第7章 连续概率分布

1、2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室1统统 计计 学学statistics李欣先李欣先 Email:2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室2 第第7章章 连续连续概率分布 （continuous Probability Distributions）第1节 均匀分布（ uniform distribution ）第2节 正态分布（ the normal probability distribution） 第3节 指数分布（ exponential distribution ） 2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室3随机变量的分布函数随机变量的分布函数

2、, () Xx P Xxx随机变量对实变量应为 的函数, ( )()XxF xP XxX随机变量对任意实数称函数为 的概率分布函数，简分义：称定布函数。1221 0()()( )P xXxF xF x( )F x 的几何意义：1) 0( )1F xxX( )F x 的性质：2) ( )()0()1F xFF 单调不减，且，2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室4例：设随机变量例：设随机变量X的分布律为的分布律为X-123pk1/41/21/4求X的分布函数，并求p(x1/2), p(3/2x5/2), p(2 x3)。2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室5例：一个

3、靶子是半径为例：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以以X表示弹着点与圆心的距离，试求随表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量机变量X的分布函数。的分布函数。2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室6 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度（probability density function）定义：定义： 对于随机变量对于随机变量X X的分布函数的分布函数 若存在若存在 非负的函数非负的函数 使对于任意实数使对于任意

4、实数 有：有： ( ),fx( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。 则称X为连续型随机变量， 2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室7 与物理学中的质量线密度的定义相类似与物理学中的质量线密度的定义相类似()()P xXxxfxx00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx21122112 () ( ) ()0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa3) 对于任意的实数 ，4) ( )

5、 ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )f xXx表示 落在点 附近的概率的多少( )yf x1x2x1面积为12 P xXx2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室8 例：设例：设X X的概率密度为的概率密度为 (1)求常数求常数c的值；的值； (2) 写出写出X的概率分布函数；的概率分布函数； (3) 要使要使 求求k的值。的值。 解：解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103

6、0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23) /9 361 6xxxxxxx2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室9连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望方差方差xxxfXEd)()(2d)()()(xxfXExXD2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室10其他, 010,2)(xxxpdxxxpXE)()( 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解32322103102xdxx102xdxx2021-7-7山东轻院皮革教研

7、室山东轻院皮革教研室11其他, 010,101,1)(xxxxxp 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。 解解01100)1 ()1 ()(dxxxdxxxXE于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6011022261)1 ()1 ()(dxxxdxxxXE2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室12均匀分布均匀分布(uniform distribution)若随机变量若随机变量X的概率密度函的概率密度函数为数为 称称X在在 a ,b上服从均匀上服从均匀分布，记为分布，记为XUa,b数学期望和方差数学期望和方差其他01)(bXaabxf12)()(;2)(2ab

8、XDbaXE2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室13均匀分布均匀分布(概率计算概率计算)随机变量随机变量X在某取值范围在某取值范围a ,b的任一子区间的任一子区间c ,d上上取值取值的概率为的概率为 同样有：同样有：abcddXcP)(abaccXP )(abcbcXP )(2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室14均匀分布均匀分布(例题分析例题分析)其他0150151)(xxf15)0(ddXP2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室15例：在区间例：在区间(-1,2)(-1,2)上随机取一数上随机取一数X X，试写出，试写出X X的概率的概率密度。

9、并求密度。并求 的值；的值；若在该区间上随机取若在该区间上随机取1010个数，求个数，求1010个数中恰有个数中恰有两个数大于两个数大于0 0的概率。的概率。1, 12( )30, xf x 其他2(0),3P X 2(10, )3Yb2821021(2)33P YC (0)P X 解：X在区间(-1,2)上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0，则：2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室16Two major differences stand out between the treatment of continuous random variables and the tre

10、atment of their discrete counterparts.1. We no longer talk about the probability of the random variable assuming a particular value. Instead, we talk about the probability of the random variable assuming a value within some given interval.2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室172. The probability of a continuou

11、s random variable assuming a value within some given interval from x1 to x2 is defined to be the area under the graph of the probability density function between x1 and x2. Because a single point is an interval of zero width, this implies that the probability of a continuous random variable assuming

