高中立体几何模拟题(附答案)

1、高中立体几何模拟题一.选择题(共9小题)1 .在空间直角坐标系中，已知点p (x, y, z),下列叙述中正确的个数是()点p关于x轴对称点的坐标是pi (x, -y, z);点p关于yoz平面对称点的坐标是 p2 (x, -y, -z)；点p关于y轴对称点的坐标是p3 (x, - y, z)；点p关于原点对称的点的坐标是 p4 (-x, -y, -z).a. 3 b. 2 c. 1 d. 02.空间四边形abcd中，若向量标=(-3, 5, 2),而=(-7, -1, -4)点e, f分别为线段bc, ad的中点，则瓯的坐标为()a.(2,3,3)b. (-2, -3,-3)c.(5,-2,

2、 1) d. (-5, 2, t)3 .设平面a的一个法向量为3 -2),平面b的一个法向量为门工二(一2, -4, k),若 a/ b,贝u k=()a. 2 b. - 4 c. - 2 d. 44 .已知二(3, -2, -3), b= ( - 1, x-1, 1),且二与？的夹角为钝角，则 x的取值范围是()a. (-2, +wb. ( 2,左)u (% +w c.(一巴2) d.(一,+oo5 .若】(1, % 2), e= (2, -1, 1),鼻与e的夹角为60,则入的值为()a. 17 或-1 b. - 17 或 1 c. - 1 d. 16 .设平面a内两个向量的坐标分别为(1

3、, 2, 1)、(- 1, 1, 2),则下列向量 中是平面的法向量的是()a. (1, -2, 5) b. (1, 1, 1) c. (1, 1, 1) d. (1, t, t)7 .若 (1, -2, 2)是平面a的一个法向量，则下列向量能作为平面a法向量的是()a. (1, -2,0)b.(0,-2,2)c.(2, 4,4)d.(2,4,4)8 .如图，在长方体 abcd- a1b1c1d1 中，ab=bc=2 aa1=1,则 bg 与平面 bb1d1d所成角的正弦值为()a. _ b._ c,： d,二9 .如图，在直三棱柱 abc- a1b1c1 中，ab=1, ac=2, bcv3

4、, d, e 分别是 ac和bbi的中点，则直线de与平面bbigc所成的角为()二.填空题(共3小题)10 .设平面a的一个法向量为同二(1,2, -2),平面b的一个法向量为司=(-2, 4, k),若 a/ 3 贝u k=.11 .在空间直角坐标系中，已知点 a (1, 0, 2), b (1, - 3, 1),点m在y轴 上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是.12 .如图所示，在三棱柱 abc- a1b1c1 中，aa1,底面 abc, ab=bc=aa, /abc=90,点e、f分别是棱ab、bbi的中点，则直线ef和bc的夹角是三.解答题(共18小题)13 .如图，四边形ab

5、cd为矩形，四边形adef为梯形，ad/fe, / afe=60,且 平面abcdl平面adef，af=fe=a*知=2,点g为ac的中点.(i )求证：eg/平面abf;(h)求三棱锥b-aeg的体积；(田)试判断平面bae与平面dce是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请 说明理由.fe14 .如图，已知正三棱柱 abc- a1b1c1中，d是bc的中点.(1)求证：平面 ab1d，平面b1bcc;(2)求证：a1c/平面 ab1d.15 .如图，在 abc中，/abc=45, / bac=90, ad是bc上的高，沿 ad把是 bc上的4abd折起，使/ bdc=90.(i )证明：平面

6、 adb，平面bdq(h)设bd=1,求三棱锥d-abc的表面积.,sa! ac, ac bc且 ac=2, bcv13, sb=2 .(1)证明：sci bc;17.如图，abcd是正方形，。是正方形的中心，po,底面abcr e是pc的中点.求证:(1) pa/平面 bde(2) bd，平面 pac18 .如图，在四棱锥v- abcd中底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形,平面vadl底面abcd(1)证明：ab，平面vad;(2)求面vad与面vdb所成的二面角的余弦值.19 .如图，在四棱锥 p abcd中，/abc4 acd=90, z bac=/ cad=60 , pa1 平

