自动控制5-1频率特性

1、1第五章第五章 频率响应法频率响应法 5.1 频率特性频率特性 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 5.3 控制系统的频率特性控制系统的频率特性 5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 5.5 稳定裕量稳定裕量 5.6 闭环频率特性闭环频率特性 5.7 频率特性分析频率特性分析2第五章第五章 频率响应法频率响应法 控制系统的控制系统的时域分析法时域分析法是研究系统在典型输入是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标

2、直接评价系统的性能。因此，时从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。域法具有直观、准确的优点。 然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。或参数。3 在工程实践中在工程实践

3、中, 往往并不需要准确地计算系统往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望能够避开繁复的计算，响应的全部过程，而是希望能够避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。影响。 因此，主要采用因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率响应法，析系统性能，这就是根轨迹法与频率响应法，本章本章将详细介绍控制系统的频率响应法。将详细介绍控制系统的频率响应法。4 频率响应法频率响应法：又称为频域分析法又称为频域分析法，是利用系统是利用系统的的频率特性频率特性（元件或系统对不同频

4、率正弦输入信号（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性稳定性、快速性及准确性等，是等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。论的核心内容。 5 频率响应法，是一种图解的分析方法，它不必频率响应法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：的闭环特征根，具有较多的优点。如： 根据系统的根据系

5、统的开环频率特性开环频率特性能揭示能揭示闭环闭环系统系统的动态性能和稳态性能的动态性能和稳态性能, , 得到定性和定量的结论，得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响性能的影响, ,并提出改进系统的方法。并提出改进系统的方法。频率响应法频率响应法的特点：的特点：6第五章第五章 频率响应法频率响应法 时域指标和频域指标之间有对应关系，而且时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，公式，简化简化控制系统的分析控制系统的分析与设计与

6、设计。 频率特性具有明确的物理意义，它可以通过频率特性具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。去建立数学模型的系统尤其有利。 频率响应法使得控制系统的分析十分方便、频率响应法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。7第五章第五章 频率响应法频率

7、响应法 本章重点介绍本章重点介绍频率特性的基本概念、频率特性频率特性的基本概念、频率特性曲线的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的曲线的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。的方法。8第五章第五章 频率响应法频率响应法95.1 频率特性频率特性)()()(trtcdttdcT 11)()( TssRsC解：解： RC电路的微分方程为电路的微分方程为 式中，式中，T=RC。传递函数传递函数为：为： R C r(t) c(t) 例：例： RC线性电路，当输入为正弦电压线性电路，当输入为正弦电压r(t)

8、=Asin t 时，时，c(t)的稳态输出为多少？的稳态输出为多少？10如果输入为正弦电压如果输入为正弦电压r(t)=Asin t ，c(t)的稳态输出：的稳态输出：AC sTss221( )1 A TA TAsTTTsTs222221()1()1()1/ tTA TA TAc tettTTT222( )cossin1()1()1() sstA TAc tctttTT22lim ( )( )cossin1()1() 11ATttTTT2221cossin1()1()1() AtTT2sin(arctan)1() css(t)1 T12 r(t)t0css(t)t0r(t) = Asin t)a

9、rctansin(1)(22TtTAtcss13可见：可见： 稳态输出电压仍然是正弦电压，稳态输出电压仍然是正弦电压，且且其频率和输入电其频率和输入电 压频率相同。压频率相同。 稳态输出电压幅值是输入电压幅值稳态输出电压幅值是输入电压幅值 倍倍， 是频率是频率 的函数的函数，记为，记为 A() 。2)(1/1T 稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctan T， 是频率是频率 的函数的函数，记为，记为 () 。 r(t) = Asin t)arctansin(1)(22TtTAtcss比较：比较：14tTAarctan)(11)(22)(sin)()(t

10、AAtcss RC线性电路线性电路的传递函数为的传递函数为eTjjsTTjsGjGarctan2)(1111)()(11TssRsCsG)()()(取取 s = j , 则有则有15 上式上式表明，表明，A() 和和 () 与系统的数学模型有本质与系统的数学模型有本质关系，可以证明这一点具有普遍性关系，可以证明这一点具有普遍性。)(11)(22jGTA)(sin)()(jGtjGAtcss )(arctan)(jGt16 设有稳定的线性定常系统，其传递函数为设有稳定的线性定常系统，其传递函数为 mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR ssa sasa1011111( )( )( )

