高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

1、参数方程极坐标系解答题12考点： 专题： 分析：解答:解：(i )对于曲线c：=1 ,可令 x=2cos 8y=3sin 0,故曲线c的参数方程为cs=2cos 8|y=3sin 9(i )写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程.(n )过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a,求|pa|的最大值与最小值.参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.坐标系和参数方程.(i )联想三角函数的平方关系可取x=2cos & y=3sin。得曲线c的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；(n)设曲线c上任意一点p (2cos2 3sin 0).由点到直线的距离公式得到p到直线l的距

2、离，除以sin30。进一步得到|pa|,化积后由三角函数的范围求得|pa|的最大值与最小值.对于直线l：由 得：t=x - 2,代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n )设曲线 c上任意一点 p 2 2cos 0, 3sin 0).p到直线l的距离为8.则|pa|二一凸国5en(+q) -6 i，其中“为锐角. sin3q 5当sin (卅/)=-1时，|pa限得最大值，最大值为 至金.当sin (卅a) =1时，|pa|取得最小值，最小值为 色些.5点评:本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点

3、处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为:广psin c 6)，曲线c的参数方程为：12+2。口目”(a为参数).621y=2sina(i)写出直线l的直角坐标方程；考点： 专题： 分析：(n)求曲线c上的点到直线l的距离的最大值.参数方程化成普通方程.坐标系和参数方程.(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；(2)首先，化简曲线 c的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解.解答:解：(1) .直线l的极坐标方程为:1 1sin 0- cos 9)=不. v31122 1x - v3y+1=0 -（a为参数）.(2)根据曲线c的参数方程为:得（x-

4、2） 2+y2=4 ,它表示一个以（2, 0）为圆心，以2为半径的圆, 圆心到直线的距离为：d_3d= 52曲线c上的点到直线l的距离的最大值点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题.3.已知曲线c1：k=-4+casty=3+sint（1）化c1, c2的方程为普通方程,（t为参数），c2：k=8cos 日y=3sin 0并说明它们分别表示什么曲线;（。为参数）.（2）若c1上的点p对应的参数为jtt=y, q为c2上的动点，求 pq中点m到直线c3：（t为参数）距离的5最小值.考点： 专题： 分析：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数

5、方程.计算题；压轴题；转化思想.（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线 一个椭圆；c1表示一个圆；曲线c2表不c2的（2）把t的值代入曲线c1的参数方程得点p的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线参数方程设出 q的坐标，利用中点坐标公式表示出 m的坐标，利用点到直线的距离公式表示出 m到已知直线 的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.解答:解：（1）把曲线cl：（t为参数）化为普通方程得:(x+4) 2+ (y-3) 2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心（-4, 3）,半径把c2：y=3sin9（。为参数）化为

6、普通方程得:,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上，长半轴为8,短半轴为3的椭圆;7t（2）把t=-代入到曲线c1的参数方程得：p （ - 4, 4）,把直线c3：x=3+2ty= - 2+t（t为参数）化为普通方程得：x- 2y- 7=0,(其中 sin a,cosd点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题.4.在直角坐标系xoy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 c的极坐标方程为p二2亚cds直线l的参数方程为(y=-1+2721(t为参数)，直线l和圆c交于a , b两点

7、,p是圆c上不同于a , b的任意一点.(i )求圆心的极坐标；(n )求4pab面积的最大值.考点： 专题： 分析：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.(i )由圆c的极坐标方程为p -2vscos(白十一)，化为2 =2a/-2ccs日一 -p sina)，把产p3日代入即可得出.y=p sin9(ii)把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式可得|ab|=2 (工2 _ p 利用三角形的面积计算公式即可得出.解答:解：(i )由圆 c 的极坐标方程为 p =( g )，化为 2=2：/2 c-cos 9 sin

