2006年普通高等学校招生全国统一考试含答案

1、绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学 （文史类）（北京卷）本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2 页，第 卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第 卷 （选择题 共 40 分 ）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号除黑。如需改动，用像皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。（1）

2、设集合 A= x2x 13 ，B= x 3x2 ，则 A B等于（A） x 3x2（B） x1x 3 （D） xx1（2）函数 y=1+cos x 的图象（ A）关于 x 轴对称（B）关于 y 轴对称（ C）关于原点对称（D）关于直线 x= 对称2（3）若 a与 b- c都是非零向量，则“ ab=ac”是“ a （b-c）”的（ A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D） 既不充分也不必要条件（4）在 1，2，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数 的共有（A）36个 （B）24 个（C）18 个（D）6个（3 a）x 4a, xx2x

3、3C）x2x3x1B)x1x3x2D)x3 x2 x1（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中 x1 x2 x3，分别表示该时段单位时间通过路段AB, BC , CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等） ， 则绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学 （文史类）（北京卷）本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2 页，第 卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 （共 110 分）注意事项：1.

4、 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。三题号二151617181920总分分数二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分。把答案填在题中横线上。（9）若三点 A（2 ，2），B（a,0）, C（0,4） 共线，则 a 的值等于 。2 7 3（10）在 x 的展开式中， x3 的系数是. （用数字作答）x（ 11）已知函数 f（x） ax 4a 3的反函数的图象经过点（ -1 ， 2 ），那么 a 的值等 于 .（12）已知向量 a=（cos ,sin ）, b =（cos ,sin ）, 且 ab，那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是 .

5、（13）在 ABC中， A， B， C所对的边长分别为 a, b, c. 若 sin A:sin B:sin C=57 8, 则 a b c=, B的大小是 .x y 4,(14)已知点 P(x,y)的坐标满足条件 y x, 点 O 为坐标原点，那么 |PO|的最小值等于 x 1,_,最大值等于 _.三、解答题 :本大题共 6 小,共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(15)(本小题共 12 分)已知函数 f(x)=1 sin2xcosx( )求 f(x)的定义域；4()设是第四象限的角，且 tan = ，求 f( )的值 .3(16)(本小题共 13 分)已知函数 f(x)

6、 ax3 bx2 cx在点 x0 处取得极大值 5，其导函数 y f (x)的图象经过点 (1,0) ， (2,0) ，如图所示 .求：() x0 的值；() a,b,c 的值. (17)(本小题共 14 分) 如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱 .()求证： BD平面 ACC1A1;() 若二面角 C1 BDC的大小为 60o,求异面直线 BC1与 AC所成角的大小 .( 18)(本小题共 13 分) 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案 . 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 . 假设某应聘者对三门

7、指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 .求： ()该应聘者用方案一考试通过的概率； ( )该应聘者用方案二考试通过的概率 .(19)(本小题共 14 分)22椭圆 C: x2 y2 1(a b 0)的两个焦点为 F1,F 2,点 P 在椭圆 C上，且 ab4 14PF1 F1F 2, |PF 1| ,P|F 2 | .33 ()求椭圆 C的方程； ()若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心，交椭圆 C 于 A,B 两点，且 A、B答案:一、（1）（ 8）ABCA DBCC 二、（9）4（10） 84（11）2（ 14） 2 1

8、0三、解答题 （本大题共 6小题，共 80 分） （15）（ 共 12 分）解： （ ）由 cosx0 得 x k + （k Z）,2故 f（x）的定义域为 |x|x k+ ,kZ24（ ）因为 tan=,且 是第四象限的角312）（ 13）5：7：82所以 sin4=,cos54915解得 a=2,b= 9,c=12.关于点 M对称，求直线 l 的方程 .（ 20）（本小题共 14 分）设等差数列 an 的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n项和为 Sn.（ ）若 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；（）若 a16，a110， S14 77，求所有可能的数列 an的通项公式1

9、 sin2 1 2sin cos 故 f( )= =cos cos（16）（ 共 13 分） 解法一：（）由图象可知，在 （-,1）上 f （x）0,在（1,2）上 f （x） 0.在(2,+ )上 f (x) 0.故 f(x)在(-,1),(2,+ )上递增，在 (1,2)上递减 . 因此 f(x)在 x=1 处取得极大值，所以 x0=1.2() f (x)=3 ax +2bx+c,由 f (1)=0, f (2)=0, f(1)=5,3a 2b c 0,得 12a 4b c 0,a b c 5.解法二： ( )同解法一 .2()设 f (x)=m(x-1)(x-2)=mx -3mx+2 m

