWHVba(b)aaBAbZY1YXOba

5、baa（b)铅垂线的投影铅垂线的投影铅垂铅垂线线（ab积聚成一点； a b OX，a b OY，a b = a b =AB）12OZYXWHVbaaBAba(b)ZY1YXOba(b)aab正垂正垂线线（ab积聚成一点； ab OX，a b OZ，ab= a b =AB）13OZYXWHVbaaBA(b)abZY1YXO(b)abaab侧垂侧垂线线（a b积聚成一点，abOY a bOZ，ab = a b =AB）14属于直线的点属于直线的点性质：性质： 1、属于直线的点，它的三个投影均属于直线的投影。、属于直线的点，它的三个投影均属于直线的投影。 反之，点的三个投影分别属于直线的投影，反之，

6、点的三个投影分别属于直线的投影，则该点属于直线。则该点属于直线。abaBAHVXObccC已知：已知：CAB则：则：cab ， c a b c a b属于直线的点属于直线的点2、属于线段的点，分线段之比、属于线段的点，分线段之比其投影后保持不变。其投影后保持不变。已知：已知：CAB则：则：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb15例例 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成2 :3两段，求分点两段，求分点C的投的投影。影。babOaXcc解：用初等几何作图法先将一个投影分为2 : : 3，分点即为点C的一个投影，作投影连线，求出另一个投影即可。AC :CB=2 :

7、3例例 已知线段已知线段AB及点及点K的的投影，试判断，点投影，试判断，点K是否是否属于属于AB。判断判断K是否属于是否属于ABaabbOXkkabk解法一：作侧面投影，则知K不属于AB。解法二：因为ak:kbak:kb则则K不属于不属于AB16为了更加直观的理解一般位置直线在三个投影面的投影特性，同学们可以将三个投影面理解成教室中由地面（相当于H 面）、侧墙面（相当于W 面）和前墙面（相当于V 面）组成。其中地面和侧墙面的交线为OY轴，地面和前墙面的交线为OX 轴，侧墙面和前墙面的交线为OZ 轴，一般位置直线就相当于在这三个投影面中的投影。下面我们在该三个投影面组成的立体空间中，分别讲述空间

8、直线的实长及对各投影面倾角的求法。一般位置直线段实长及倾角一般位置直线段实长及倾角 直角三角形法直角三角形法17例1：求空间直线AB 的实长及对H 面的夹角。18例2：求空间直线AB 的实长及对V 面的夹角。19例3：求空间直线AB 的实长及对W 面的夹角。20习题1 已知直线A B 的两投影，见图4，求直线AB 对V 面的倾角和线段的实长。方法一：在方法一：在H 投影面上作图，这里直投影面上作图，这里直线线AB 的水平投影已知，可以直接得到的水平投影已知，可以直接得到Y 坐标差。过坐标差。过b 点作点作OX 轴的平行线，与轴的平行线，与a a 相交与相交与m ，则，则m a 的长度为的长度为

9、Y 坐标坐标差，延长使差，延长使mn=a b ，连接，连接na，得，得直角三角形直角三角形nma、。这里、。这里na 为为AB 的实的实长，直角边长，直角边ma 所对的夹角为空间直线所对的夹角为空间直线A B 与与V 面所成的倾角面所成的倾角。方法二：在方法二：在V 投影面上作图，过投影面上作图，过a 做做直线直线a k 垂直于垂直于a b ，并使，并使a k=am，连接，连接k b ，同样可得直角三角，同样可得直角三角形，三角形的各边及角度含义同法一。形，三角形的各边及角度含义同法一。21重影点重影点VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbefm(n)mnf (e)NMEFm(n

10、)f (e)重影点：分属不同直线，但位于同一条投影线上的点。22重影点的可见性判断重影点的可见性判断Oacdbacdbefm(n)mnf (e) （1）判别H面重影点的可见性，必须从H面投影向V面投影引垂线，较高的一点看得见，较低的一点则看不见。 （2）判别V面重影点的可见性，必须从V面投影向H面投影引垂线，较前的一点看得见，较后的一点则看不见。23 1.5 1.5 平面的投影平面的投影n平面的表示方法平面的表示方法n各类平面的投影特性各类平面的投影特性24 平面的表示方法平面的表示方法用几何元素表示平面：（1）不在同一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）两相交直线；（4）两平行直

11、线；（5）任意平面图形。VXWHYZACB25平面的表示方法平面的表示方法相应地在投影图中，空间平面可用下列五组几何元素中的任意一组来表示。baacbcaabcbcbbaaccbaacbcbaacbcdd26 平面的表示方法平面的表示方法用迹线表示平面： 平面的空间位置还可以由它与投影面的交线来确定，平面与投影面的交线称为该平面的迹线。VXWHYZPZPPXPY27 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性28投影面平行面投影面平行面 对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面平行于W面，同时垂直

12、于H、V的平面29VXHWYZO水平面水平面ppp水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZOYHpppP30VXHWYZO 正平面正平面正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。pppXYWZOYHpppP31VXHWZOY侧平面侧平面ppp侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZYHOpppP32投影面平行面的投影特投影面平行面的投影特性性 投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的

13、投影轴。 事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。33投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面正垂面垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面侧垂面垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面34VXHWZOYXZOYHYW铅垂面铅垂面水平投影积聚为直线，并反映倾角,的实形，正面投影和侧面投影均不反映实形且变小。35VXHWZOY正垂面正垂面正面投影积聚为直线，并反映倾角,的实形；水平投影和侧面投影均不反映实形且变小。XZOYHYW36VXHWZOY侧垂面侧垂面侧面投影积聚为直线，并反映倾角、的实形；水平投影和正面投影均不反映实形且变小。XZOYHYW37投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；（2）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且