7、面abcr e为pd的中点，ab=1, pa=2(i )证明：直线cee/平面pa(n )求三棱锥e- pac的体积.20 .如图，四棱锥 p-abcd中，底面 abcd为菱形，pa1平面abcr bd交ac 于点e, f是线段pc中点，g为线段ec中点.(i )求证：fg/平面pbd;(ii)求证：bd fg.21 .如图，在三棱柱 abc- a1b1c1 中，侧棱 aai,底面 abc, acab, ac=aa=1,ab=2, p为线段ab上的动点.(i)求证：caigp;(ii)若四面体p-ab1c1的体积为上，求二面角g-pr-a1的余弦化d22 .已知正四棱柱 abcd- aibic

8、idi. ab=1, aai=2,点e为cc中点，点f为bdi 中占(d证明ef为bdi与cc的公垂线；(2)求点di到面bde的距离.号23 .如图，在四棱锥 p- abcd中，底面为直角梯形，ad/bc, / bad=90 , pa ，底面 abcr pa=ad=ab=2b cm, n 分别为 pc, pb 的中点.(i )求证：pbdm;(h )求cd与平面admn所成的角的正弦值.24 .在如图所示的多面体中，ef，平面 aeb, aeeb, ad/ ef, ef/ bc. bc=2ad=4 ef=3 ae=be=2 g 为 bc的中点.(i)求证：ab/平面deg;(2)求证：bd)

9、 eg;(3)求二面角c- df- e的正弦值.25 .如图，在四棱锥s abcd中，底面abcd直角梯形，侧棱saa底面abcr ab垂直于ad和bc, sa=ab=bc=2 ad=1. m是棱sb的中点.(i )求证：am /面 scd(h )求面scd与面sab所成二面角的余弦值；(m)设点n是直线cd上的动点，mn与面sab所成的角为9,求sin 8的最大 化(2)求二面角a-a1c- b的正弦值.27.如图，在四棱锥p- abcd中，底面中占i 八、ab=2, ac=aa=2/5, /abc匚.26 .如图，在直三棱柱 abc- a1b1c1中,(1)证明：abaic;abcd为菱形

10、，/ bad=60 , q 为 ad 的(1)若pa=pd求证：平面 pqb,平面pad;(2)点m在线段pc上，pm=tpc,试确定t的值，使pa/平面mqb;(3)在(2)的条件下，若平面 pad1平面abcr且pa=pd=ad=2求二面角m-bq- c的大小.28 .如图，三棱柱 abc- a1b1c1的侧面aaibib为正方形，侧面 bbicic为菱形, /cbb=60, ab b1c.(i)求证：平面 aaibib，平面bbicic;(ii)求二面角b-ac- ai的余弦值.29 .在四棱锥p-abcd中，pa1平面abcd 4abc是正三角形，ac与bd的交 点m恰好是ac中点，又

11、pa=ab=4 /cda=i20,点n在线段pb上，且pn射.(i )求证：bd pc;(ii )求证：mn /平面 pdc;(m )求二面角a- pc- b的余弦值.30 .如图，平面 abcdl平面 par 4apd是直角三角形，/ apd=90,四边形abcd是直角梯形，其中 bc/ ad, / bad=90 , ad=2bc 且 ab=bc=pd=2o 是 ad的中点，e, f分别是pg od的中点.(i )求证：ef/平面pbq(h)求二面角a- pf- e的正切值.2017年03月25日1879804507的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共9小题)1. (2016春？孝

12、感期末)在空间直角坐标系中，已知点 p (x, y, z),下列叙述 中正确的个数是()点p关于x轴对称点的坐标是p1 (x, -y, z);点p关于yoz平面对称点的坐标是 p2 (x, -y, -z)；点p关于y轴对称点的坐标是p3 (x, - y, z)；点p关于原点对称的点的坐标是 p4 (-x, -y, -z).a. 3 b. 2 c. 1 d. 0【解答】解：p关于x轴的对称点为p1 (x, -y, - z);关于yoz平面的对称点为p2 (-x, y, z);关于y轴的对称点为p3 ( - x, y, - z)；点p关于原点对称的点的坐标是 p4 ( - x, - y, -z).