11、系统的输入为谐波信号系统的输入为谐波信号 为简便为简便假设假设ttrrr trtjj000( )cosee22 由欧拉公式，由欧拉公式，r(t)可写成可写成 17ttrrr trtee jj000( )cos22 mmmmnnnnb sb sbsbr ssa sasass10110111(j )(j ) niiiCDBssss1jj 经拉氏反变换，得经拉氏反变换，得 rrr sR sssss00011( )2j2j(j )(j ) 18ttssctBeDejj( ) srBG sR ssG 0j( )( ) (j )( j )2 srDG sR ssG 0j( )( ) (j )(j )2 t

12、GtGssrrctGeGej(j)j(j)00( )(j)(j)22 r GtG0(j ) cos(j ) sGG s j(j)( ) )()(1tjtjnitsiDeBeeCtci19 G(s)c(t)r(t) 可见可见，对于稳定的线性定常系统，由谐波信号产，对于稳定的线性定常系统，由谐波信号产生的稳态输出仍然是与输入同频率的谐波信号，而幅生的稳态输出仍然是与输入同频率的谐波信号，而幅值和相角的变化是频率值和相角的变化是频率 的函数，且与系统数学模型的函数，且与系统数学模型有关。有关。定义：定义：G( j) 为为频率特性频率特性， 幅值比幅值比 A() =G( j) 为为幅频特性幅频特性，

13、相位差相位差 () =G( j) 为为相频特性相频特性。 ssctr GtG0( )(j ) cos(j ) 输入：输入： 稳态输出：稳态输出： 20第五章第五章 频率响应法频率响应法 说明：说明： （1）稳态输出与输入的幅值比与相位差只与系统）稳态输出与输入的幅值比与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率的结构、参数及输入正弦信号的频率 有关。在系有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比与相位差统结构、参数给定的前提下，幅值比与相位差仅是仅是 的函数，可以分别表示为的函数，可以分别表示为 A() 与与 () 。 （2）频率特性描述的是：频率特性描述的是： 线性定常系统（或元件）在零

14、初始条件下，当线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率输入信号的频率 在在 0 0 的范围内连续变化时，系的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率统稳态输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率 变化而呈现的变化规律。变化而呈现的变化规律。21第五章第五章 频率响应法频率响应法 （3）幅频特性）幅频特性 A() 描述的是，幅值比随频率而描述的是，幅值比随频率而变化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入变化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入时，在幅值上是放大（时，在幅值上是放大（A1）还是衰减（）还是衰减（A1）。）。 （4）相频特性）相频特性

15、 () 描述的是，相位差随频率而变描述的是，相位差随频率而变化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入时，化的规律。它反映系统在响应不同频率的正弦输入时，在相位上是超前（在相位上是超前（ 0）还是迟后（）还是迟后（ 0）。）。 （5）频率特性中，频率）频率特性中，频率 是一个变量。是一个变量。 （6）频率特性可以反映出系统对不同频率的正弦频率特性可以反映出系统对不同频率的正弦输入的跟踪能力，输入的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。在频域内全面描述系统的性能。 （7）频率特性频率特性只与系统的结构、参数有关，是线只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。性定常系统的固有特性。 （

16、8）频率特性的定义也适用于不稳定系统。）频率特性的定义也适用于不稳定系统。22第五章第五章 频率响应法频率响应法 频率特性是描述系统固有特性的数学模型，频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。与微分方程、传递函数之间可以相互转换。 以上三种数学模型以不同的数学形式表达系以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。 微分方程微分方程（以（以t为变量）为变量） 传递函数传递函数（以（以s为变量）为变量）

17、 频率特性频率特性（以（以为变量）为变量） 控制系统数学模型之间的转换关系控制系统数学模型之间的转换关系sdtdjs 231 频率特性：频率特性：G(j ) 复指数形式复指数形式 ： G(j ) = A( ) e j ( ) 实数和虚数和的形式：实数和虚数和的形式： G(j )= Re( ) + j Im( ) 2 幅频特性：幅频特性： A( ) ，A( ) = G(j ) ， 表示表示稳态输出与输入振幅之比。稳态输出与输入振幅之比。3 相频特性：相频特性： ( ) ， ( ) = G(j ) 表示表示稳态输出与输入相位差。稳态输出与输入相位差。4 实频特性：实频特性： Re( )，G(j )

