（全国通用）近年高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直习题理

1、第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,3利用向量解决垂直问题2,41。 （2014湖北卷)如图,在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中,e,f,m,n分别是棱ab，ad，a1b1,a1d1的中点，点p,q分别在棱dd1,bb1上移动，且dp=bq=(02).（1)当=1时,证明：直线bc1平面efpq；(2)是否存在,使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角?若存在，求出的值;若不存在,说明理由。解: 以d为原点,射线da，dc，dd1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系dxyz。由已知得b（2,2，

2、0）,c1(0，2,2），e（2,1,0)，f（1，0，0），p(0，0,）。bc1=（2,0,2），fp=（-1,0，）,fe=(1，1，0）.(1）证明：当=1时,fp=（1,0，1）,因为bc1=（2,0，2），所以bc1=2fp,即bc1fp.而fp平面efpq,且bc1平面efpq，故直线bc1平面efpq。(2)设平面efpq的一个法向量为n=(x，y，z)，则由fen=0,fpn=0,可得x+y=0,-x+z=0.于是可取n=（，1）.同理可得平面mnpq的一个法向量为m=(-2，2-,1）.若存在,使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角.则mn=（-2，2-，1）（,-

3、，1）=0,即（2)(2)+1=0，解得=122.故存在=122,使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角。2. (2016济南市高三上学期期末）如图,边长为2的正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，其中abcd,abbc,cd=bc=12ab=1,点m在线段ec上。 （1)证明：平面bdm平面adef；(2）若em=2mc,求平面bdm与平面abf所成锐二面角的大小.（1）证明：如图,因为dc=bc=1,dcbc，所以bd=2，因为ad=2,ab=2，所以ad2+bd2=ab2，所以adb=90,所以adbd,因为平面adef平面abcd,edad,平面adef平面abcd=

4、ad,所以ed平面abcd,则bded。因为adde=d，所以bd平面adef，又bd平面bdm，所以平面bdm平面adef.(2）解：在平面dab内过点d作dnab，因为abcd，所以dncd，又因为ed平面abcd,所以dned。以d为坐标原点,dn所在的直线为x轴，dc所在直线为y轴,de所在直线为z轴，建立直角坐标系，则b（1,1，0),c(0，1，0)，e（0,0，2)，n(1，0,0）,m(0,23,23)。设平面bmd的法向量为n1=（x，y，z）,所以n1dm=0,n1db=0,所以23y+23z=0,x+y=0.令x=1，得n1=（1,1,2).因为平面abf的法向量n2=（

5、1，0，0)，所以cos=12.所以平面bdm与平面abf所成锐二面角是3。3。（2016枣庄市高三3月模拟）如图,在四棱柱abcda1b1c1d1中,侧棱aa1平面abcd,底面abcd为菱形,abc=120，ab=aa1=2,acbd=o,e,f分别是线段a1d,bc1的中点。延长d1a1到点g，使得d1a1=a1g。(1)证明：gb平面def;(2）求直线gd与平面def所成角的正弦值.证明：如图,以o为坐标原点，分别以ob，oc的方向为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz。(1)在菱形abcd中，ab=ad=bc=2,abc=120,所以bd=2，ac=23，o为ac和bd的

6、中点。又aa1平面abcd，aa1=2。可得b（1,0,0），d（1,0，0），a1（0,3，2),c1(0，3，2），d1(-1,0,2).由e，f分别是线段a1d,bc1的中点，得e（-12，-32,1）,f（12,32,1）。由d1a1=a1g，求得g（1，-23，2）。于是ed=(12,32，1）,ef=(1,3,0)，gb=（0,23,-2)。设平面def的一个法向量n=(x，y,z）.由ned=0,nef=0,得-12x+32y-z=0,x+3y=0.令y=1，得x=3,z=-3.所以n=（3,1,3）。所以gbn=03+23(1）+(2）（3）=0,所以gbn。又gb平面def，

7、所以gb平面def。（2）由（1）得面def的法向量n=（3，1，-3）.而gd=(-2,23,2），设直线gd与平面def所成的角为,则sin =cosn,gd=|ngd|n|gd|=23725=10535。4。 导学号 18702400如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别为a1b1,b1c1，c1d1的中点.（1）求证:ag平面bef;（2)试在棱bb1上找一点m，使dm平面bef,并证明你的结论.(1)证明：以d为坐标原点,da,dc,dd1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则a(1，0，0）,b(1,1，0),e（1，12,1）,f（12,

8、1，1),g(0,12，1)，ef=（12,12,0）,bf=（12，0,1）,而ag=（1,12，1),所以ag=ef+bf，故ag与平面bef共面，又因为ag不在平面bef内，所以ag平面bef。(2)解:设m(1,1，m),则dm=（1,1,m）,由dmef=0,dmbf=0，所以-12+m=0m=12，所以m为棱bb1的中点时，dm平面bef。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共

9、同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, please correct them. i hope this article can solve your doubts and