曲线的参数方程

1、 曲线的参数方程曲线的参数方程 2、注意：、注意：相对于参数方程而言，直接给出点的坐相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。标间关系的方程叫做普通方程。注：关于参数几点说明：注：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1. 参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念：

2、例例1: 已知曲线已知曲线c的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点m1(0, 1)，m2(5, 4)与曲线与曲线c的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点m3(6, a)在曲线在曲线c上上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt为参数2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（ ） 练习1sin,(cosxy为 参 数 ）a、（、（2，7）；）；b、 c、 d、（、（1，0） 1 2( , );3 31 1( , );2 21、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )a、（、（1，4）；）；b、 c、 d、21,(43xttyt 为

3、参 数 ）25(,0);16(1, 3);25(,0);16 已知曲线已知曲线c的参数方程是的参数方程是 点点m(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线c的普通方程的普通方程.212 ,().xttyat 为参数,ar训练2：思考题：思考题：动点动点m作匀速直线运动作匀速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴方向的轴方向的速度分别为速度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点p(1,2), 求点求点m的的轨迹参数方程。轨迹参数方程。解：设动点m (x,y) 运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点m的轨迹参数方程为tytx12251

4、参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点p坐标为坐标为(x,y) （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点p坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 ( ),( ).xf tyg t（2）并且对于并且对于t

5、的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点m(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。2、圆的参数方程、圆的参数方程yxorm(x,y)0m)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三，设，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trottrytrxrytrxtromtyxmmt转过的角度。

6、的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取考虑到00)(sincosomomoomroryrxt圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数

7、为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。例、例、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)例例2 如图，圆如图，圆o的半径为的半径为2，p是圆上的动点，是圆上的动点，q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，m是是pq的中点，当点的中点，当点p绕绕o作匀速圆周运动时，求点作匀速圆周运动时，求点m的轨迹的参数方的轨迹的参数方程。程。yoxpmq)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是