8、9 ) 把!让pc0代入可得：圆c的普通方程为x2+y2 - 2x+2y=0 ,即(x-1) 2+ (y+1) 2=2.lv=psine圆心坐标为(1, -1),圆心极坐标为(无1 t)；(n )由直线l的参数方程 篁二十(t为参数)，把t=x代入y=- 1+2t可得直线l的普通方程:尸-1+2近t入一11二0,圆心到直线l的距离|ab|=2-.-=点p直线ab距离的最大值为333h且u辿加需2339点评:本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.在平面直角坐标系 xoy中，椭圆

9、的参数方程为坐标系,直线的极坐标方程为tt2q cos ( b 十-i ai/-3cos 日.(8为参数).以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极)=3.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.专题：计算题；压轴题.分析:解答:点评:6.在直角坐标系xoy中，直线i的参数方程为4 x=l+t5（t为参数），若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为产於cos）.由题意椭圆的参数方程为 卜（ e为参数），直线的极坐标方程为cw （。+三）二%反.将椭 y=sin93圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解：将2

10、pm吕（白+工）二肪;化为普通方程为k-/一%用二。（4分） 3点（右二口白日，sin 9）到直线的距离（6分）ivcose -v33in9-3vki ivecds te+） 2-2所以椭圆上点到直线距离的最大值为根“最小值为加 . （10分）此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.（1）求直线i被曲线c所截得的弦长;m （x, y）是曲线c上的动点，求x+y的最大值.考点： 专题： 分析：解答:解：（1）直线i的参数方程为4 x=14t5y=-l -15（t为参数），消去t,可得,3x+4y+1=

11、0 ;由于p=v2cos （什52 （冬加 6 - sin0）即有p2 = pcos 0- psin 0,则有 x2+y2 - x+y=0 ,其圆心为（）,半径为r=-2圆心到直线的距离 d二iq+llv941&101故弦长为2-, -=2（2）可设圆的参数方程为:100 5%yd（。为参数），则设m （2c0s 9sin22 s1_ 1v2 . a2rsine参数方程化成普通方程.计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.（1）将曲线c化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即 可求弦长.（2）运用圆的参数方程，设出 m,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函

12、数的值域即可得到最大值.9 =sin （ 0则 x+y=由于0 cr,则x+y的最大值为1.点评： 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计 算能力，属于中档题.7.选修4- 4:参数方程选讲已知平面直角坐标系 xoy,以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,线c的极坐标方程为p 2+23 p sine =1 -（i）写出点p的直角坐标及曲线 c的普通方程；p点的极坐标为f s:-3+2t（n ）若q为c上的动点，求pq中点m到直线l:（t为参数）距离的最小值.1 y= 一 2+t考八、题: 分 析: 解 答:参数方程化成普通方程；

13、简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.（1）利用 x= pcos 0, y= psin 0 即可得出;（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,2v3os-r町一点 p解（1） .p点的极坐标为（哂，个）的直角坐标把 p2=x2+y2, y= psin。代入 p，2百p 门日=1 可得”十，+2诟7=1 , 即 （v+j），=4曲线c的直角坐标方程为 耳、（y+v5）r2cos g（2）曲线c的参数方程为二（。为参数），直线l的普通方程为x-2y-7=0ly= - v3+2sin9设q（2ss8,-否+2+nh ）,则线段pq的中点mcos 9 , sin 0 )

14、那么点m到直线l的距离京cq5 日-2sin9 - 71 | cos 9 - 2sin6 一当小in （屋吟 -而得gvs io点m到直线l的最小距离为11v510占 八、评:8.在直角坐标系标系.xoy中，圆c的参数方程fk-i+cos q（。为参数）.以。为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题.（i ）求圆c的极坐标方程；（n ）直线l的极坐标方程是 p （sinos 8 ） =3/&,射线om :g?与圆c的交点为o,巳与直线l的交点为

15、q,求线段pq的长.考点： 专题： 分析：解答:简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.直线与圆.（i）圆c的参数方程j 日，（）为参数）.消去参数可得：（x t） 2+y2=i .把x=（3cos 0, y= psin 0代入y=sin$化简即可得到此圆的极坐标方程.（ii）由直线l的极坐标方程是 p（sin 0+vsc os 9 ）=3/3,射线om : 吗.可得普通方程：直线ly+五炉班, 射线om尸忐k.分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.解：（i）圆c的参数方程 卜n+c%.（4为参数）.消去参数可得：（x- 1） 2+y2 = 1 .把*=8。$。，y=