10、,(17 )(共 14 分) 解法一：() ABCD A 1B 1 C1D 1是正四棱柱， ABCD 是正方形 BD AC且 ACCC1=C, BD 平面() 设BD与AC相交于 O,连接 C1O.BDC1O, C1OC是二面角 C1BDC 的平面角， C1OC=60 o. 连接 A1B. A1C1/AC, A1C1B 是 BC1与 AC 所成的角 .设CO 2 2 a,CC1 CO tan 60. A1B BC12 CC1平面 ADCD, BD CC1 又 AC，CC1 平面 ACC 1 A 1, ACC 1A1. CC 1平面 ADCD, BD AC,BC=a,在 A1BC1中，由余弦定理

11、得cosA1C1B10 a.A1C12a.2A1C12 BC12 A1B22A1C1 BC1BDBD AC,BD CC1,又 AC,CC1 平面 ACC1A1,且AC CC1 C,BD平面 ACC1A1.又 f (x)=3ax2+2bx+c,m 所以 a= ,b=33m,c 2m,2m 3 3 2m3f(x)= x mx 2mx.即m 2m 5, 得 m=632由 f(l)=5,32所以 a=2,b= 9,c=12.5A1C1B arccos 5异面直线 BC1 与 AC所成角的大小为 arccos . 5解法二：()建立空间直角坐标系 D xyz，如图 .设 AD=a,DD 1=b, 则有

12、D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C 1(0,a,b),( a, a,0), AC ( a,a,0),CC1 (0,0, b), BD AC 0,BD CC1 0,a a a a()设 BD与 AC 相交于 O,连接 C1O,则点 O坐标为( a2 , 2a ,0), OC1 (- a2,2a,b),DCABDCOB1D则AtanC1OC CC11 OC异面直线 BC1与 AC所成C1OC是二面角 C1BD C的平面角，C1OC =60 ，63, b a.22 a2AC ( a,a,0), BC1 ( a,0, b),角的大小为5arccos .5( 18

13、)(共 13 分) 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，则 P(A)=0.5 ，P(B)0.6，P(C)=0.9.( ) 应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(AB C)+P( ABC)+P(A BC)+P(ABC)=0.50.60.1+0.5 0.60.9+0.50.40.9+0.50.60.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.( ) 应聘者用方案二考试通过的概率111p2= P(AB)+ P(B C)+ P(AC)3331= (0.5 0.6+0.60.9+0.50.9)31= 1.293=0.43(19)(共 14 分) 解法一：( )因为点

14、P 在椭圆 C 上，所以 2a PF1 PF2 6 ， a=3.在 RtPF1F2中， F1F2PF2 2 PF1 2 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5,从而 b2=a c2=4,BD OC1 0, BD C1O,又 BD CO，cos AC,BC1AC BC1 5 | AC | |BC1 | 522xy所以椭圆 C 的方程为 1.2，1）2，1）（）设 A，B 的坐标分别为（ x1,y1）、（ x2,y2） . 已知圆的方程为（ x+2）2+（y 1）2=5,所以圆心 M 的坐标为 从而可设直线 l 的方程为y=k（x+2）+1,代入椭圆 C 的方程得2 2 2 2（ 4+9k2）x2+（

15、36k2+18k）x+36k2+36k27=0.因为 A，B 关于点 M 对称 .2所以 x1 x218k 2 92k2.2 4 9k 28解得 k ，9所以直线 l 的方程为 y 8 （x 2） 1,9即 8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意 ）解法二：（ ）同解法一 .（ ）已知圆的方程为（ x+2）2+（y 1）2=5,所以圆心 M 的坐标为 设 A，B 的坐标分别为（ x1,y1）,（x2,y2）.由题意 x1 x2 且2 x12y1941,22x2y2941,由得(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)( y1 y2)94因为 A、B 关于点 M 对称， 所以 x1+ x2= 4, y1+ y2=2,代入得 y1 y2 8 ，x1 x2 98 即直线 l 的斜率为 ，9 所以直线 l 的方程为 y 1 8 （ x+2），9 即 8x 9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意 .） （20 ）（共 14 分）解：（）由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,）由2a1 13d 11, 即 2