13、故错误.故选c.2. (2015秋?石家庄校级期末)空间四边形 abcd中，若向量！s=(-3, 5, 2),面二(-7, -1, -4)点e, f分别为线段bc, ad的中点，则后的坐标为(a. (2,3, 3)b.(-2, -3, -3)c.(5, -2,1)d. (-5,2,t)【解答】解：二点e, f分别为线段bc, ad的中点，l = - .t 一ui:后/一丽，而4 (赢卜而),i *, 1.1- * : 即cqa+od)-(o+oc)=!2 (3, 5, 2) + ( 7, - 1, -4)。(-4, -6, -6) =(-2, -3, -3).故选：b.3. (2015?城市校

14、级模拟)设平面 a的一个法向量为司二(l 2, -2),平面b的一个法向量为7=(-2, -4, k),若a/ &则k=()a. 2 b. - 4 c. - 2 d. 4【解答】解：平面a的一个法向量为其二(1, 2. -2),平面b的一个法向量为门2二-4, k),: all 3由题意可得 玉二，12 -2.二 k=4.故选：d.4. (2014 秋?越城区校级期末)已知 (3, -2, -3), b|= (-1, x-1, d,2)且；与了的夹角为钝角，则x的取值范围是()a. (-2, +2b. (-2, )u (1, +2c.(-4+oo)【解答】解：；与e的夹角为钝角,二 cos瓜国

15、0.且归与e不共线.3?b0.且(3,2, 3) w 入(1,x 1, 1)- 3 2 (x 1) 30.且.x的取值范围是(-2, 1)u (3故选b.5. (2014秋？从化市校级期末)若a= (1,入2), b= (2, - 1, 1),；与用的夹角为60,则入的值为()a. 17 或-1 b. - 17 或 1c. - 1 d. 1【解答】解：.在最2-入+在4-幻，二舍下，后仁旄，cos60=|a | |b.士，化为 22+16 x- 17=0,解得 入=17 或 1.2行为灰故选b.6. (2015春?济南校级期中)设平面a内两个向量的坐标分别为(1, 2, 1)、(-1,1, 2

16、),则下列向量中是平面的法向量的是()a. (1, -2, 5) b. (1, 1, 1) c. (1, 1, 1) d. (1, 1, 1)【解答】 解：:( 1, 1, - 1) ? (1, 2, 1) =1+2 1=0, (1, 1, - 1) ?(-1, 1, 2) =1+1 - 2=0,向量(-1, 1-1)是此平面的法向量.故选b.7. (2016秋？兴庆区校级期末)若n= (1, -2, 2)是平面a的一个法向量，则 下列向量能作为平面a法向量的是()a. (1, -2, 0)b. (0, -2, 2)c. (2, -4, 4) d. (2, 4, 4)【解答】解：:(2, -4

17、, 4) =2 (1, - 2, 2),向量(2, -4, 4)与平面a的一个法向量平行，它也是此平面的法向量. 故选c.8. （2015?株洲一模）如图，在长方体 abcd- aibicidi 中，ab=bc=2 aai=1,则bg与平面bbidid所成角的正弦值为（5c.a.b.2在5*210 5【解答】解：以d点为坐标原点，以dadg ddi所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）则 a (2, 0, 0), b (2, 2, 0), c (0, 20), ci (0, 2, i)bc/ l2, 0, i),心(-2, 2, 0)ac且为平面bbidid的一个法向量.二