16、psin。代入化简得：p=2cos 0,即为此圆的极坐标方程.可得普通方程：直线iy+x/l=w5,射线omy=j5x.q|=j气竽）2=2-（ii）如图所示，由直线l的极坐标方程是 p （sin#ucih ） =%后，射线om :点评:本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题.r工网9.在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为r （ “为参数），以原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建.y=sincttj立极坐标系，曲线 c2的极坐标方程为psin （卅一1）=42.（1）求曲线ci的普通方程与曲线 c2的直角坐标

17、方程；（2）设p为曲线ci上的动点，求点 p到c2上点的距离的最小值，并求此时点p的坐标.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= pcos 0、y= psin 0,把极坐标方程化为直角坐标方程.（2）求得椭圆上的点 f,品口江）到直线x+y - 8=0的距离为i rr 仃j，n - q i l2sin （ 口+4）8 id二川 突口号 鲁5=二,可得d的最小值，以及此时的 a的值，从而求得点v2v2解答:点评:的坐标.i v=aaqcos 匹-cos q解：（1）由曲线c1

18、：2,可得w3 ,两式两边平方相加得:sinctly=sincl即曲线ci的普通方程为：由曲线 c2： 口口（6 十弓）二得：与 p （sin 0 +cos 9 ）二4y,即 psin 卅 pcos 9=8,所以 x+y 8=0,即曲线c2的直角坐标方程为：x+y - 8=0 .（2）由（1）知椭圆ci与直线c2无公共点，椭圆上的点 p （vjcogcl , sinci ）到直线x+y - 8=0的距离为ivscosa 4-sing - s |sin（。+守 则d= / v2 当同口（立十三）=1时，d的最小值为|卬区此时点p的坐标为（春 ）.10.已知直线l的参数方程是r v2+（t为参数）

19、，圆c的极坐标方程为c -兀、f=2cos ( 0+-).本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值 域，属于基础题.求圆心由直线（ii）直线i的普通方程为 ly+ma,2=1圆心直角坐标为吟-手）仁分）圆心c到直线c的直角坐标；l上的点向圆c引切线，求切线长的最小值.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析： （i）先利用三角函数的和角公式展开圆c的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos （=x , psin （=y , ，=x2+y2,进行代换即得圆 c的直角坐标方程，从而得到圆心c的直角坐标.（ii）欲

20、求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线 l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答：解：（i）r 71汶衰日一白m 9 , p 2二孤p cos白-我p前门t，圆c的直角坐标方程为其？ +-旧工+忐产q ,直线l上的点向圆c引的切线长的最小值是 也2 - /二2巫（1。分）点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.11.在直角坐标系xoy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l

21、的参数方程为.尸at线c1的方程为p ( p- 4sin 0) =12,定点a (6, 0),点p是曲线ci上的动点，q为ap的中点.(1)求点q的轨迹c2的直角坐标方程；(2)直线l与直线c2交于a, b两点，若|ab|当”，求实数a的取值范围.考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将曲线 c1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点直角坐标方程；(2)首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围.解答：解：(1)根据题意，得曲线c1的直角坐标方程为：x2+y2 - 4y=12,设点 p (x，y)

22、, q (x, y),根据中点坐标公式，得产=2x-g, ra x2+y2-4y=12,得点q的轨迹c2的直角坐标方程为：(x-3) 2+ (y-1) 2=4,(t为参数)，曲q的轨迹c2的(2)直线l的普通方程为：y=ax,根据题意，得属于中档题,f=4sin 0, pcos解得实数a的取值范围为：0,-.4点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识， 考查比较综合,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12 .在直角坐标系xoy中以o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系. 圆c1,直线c2的极坐标方程分别为 (b -与)=2v2.4(i )求c1与c2