18、 的实部。的实部。 5 虚频特性：虚频特性： Im( )，G(j ) 的虚部。的虚部。 24 在复平面中绘制。在复平面中绘制。 特点是：把频率特点是：把频率 看成参变量，当看成参变量，当 从从0时，时，频率特性频率特性 G( j ) 的矢端轨迹。的矢端轨迹。1. 极坐标图极坐标图（幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线，幅相曲线，奈氏曲线，幅相曲线，奈氏曲线） = =0ImRe0G(j )2)(1/1)(TA ( )= arctan T =1前面讨论的前面讨论的RC电路的极坐标图。电路的极坐标图。25 2. 伯德图（对数伯德图（对数频率特性曲线）频率特性曲线） 包括包括对数对数幅频特性曲线幅频特性曲

19、线和和对数对数相频特性相频特性曲线曲线。 在半对数坐标系中绘制。在半对数坐标系中绘制。横坐标表示频率横坐标表示频率 ，按对数分度，单位是，按对数分度，单位是rad/s 。10 lg 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101 =1 =10 2345 6 7 8 920304026 在在 轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程，轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程，例如例如 从从1到到2，2到到4，3到到6，10到到20等的范围都是一等的范围都是一倍频程倍频程 ； 每变化十倍，称为十倍频程（每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如

20、，例如 从从1到到10，2到到20 ，10到到100等的范围都是十倍频程等的范围都是十倍频程 ；所有；所有的十倍频程在的十倍频程在 轴上对应的长度都相等。轴上对应的长度都相等。 =1 =10 2345 6 7 8 9203040 横轴按频率的对数横轴按频率的对数 lg 标尺刻度，但标出的是频率标尺刻度，但标出的是频率 本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。 横轴压缩了高频段，扩展了低频段。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。27 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是函数值，均匀分度，单

21、位是dB(分贝分贝)L( ) = 20lgA( ) 相频曲线相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。分度，单位是度。 ( ) =G( j ) 28L( )/dB ( )/()90 9020 20 1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 29下图是下图是 RC网络网络G(j ) =1/(1+ jT )，T = 0.5时的伯德图。时的伯德图。 L( )/dB0202-20dB/dec -90 ( )/()030 -90 ( )/()05.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性w1 .1

22、 .比例环节比例环节 其传递函数为其传递函数为 G(s) = K 频率特性为频率特性为 G(j ) = K （1）极坐标图）极坐标图 A( ) = K ( ) = 0 Re( )=K Im( )=0 （2）伯德图）伯德图 L( ) = 20lgK ( ) = 0 ImRe0K20lgK L( )/dB020 ( ) = 0 31 jjG1)( 1)( A（2）伯德图）伯德图 L( ) = 20lgA( ) = 20lg ( ) = 90 ImRe0 =0 = = （1）极坐标图）极坐标图 ( ) = 90 90 ( )/()0 20dB/dec L( )/dB020110w2 2. . 积分环

23、节积分环节 频率特性频率特性 1)Im(0)Re(32w3 3. . 微分环节微分环节 频率特性频率特性 G(j ) = j （1）极坐标图）极坐标图 A( ) = ( ) = 90 Re( )=0 Im( )= （2）伯德图）伯德图 L( ) = 20lgA( ) = 20lg ( ) = 90 由于微分环节与积分由于微分环节与积分环节的传递函数互为倒数，环节的传递函数互为倒数， L( )和和 ( ) 仅相差一个仅相差一个符号。因此，伯德图是对符号。因此，伯德图是对称于称于 轴的。轴的。ImRe0 =0 = = 90 ( )/()0 L( )/dB02010120dB/dec33w4 4 .