18、cos bc与平面bbidid所成角的正弦值为乂”5故答案为d.9. （20i5?广西模拟）如图，在直三棱柱 abc- aibici中，ab=i, ac=2 bc=3 ,d, e分别是ac和bbi的中点，则直线de与平面bbicic所成的角为（）c.-tta.7t1 3d.兀2【解答】解：取ac的中点为f,连接bf、df.因为在直三棱柱 abc- aibici中，cc / bbi,又因为df是三角形acc的中位线,故df千cc4bbi=be,故四边形bedf是平行四边形，所以ed/ bf. ril-aib-1过点f作fg垂直与bc交bc与点g,由题意得/ fbg即为所求的角.因为ab=1, a

19、c=z bc=/3,所以/ abc4, / bca_,直角三角形斜边中线 26bf是斜边ac的一半，故bf=lac=cf所以/ fbg=z bca=-. &故选a.二.填空题(共3小题)10. (2016秋？碑林区校级期末)设平面 a的一个法向量为三二(1, 2, -2),平面b的一个法向量为e= ( - 2, - 4, k),若all 3则k= 4 .【解答】解：b,存在实数人使得屁二，三.二-2 x. 2=-4 昊,解得 k=4.2二九 k故答案为：4.11. (2009?安徽)在空间直角坐标系中，已知点 a (1, 0, 2), b (1, -3, 1),点m在y轴上，且m到a与到b的距

20、离相等，则m的坐标是 (0, - 1,0).【解答】解：设m (0, y, 0)由 12+y2+4=1+ (y+3) 2+1可得y= - 1故 m (0, - 1, 0)故答案为：(0, - 1, 0).12. (2016秋？临沂期末)如图所示，在三棱柱 abc- a1b1c1中，aal底面abc, ab=bc=aa, /abc=90,点e、f分别是棱 ar bb1的中点，则直线 ef和bg 的夹角是二上.一 3 一【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系.由于ab=bc=aa,不妨取ab=2,则 e (0, 1, 0), f (0, 0,1), c1 (2, 0, 2).;而二(0, -1,

21、 d,呵=(2, 0, 2).* ，、_ e.bc _ 2 ef , bc 1 31k 1- =r- . =7 1 |ef i |bc1 i vz-vs 2异面直线ef和bg的夹角为f-.j三.解答题(共18小题)13. (20157庆校级模拟)如图，四边形 abcd为矩形，四边形adef为梯形， ad/ fe, /afe=60；且平面 abcdl平面 adef af=fe=ab=ad=2,点 g 为 ac的中点.(i )求证：eg/平面abf;(h)求三棱锥b-aeg的体积;(m)试判断平面bae与平面dce是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.【解答】证明：取ab中点m,连fm,

22、 gm.g为对角线ac的中点,gm/ad,且 gm又: fe/gm/ fe且 gm=fe四边形gmfe为平行四边形，即eg/ fm.又. eg?平面 abf, fm?平面 abf,.eg/平面abf.分)(h )解：作enad,垂足为n,由平面abcdl平面afer 面abcd1面afed=ad 得enl平面abcr即en为三棱锥e- abg的高.在4aef中，af=fe / afe=60,.aef是正三角形./aef=60,由 ef/ ad 知 / ead=60,en=ae?sin60 病. 三 棱 锥 b - aeg 的 体 积 为与-aeg二年-也 vf 立丽啊g2乂(8 分)(田)解：

23、平面bae1平面dce证明如下： 丁四边形abcd为矩形，且平面 abcdl平面afer . cd,平面 afed .cd，ae.丁四边形 afed为梯形，fe/ ad,且/ afe=60, ./ fad=120.又在 aaed中，ea=2, ad=4, / ead=60 , 由余弦定理，得ed=v3.ea2+ed2=ad2,ed ae.又eda cd=dae,平面 dce，又 ae?面 bae,平面bae1平面dce（优分）14. （2014?南昌模拟）如图，已知正三棱柱 abc- a1b1c1中（1）求证：平面abdl平面b1bcc;,d是bc的中点.（2）求证：a1c/平面 ab1d.【