12、 any particular value exactly is zero. It also means that the probability of a continuous random variable assuming a value in any interval is the same whether or not the endpoints are included.2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室18正态分布正态分布设A到B的真实距离为U，X为测量值，则服从什么分布2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室19正态分布正态分布(normal di

13、stribution)由由C.F.高斯高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布例如：例如： 二项分布二项分布经典统计推断的基础经典统计推断的基础2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室20概率密度函数概率密度函数xxfx,e21)(22212f(x) = 随机变量随机变量 X 的频数的频数 = 正态随机

14、变量正态随机变量X的均值的均值 = 正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 = 3.1415926; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室21正态分布函数的性质正态分布函数的性质图形是关于图形是关于x= 对称钟形曲线，且峰值在对称钟形曲线，且峰值在x= 处处均值均值 和标准差和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族正态分布族” 均值均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位可取实数轴上的

15、任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的置；标准差决定曲线的“陡峭陡峭”或或“扁平扁平”程度程度。 越大，正态曲线扁平；越大，正态曲线扁平； 越小，正态曲线越高陡峭越小，正态曲线越高陡峭当当X X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于积给出，而且其曲线下的总面积等于1 2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研

16、室22 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响 称称为位置参数为位置参数(决定对称轴位置决定对称轴位置) 为尺度参数为尺度参数(决定曲线分散性决定曲线分散性)xCAB2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室23标准正态分布标准正态分布(standardize the normal distribution)xxx,e21)(22随机变量具有均值为随机变量具有均值为0，标准差为，标准差为1的正态分布的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布转化为标准正态分布)1 ,0( NXZxtxttxxde21d)()(2

17、-22021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室24)(1)(zz1)(2aazp)()(abbxap)()(abbzap2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室25 例：例：2( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826P XPX (2 )2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查书后附表99.74%3268.26%2395.44%2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室26正态分布正态分布(例题分析例题分析)02275. 097725. 01)2(1)105070(1)70(1)70(XPXP6826.

18、 018413. 021) 1 (2) 1() 1 ()105040()105060()6040(XP2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室27 例：设某地区男子身高例：设某地区男子身高(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm175cm的概率；的概率；(2) 若从中随机找若从中随机找5个男子测身高个男子测身高,问至问至少有一人身高大于少有一人身高大于175cm175cm的概率是多少？恰有一人身的概率是多少？恰有一人身高高大于大于175cm175cm的概率为多少？的概率为多少？2()(169.7,4.1 )X cmN (

19、175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 设 人中有Y人身高大于，则Y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC pp2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室28某市准备通过考试招聘某市准备通过考试招聘300名公务员，其中名公务员，其中280名正式工，名正式工，20名实习工。实际报考名实习工。实际报考人数为人数为1657名，考试满分名，考试满分400分，考后分，考后不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：不久

20、，通过当地新闻媒体得到如下信息：考试平均成绩是考试平均成绩是166分，分，360分以上的高分以上的高分考生分考生31名。某考生名。某考生A的成绩为的成绩为256分。分。他能被录取吗？若被录取，能否是正式他能被录取吗？若被录取，能否是正式工？工？2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室29二项分布的正态近似二项分布的正态近似连续性修正因子（连续性修正因子（continuity correction factor）2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室30430.0008460.000637440.0016610.00134450.00310.002656460.0055

21、030.004963470.0092890.008736480.0149020.014489490.0227070.022642500.032850.033338510.0450880.046251520.0586720.060457530.0723250.074461540.084380.086408550.0930730.094478560.0969510.097332570.095250.094478580.0881340.086408590.0766820.074461600.0626230.0604572021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室312021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室32指数分布指数分布(exponential distribution)若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 称称X服从参数为服从参数为 的指的指 数数分布，记为分布，记为XE( )数学期望和方差数学期望和方差21)(;1)(XDXE其他0) 0( 0e)(xxfx2021-7-7山东轻院皮革教研室山东轻院皮革教研室33指数分布指数分布(概率计算概率计算)随机变量随机变量X取小于或等于某一特定值取小于或等于某一特定值x的概率为的概率为 随机变量随机变量X落入任一区间落入任一区间(a，b)的的概率为概率为 xxXPe