24、 . 惯性环节惯性环节 频率特性为频率特性为TjjG 11)(2222111)(TTjTjG 2211)(TA（1）极坐标图）极坐标图222222222221)(Im21)Re()Re()(Im)(Re)(Re)(Im11)Re()()(Re)(Im)Re()Im(TT ImRe0 = =0 1Tarctan)(实部与虚部表达式为：实部与虚部表达式为：34（2）伯德图）伯德图对数幅频特性对数幅频特性 2222120lg1120lg)(TTL 因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于似表示，这两条直线称

25、为渐近线。两条直线交于 T = 1或或 =1/T。频率频率1/T 称为惯性环节的交接频率或转折频率。称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/T L( )1当当 1/T 时，时，L( ) 20lg1 = 0 20dB/dec2当当 1/T 时，时，L( ) 20lg T35 1/ lg201lg20/1 1lg20)(2222TTTTTL 如图可见，交接频率的地方误差最大，约如图可见，交接频率的地方误差最大，约 3dB3dB。0.1/T 1/T 2/T 4/T 8/T 10/T0dB 1dB 2dB 3dB 4dB用渐近线近似表示用渐近线近似表示L( )，必然存在误差，必然存在误差L( )，L(

26、)可按以下公可按以下公式计算：式计算： L( ) = L( ) La( )式中，式中，L( )表示准确值，表示准确值，La( )表示近似值，有表示近似值，有36相频特性为：相频特性为： ( ) = arctan T T = 0 ( ) = 0 T = 0.3 ( ) = 16.7 T = 0.8 ( ) = 38.7 L( )/dB0201/T 20dB/dec 90 ( )/()0 T = 1 ( ) = 45 T ( ) = 9037w5 5. . 一阶微分环节一阶微分环节 频率特性频率特性 G(j ) = 1 + j T （1）极坐标图）极坐标图221lg20)(TL （2）伯德图）伯德

27、图 ( )=arctan T 221)(TA ( )=arctan T ImRe0 =0 = = 90 ( )/()0 L( )/dB0201/T20dB/decRe( )=1 Im( )= T 38nnnnnjjjjG2112)()(222222222224)1(1)(nnA n2n2nn2n2n12arctan12arctan)(1) 极坐标图极坐标图 幅频特性为幅频特性为相频相频特性为特性为w 6 6. . 振荡环节振荡环节频率特性频率特性390ReIm1 =0 值小值小 值大值大 n40 rMr A( ) 由图可见，幅频特性的最大值随由图可见，幅频特性的最大值随 减小而增大其值减小而增

28、大其值可能大于可能大于1 1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一频率某一频率 = = r（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰值值Mr 。在产生谐振峰值处，必有。在产生谐振峰值处，必有 2121)( rrAM221 nrrAdd 0)(1041可以看出：可以看出： 1） 0.707，没有峰值，没有峰值，A( )单调衰减；单调衰减； 2） = 0.707， Mr = 1， r = 0，这正是幅频特性曲线的，这正是幅频特性曲线的 初始点；初始点； 3） 1， r 0，幅频，幅频A( )出现峰值。出现峰值。 而且而且 越小，峰

29、值越小，峰值Mr 及谐振频率及谐振频率 r 越高；越高； 4） = 0，峰值，峰值Mr 趋于无穷，谐振频率趋于无穷，谐振频率 r 趋于趋于 n 。 这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，引起环节的共振。环节处于临界稳定的状态。引起环节的共振。环节处于临界稳定的状态。 峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。 对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比 小，小，这和时域分析法一章所得结论是一致的。这和时域分析法一章所得结论是一致的。2121)( rrAM221

30、nr422222224)1(1lg20)(nnL 当当 n时，时，L( ) 20lg 2 / n2 = 40lg / n 。根据上式可以作出两条渐近线。根据上式可以作出两条渐近线。 （2）伯德图）伯德图 对数对数幅频特性幅频特性 L( ) n 40dB/dec432222222222/lg20)/2()/1 (lg20)/2()/1 (lg20),(nnnnnL误差计算公式是误差计算公式是： 这是一条斜率为这是一条斜率为 40dB/dec直线，和零分贝线交于直线，和零分贝线交于 = n的地方。故的地方。故振荡环节的转折频率为振荡环节的转折频率为 n 。44下图为下图为 L( , ) 的曲线的曲

31、线 0.1 0.2 0.4 1 2 4 6 8 10 / n201612840-4-8 = 0.05 =10.10.20.30.40.50.60.845相频特性相频特性 = 0 (0) = 0 = n ( n) = 90 ( ) = 180 由于系统阻尼比取值不同，由于系统阻尼比取值不同， ( ( ) )在在 = n邻域的角邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。n2n2nn2n2n12arctan12arctan)(460.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,247nnjsnnnjssjG 2)1(2)(22222 ImRe0 =01 =