24、解答】证明：（1）因为b1b,平面abc, ad?平面abc,所以ad，bb（2分）因为d为正 abc中bc的中点，所以adlbd（2分）又 b1babc=b所以ad，平面bibcg（4分）又ad?平面abd,故平面abid，平面bibcg（6分）（2）连接aib,交abi于e,连de （7分）因为点e为矩形aiabbi对角线的交点，所以e为abi的中点又d为bc的中点，所以de为aibc的中位线，所以 de/ aic（i0 分）又de?平面abid,所以aic/平面abid（i2分）（8分）i5. （20ii?陕西）如图，在 abc中，/abc=45, /bac=90, 沿ad把是bc上的a

25、abd折起，使/ bdc=90.ad是bc上的高,（i ）证明：平面 adb,平面bdq（h）设bd=i,求三棱锥d-abc的表面积.【解答】解：（i）二.折起前ad是bc边上的高,当 4abd折起后，adxdc, ad db,又 dba dc=d, .ad,平面 bdc,v ad?平面 abd.平面adb,平面bdc（h）由（i）知，da db, db dc, dc da,db=da=dc=i a ab=bc=ca=2,从而- .,1 - :i i i 1 .江阪 v 乂听 x v2sin60e所以三棱锥d-abc的表面积为：5主二lx 3也二生返表 22216. (2016?徐汇区一模)三

26、棱锥 s- abc 中，sal ab, sa! ac, ac bc 且 ac=2bc=/13, sb5m(1)证明：scl bc;【解答】 解：(1) sal ab sal ac ab? ac=asal平面abc. ac为sc在平面abc内的射影，又bc! ac,由三垂线定理得：scl bc(2)在 abc中，ac bc, ac=2, bc=/13,ab=/4+13 =/17 ,. sal ab, .sab 为氐, sb铉西，sa=/29-l 7 =2/3 ,.sal平面abg.sa为棱锥的高，vs abc=xxacx bcx sa=-x2xv13x 2乃=3 26317. (2016秋?咸阳

27、期末)如图，abcd是正方形，。是正方形的中心，po,底面abcd e是pc的中点.求证：(1) pa/平面 bde(2) bdxt面 pac【解答】证明(1)连接oe,在 cap中，co=oa ce=ep .pa/ eo,又: pa?平面bde eo?平面bde,.pa/平面 bde(2) v po,底面 abcr bd?平面 abcrbd po又二四边形abcd正方形，bd acv acn po=q ac, po?平面 pac bd，平面 pac18. (2014?嘉定区校级二模)如图，在四棱锥 v abcd中底面abcd是正方形, 侧面vad是正三角形，平面 vad，底面abcd(1)证

28、明：ab，平面vad;(2)求面vad与面vdb所成的二面角的余弦值.【解答】 证明：(1)平面vadxt面 abcr ab ad, ab?平面abcr平面 vad一面 abcd=adab，面 vad(2)取vd中点e,连接ae, be,二vad是正三角形，. ae.lvd, ae 岑 ad v ab上面 vad, ae, vd?平面 vadab vd, abae；ae vd, ab vd, aba ae=a 且 ab, ae?平面 abe, d vd,平面 abe, v be?平面 abe,. bexvd,丁 / aeb即为所求的二面角的平面角.在 r3abe中，cos/ aeb=1719.