23、交点的极坐标；（n）设p为ci的圆心，q为ci与c2交点连线的中点,已知直线pq的参数方程为（tcr为参数），求a,b的值.考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程.专题：压轴题；直线与圆.分析：（i）先将圆ci,直线c2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（ii）由（i）得，p与q点的坐标分别为（0, 2）, （1, 3）,从而直线pq的直角坐标方程为 x-y+2=0,由参 数方程可得y=kx-丈+1,从而构造关于a, b的方程组，解得a, b的值.解答：解：（i）圆ci,直线c2的直角坐标方程分别为x2+（y-2）2=

24、4,x+y-4=0,铲工2十（厂2） j年f解4得 或 ,产厂 4二口i v=4 （y=2.c与c2交点的极坐标为（4,工）.（避，工）.243),（ii）由（i）得，p与q点的坐标分别为（0, 2）, （1,故直线pq的直角坐标方程为 x - y+2=0 ,由参数方程可得y=kx-生+122b d2 1ab -八-fl=2解得 a= - 1, b=2 .点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础 题.13 .在直角坐标系xoy中，l是过定点p （4, 2）且倾斜角为”的直线；在极坐标系（以坐标原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴，取

25、相同单位长度）中，曲线 c的极坐标方程为 p=4cos。（i ）写出直线l的参数方程，并将曲线 c的方程化为直角坐标方程；（n）若曲线c与直线相交于不同的两点m、n,求|pm|+|pn|的取值范围.解答:解：（i）直线i的参数方程为了4+l （t为参数）（y=2+tsin0 , 又 a 0 ,兀)， .=16 (sina+cosa)t60,又 t1 +t2= - 4 (sin a+cos a) , t1t2=4.- jr|pm| + |pn|=|t1|+|t2| = |t1+t2|=4|sin a+cos a|=4ein ( 口十一-) ipmi+ipni的取值范围是（a，q的.点评：本题考查

26、了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.卜吟14 .在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 a （t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 系，oc的极坐标方程为 k2j3sin 0.（i ）写出oc的直角坐标方程；（n ） p为直线l上一动点，当p到圆心c的距离最小时，求 p的直角坐标.考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：坐标系和参数方程.分析：r 2_ 22（i）由。c的极坐标方程为 k2jxsin9.化为p2=2jpbin6，把二工代入即可得出;i y= p sin9|pc|=/t2+l入 再利用二次（ii）设p3中,邛t）,又c （0, 正

27、）.利用两点之间的距离公式可得 函数的性质即可得出.解答： 解：（i）由。c的极坐标方程为 年2jlsin 9.p2=2百 pbin。，化为 x2+y2=2芯y,配方为k2+ 5内2=3 -（ii）设 p （3+1t,率），又 c 0 乃）. lpch 钙t） 2* 哼- s/产+12w3,因此当t=0时，|pc限得最小值 2/3.此时p （3, 0）.点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题.15 .已知曲线c1的极坐标方程为k6cos为曲线c2的极坐标方程为。一/（pcr）,曲线c1,c2相交于a,

28、 b两点.（i ）把曲线c1, c2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（ii ）求弦ab的长度.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析： （i）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos0=x, psin9=y, p2=x2+y2,进行代换即得曲线 c2及曲线c1的直角坐标方程.（n ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3, 0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦ab的长度.解答： 解：（i ）曲线c2：白 3 （pcr）表示直线y=x,曲线 c1： f=6cos 0,即 p2=6pcos。所以 x2+y2=6x 即（x-3） 2+y2=9(n)圆心(3, 0)到直线的距离r

29、=3所以弦长ab= 2v7t7=3，弦ab的长度3v2点评： 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化, 基本方法，属于基础题.以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等16.在直角坐标系xoy中，以o为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为psin （圆c的参数方程为(。为参数，r0)(i )求圆心c的极坐标;(n )当r为何值时，圆c上的点到直线l的最大距离为3.考点： 专题： 分析：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.计算题.(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基解答:本关系,消去。可得曲线c的普通