32、= w 7. 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性频率特性 由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。 极坐标图为极坐标图为：48由于由于 ( )随频率的增长而线性随频率的增长而线性迟迟后，将严重影响系统的稳定性后，将严重影响系统的稳定性ImRe0 大大 ( )/()0 L( )/dB0 小小 =0w 8 8. . 延迟环节延迟环节 其频率特性其频率特性 ：G(j ) = e j w 幅值特性：幅值特性：A( ) = e j = 1 相频特性：相频特性

33、： ( ) = (rad) = 57.3( )幅值总是幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。49第五章第五章 频率响应法频率响应法505.3 控制系统的频率特性控制系统的频率特性5.3.1 开环极坐标图开环极坐标图 )(21)()()()()( jnkeAjGjGjGjG niinAAAAA121)()()()()( nii1)()( 式中式中 分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。设开环设开环

34、传递函数传递函数为：为：则则开环频率特性为：开环频率特性为：)()()()(n21ksGsGsGsG51 解解: : RC超前网络的传函为超前网络的传函为 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA 111)( TjTjTjTjjG 例例5-1 如如图所示图所示RC超前网络超前网络, ,要求绘制它的幅相曲线。要求绘制它的幅相曲线。1)( TsTssG式中式中 T=RC 。其频率特性为。其频率特性为 R C r(t) c(t)525.0 0.982 11.32.0 0.895 301.0 0.707 45幅相曲线如图幅相曲线如图ImRe0 T=125 T= T=01 T A( ) (

35、 )()0 0 900.1 0.0995 84.30.3 0.288 73.3 10 ( ) = 90 arctan T2)(11)(TTA 53TjjTssjGjs11)( 把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系列列 值代入，计算相应的实频和虚频值值代入，计算相应的实频和虚频值, ,绘制出开环幅相绘制出开环幅相曲线。曲线。 由开由开环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，当当s=j 时，可作出相应零点或极点对应的矢量时，可作出相应零点或极点对应的矢量( (频率特频率特性性) )，根据所对应的，根据所

36、对应的 值，计算出有关矢量的长度和角度，值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。就能求得频率特性。 例例5-2 由极点由极点零点分布图求例零点分布图求例1中的频率特性中的频率特性 解：解：54 G(j0) = 0 90 G(j1/T) = 0.707 45 G(j2/T) = 0.895 30 G(j5/T) = 0.982 11.3 G(j ) = 1 0 0 j -1/Tj +1/T ImRe0 =1/T2/T5/T = TjjA1)()1()(Tjj55121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s

37、 1. 1. 极坐标图的起点极坐标图的起点即即 0时，时，Gk(j0+)在在复平面上的位置。复平面上的位置。0 0型系统：型系统： Gk(j 0) =K0I I型及型及I I型以上系统：型以上系统：0( 0)()kvKGjj 幅值()vKj 0 相角相角()vKvj 020v=0v=1v=2 最小相位系统最小相位系统56121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s 2. 2. 极坐标图的终点极坐标图的终点即即 +时时，Gk(+j)在在复平面上的位置复平面上的位置。()()kn mKGjj 相角相角()()n mK

38、nmj 2幅值幅值()n mKj 00n-m=2n-m=3n-m=157121222112211(1)(21)( )(1)(21)mmklllklknnvijjjijsssKGssT sT sT s 3. 3. 与实轴的交点与实轴的交点令 ，解得x；Im()kGj 0将其代入Re()kGj 即得与实轴的交点。4. 4. 变化范围变化范围根据实频、虚频符号或相角范围决定所在象限。58 (1) 确定起点确定起点( =0)：精确求出：精确求出A(0) ， (0) ； (2) 确定终点确定终点( = )：求出：求出A( ) ， ( ) ； (3) 确定曲线与确定曲线与实实轴的交点：轴的交点： G(j