29、 (2012?河南模拟)如图，在四棱锥 p- abcd中，/ abc=z acd=90, / bac= /cad=60, pa1平面 abcr e为 pd的中点，ab=1, pa=2(i )证明：直线cee/平面pa(n )求三棱锥e- pac的体积.c【解答】解：(1)取ad中点f,连接er cf.pad中，ef是中位线，可得 ef/ pav ef?平面 pab pa?平面 pab,. ef/ 平面 pabv rltaabc 中，ab=1, / bac=60,ac= 皿,=2 cog&o又rtaacd 中，/ cad=60, .ad=4,结合f为ad中点，得八acf是等边三角形 /acf4

30、bac=60,可得 cf/ abv cf?平面 pab ab?平面 pab . . cf/ 平面 pab.er cf是平面cef内的相交直线，平面cef/平面pabv ce?面 cefcee/ 平面 pab(2)pal平面 abcd cd?平面 abcrpal cd又ac!cd, pa、ac是平面pac内的相交直线 cd，平面 pac,. cd?平面 dpc, 平面 dpcl平面 pac过e点作eh，pc于h,由面面垂直的性质定理，得 eh，平面paceh/ cdrltaacd中，ac=2, ad=4, /acd=90,所以 cd山口2其2=2. e是 cd 中点，eh/ cd, a eh-c

31、d=/3 palac, , sriapa(=-x 2 2=220. （2016春?哈尔滨校级月考）如图，四棱锥 p-abcd中，底面abcd为菱形, pa1平面abcd bd交ac于点e, f是线段pc中点，g为线段ec中点.(i )求证：fg/平面pbq(n )求证：bd fg.fg/平面pbd(6分)(ii ) .菱形 abcdbd1 ac,又 pa1面 abcr bd?平面 abcrbd pa,v pa?平面 pac ac?平面 pac 且 paa ac=a bd，平面 pac fg?平面 pacbd fg(14 分)21. (2009川东二模)如图，在三棱柱 abc- a1b1c1中，

32、侧棱aai,底面abc,acab, ac=aa=1, ab=2, p 为线段 ab上的动点.(i)求证：ca1xc1p;(ii)若四面体p-ab1c1的体积为，求二面角g-pb|-a1的余弦化6c【解答】 证明：连接ag, :侧棱aa1,底面abg , aaixab,又.ab，ac. .ab,平面 aiacc.又cai?平面 aiacc, /. ab cai. （2 分）. ac=aa=1,一.四边形 aiacc 为正方形，agca. acnab=a,.ca，平面 acib. （4分）又 cip?平面 acb, . cagp. （6 分）（ii）解：; acab, aaiac,且 gai,平面

33、 abba, br lab, 由昨5=五尸皿4卜4蛆5pa郎1 解得pa=i, p是ab的中点.连接 aip,则 pbiaip, ciai,平面 aibiba, .prlciai, a pbxcip,/ cipa是二面角的平面角，（i0分）在直角三角形cipa中，cy&fl, pa产，l，c1ps，皿m/cfa广募年，即二面角的余弦值是 李 l l jj22. （2003以津）已知正四棱柱 abca aibicidi. ab=i, aai=2,点 e为 cc 中 点，点f为bdi中点.（d证明ef为bdi与cc的公垂线；（2）求点di到面bde的距离.【解答】解：（1）取bd中点m.连接mc,

34、 fm.f为bdi中点,. fm/ did且 fm与did.2又e旦cc且ec! mc,2四边形efmc是矩形efcc.又 fm，面 dbd. ef，面 dbd.v bd?面 dbd. a efbdi,故ef为bdi与cc的公垂线.（h ）解：连接 ed1,有 ve-dbdi=vdi -dbe.由（i ）知 ef1面 dbdi,设点di到面bde的距离为d.则sajjee #5修叫即 aa=2, ab=i.故点di到平面dbe的距离为sdbe 4 字，（近产岑dlcl23. （2013?广州三模）如图，在四棱锥p- abcd中，底面为直角梯形，ad/ bc, /bad=90, pax 底面 a