39、)=Re( )+j Im( ) 令令 Im( ) = 0 求出求出 x 代入代入 Re( x)，求出，求出与实与实 轴的交点轴的交点； (4) 确定曲线所在象限；确定曲线所在象限； 根据根据Re( )和和Im( )的符号，或根据的符号，或根据 ( )的变化范围。的变化范围。 最后最后由起点出发，绘制曲线的大致形状。由起点出发，绘制曲线的大致形状。59系统系统的幅频的幅频特性特性 ：1)1)()(jTjTKjG21k11)(222221TTKA系统系统的相频的相频特性特性 ：TT21arctanarctan)(01)1)()(KsTsTKsG21k试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲

40、线。例例5-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为系统开环频率特性系统开环频率特性 解：系统解：系统为为 最小相位系统，最小相位系统，0 型，型，n m = 2。 6001)1)()(KsTsTKsG21k试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线。例例5-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为 解：系统解：系统为为 最小相位系统，最小相位系统，0 型，型，n m = 2。 （3）与实轴的交点：与实轴的交点：（1）起点：起点：A(0) = K, (0)=0 （2）终点：终点：A( ) = 0, ( )= 180 )()()()( )()(11111111jTjTjTjTjTjTKj

41、TjTKjG21212121k61 )()()(2222211(1212121TTjTTTTKjGk因此，与实轴交于点（因此，与实轴交于点（K , 0）。 令令 Im( ) = 0 求出求出 x =0 代入代入 Re( x)=K)()()(2222111Re2121TTTTK2)()()(222211Im2121TTTTK虚频：虚频：实频：实频：62当当 增加时，增加时， ( )是单调减的，从是单调减的，从0 变化到变化到 180 。（4）曲线所在象限：曲线所在象限： Im( ) 0Re( )可正可负可正可负故曲线在第故曲线在第III，IV象限。象限。或或系统系统的相频的相频特性特性 ：TT2

42、1arctanarctan)(63ImRe0 =0 幅相曲线大致形状如图幅相曲线大致形状如图: :)1)(1()(21 sTsTksGk64例例5-4 已知系统开环传函为已知系统开环传函为 解：系统解：系统为为 最小相位系统，最小相位系统，I 型，型，n m = 2。 )1(1)( sssGk（1）起点：起点：Gk (j0) = 90 （2）终点：终点：Gk (j ) = 0180 （3）与实轴的交点）与实轴的交点:)1(111)1(1)(22 jjjjGk通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线

43、。65或或当当 增加时，增加时， ( )是单调减的，从是单调减的，从 90 变化到变化到 180 。（4）曲线所在象限：曲线所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲线在第故曲线在第III象限。象限。)1(111)1(1)(22 jjjjGk ( ) = 90 arctan 当当 =0时，实部函数有渐近线为时，实部函数有渐近线为1。66开环开环概略极坐标图如下所示：概略极坐标图如下所示：ImRe0 =0 1)1(1)( sssGk67例例5-5 已知系统开环传函为已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线。 1）起点：起点：Gk (j0) = 180 2）终点：终点

44、：Gk (j ) = 0270 3）与实轴的交点：）与实轴的交点：)1)(5 . 01()21()(2ssssksGk )1)(25. 01()5 . 0()5 . 21()(22222 jkjGk令令 Im( )= 0 x = 0.707 Re( x) = 2.67k 解：系统解：系统为为 最小相位系统，最小相位系统，II 型，型，n m = 3。 68或或当当 增加时，增加时， ( )是单调减的，从是单调减的，从 180 变化到变化到 270 。（4）曲线所在象限：曲线所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲线在第故曲线在第II和和III象限。象限。 ( ) = arctan2 180

45、 arctan arctan0.5 3 + 0.5 = 180 + arctan 1 + 2.5 2)1)(25. 01()5 . 0()5 . 21()(22222 jkjGk69ImRe0 =0 2.67k开环开环概略极坐标图如下所示：概略极坐标图如下所示：)1)(5 . 01()21()(2ssssksGk 701)( TsksGk1TjkjGk)( 例例5-11 一单位反馈系统，其开环传函一单位反馈系统，其开环传函频率特性频率特性 试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线。 解：系统解：系统为为非最小相位系统非最小相位系统，不能根据型别、，不能根据型别、n m的值确定起点和终

46、点。的值确定起点和终点。 幅频幅频特性特性 相频相频特性特性 () = ( arctan)122TkA)(71ReIm0 = 0 k （1）起点：起点：当当 = 0，Gk (j0) = k180 （2）终点：终点：当当 ，Gk (j ) = 90 （3）与实轴的交点：）与实轴的交点：2211111TTjkTjTjTjkjGk)()()()(（4）曲线所在象限：曲线所在象限： Im( ) 0Re( ) 0故曲线在第故曲线在第III象限。象限。72 开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为 nii1)()( n1iin1ii)()(20lg)(20lg)(L

47、AAL说明：说明： L( ( ) )和和 ( ( ) )分别都是各典型环节的叠加。分别都是各典型环节的叠加。73 例例5-6 已知一单位反馈系统，其开环传函为已知一单位反馈系统，其开环传函为)12 . 0(10)( sssG要求绘制伯德图。要求绘制伯德图。552 . 0lg200解：开环传函由三个典型环节组成：解：开环传函由三个典型环节组成： 比例环节比例环节 10 积分环节积分环节 1/s 惯性环节惯性环节 1/(0.2s+1)，转折频率为，转折频率为5 比例环节比例环节的对数幅频特性：的对数幅频特性：20lg10 = 20 积分环节积分环节的对数幅频特性：的对数幅频特性： 20lg 惯性环

48、节惯性环节的对数幅频特性：的对数幅频特性：74 L( )/dB0201 20dB/dec105 40dB/dec 20dB/dec552 . 010lg202 . 0lg20lg2010lg2010lg20lg2010lg20)(L75 分析开环对数幅频曲线，有下列特点：分析开环对数幅频曲线，有下列特点：（1）最左端直线的斜率为）最左端直线的斜率为 20 dB/dec，这一斜率完全由，这一斜率完全由 G(s)的积分环节数决定；的积分环节数决定；（2） =1时，曲线的分贝值等于时，曲线的分贝值等于20 lgK；（3）在惯性环节）在惯性环节转折转折频率频率5(rad/s)处，斜率从处，斜率从 20

49、dB/dec 变为变为 40 dB/dec 。 L( )/dB0201 20dB/dec105 40dB/dec 20dB/dec76 一般的近似对数幅频曲线特点：一般的近似对数幅频曲线特点：(1) 最左端直线的斜率为最左端直线的斜率为 20NdB/dec，N是积分环节是积分环节 个数个数;(2) 在在 =1时，最左端直线或其延长线的分贝值等于时，最左端直线或其延长线的分贝值等于 20lgK，或，或最左端直线或其延长线在最左端直线或其延长线在 =K1/N 时时过过 0 分贝线；分贝线；(3) 在在转折转折频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取取 决于典型环节

50、种类。决于典型环节种类。具体地，具体地， 在惯性环节后，斜率减少在惯性环节后，斜率减少 20dB/dec； 在在一阶微分一阶微分环节后，斜率环节后，斜率增加增加 20dB/dec； 在振荡环节后，斜率减少在振荡环节后，斜率减少 40 dB/dec； 在在二阶微分二阶微分环节后，斜率环节后，斜率增加增加 40 dB/dec。77 绘制近似对数幅频曲线的步骤：绘制近似对数幅频曲线的步骤： 在半对数坐标上标出所有的转折频率；在半对数坐标上标出所有的转折频率； 确定低频段的斜率和位置；确定低频段的斜率和位置； 斜率：斜率： 20NdB/dec，N是积分环节个数是积分环节个数; 位置位置：最左端直线或其

51、延长线最左端直线或其延长线 在在 =1时，时，分贝值为分贝值为20lgK， 或或在在 = K1/N 时时，过，过 0 分贝线。分贝线。 由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率， 曲线的斜率发生相应的变化。曲线的斜率发生相应的变化。78 对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。的草图。 k

52、( ) = 090arctan(0.2 ) -90 ( )/()0-180 k(0)= 90 k( ) = 180 k(1)= 101.3 k(5)= 135 k(10) = 153.4 1 5 1079 例例5-7 绘制单位反馈系统的开环传函为绘制单位反馈系统的开环传函为)20)(1()2(100)( sssssGk试绘制系统的对数幅频曲线。试绘制系统的对数幅频曲线。1)1)(0.05(1)10(0.5)(ksssssG 开环传函由以下开环传函由以下五五个典型环节组成：个典型环节组成： （1）比例环节比例环节 10 （2）积分环节积分环节 1/s （3）一阶微分）一阶微分环节环节 0.5s+1，转折频