35、bcr pa=ad=ab=2b cm, n 分另为 pg pb 的中点.(i )求证：pbdm;（h ）求cd与平面admn所成的角的正弦值.【解答】（本题满分13分）解：(i)解法 1:;n 是 pb 的中点，pa=ab a anxpb. pal平面 abcd 所以 ad pa又 ad，ab, pah ab=a, . ad，平面 pa0 ad，pb.又 adaan=a,.pb，平面 admn.dm?平面 admn, a pb dm.(6 分)解法2:如图，以a为坐标原点建立空间直角坐标系 a-xyz,设bc=1,可得，a(0,0,0), p (0, 0,2),b(2,0,0), c (2,

36、1,0),1),d (0, 2, 0).因为 钝,铺二。，-23 刍 1)=0,所以pb dm. (6分)(h)解法1:取ad中点q,连接bq和nq,则bq/ dc,又pb，平面admn, cd与平面admn所成的角为/ bqn.设 bc=1,在 rta bqn 中，wjbn=l 即= ,故+n/bqn再l5所以cd与平面admn所成的角的正弦值为 叵.(13分)51解法2：因为用=0, -2)(oj 2, q)二一所以pbad,又pb dm,所以pb,平面admn,因此 而，而的余角即是cd与平面admn所成的角因为瓦而丁再呼.| pb | | dc |5所以cd与平面admn所成的角的正弦

37、值为 坐.(13分)24. (2014?烟台二模)在如图所示的多面体中，ef,平面 aeb, aeeb, ad/ef, ef/ bc. bc=2ad=4 ef=3, ae=be=2 g 为 bc的中点.(1)求证：ab/平面deg;(2)求证：bd eg;(3)求二面角c- df- e的正弦值.g【解答】（1）证明：ad/ ef, ef/ bc, ；ad/ bc,bc=2ad g为bc的中点，ad/bg,且ad=bg四边形abcd是平行四边形，a ab/ dg因为ab不在平面deg中，dg在平面deg内，. ab/平面deg(2)证明：v ef1平面 aeb, ae?平面 aeb, be?平面

38、 aeb, ef ae, ef be, v ae eb,.er er ea 两两垂直.以点e为坐标原点，er er ea所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 由已知得：a (0, 0, 2), b (2, 0, 0), c (2, 4, 0), d (0, 2, 2), f (0, 3, 0), g (2, 2, 0).展=(22.0),而二(2 2,研 丽而二x，2k2+2xbd eg.（3）解：由已知得而二匕，九0）是平面efda的法向量，设平面dcf的法向量为.,回二-1, 2）,元二 1, 0），二：= 令 z=1，得 x=1，y=2,即2, 1）-设二面角c- df- e的

39、大小为9,c n-ebcos miebi而角c- df- e的正弦值为平25. （2015?漳州模拟）如图，在四棱锥s- abcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sz底面 abcd ab垂直于ad和bc, sa=ab=bc=2 ad=1. m是棱sb的中百 八、(i )求证：am /面 scd(h )求面scd与面sab所成二面角的余弦值；(m)设点n是直线cd上的动点，mn与面sab所成的角为9,求sin 8的最大化【解答】解：(i)以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a (0, 0, 0), b (0, 2, 0), d (1, 0, 0,), s (0, 0, 2), m (0,

40、 1, 1).则同二(0, 1, 1)，瓯& 0, -2)，而=g1, -2, 0)|-设平面scd的法向量是不(打y, g，则!三丁。，即行2cdn=0lr-2y=0令 z=1,贝u x=2, y=- 1.于是-1, 1).v n*ai=0-lxl+lxl-c,:am 曰.又am?平面 scr.am/平面 scd(h)易知平面sab的法向量为元二(1, 0.。).设平面scm平面sab所成的二面角为%则 186a |= 1nf = 5二? , 即s言cl二年. |n nj 1k46 33平面sc叫平面sab所成二面角的余弦值为 学.(m)设 n (x, 2x- 2, 0),则福二 j, 2s

41、-3, t).,白二51 四 1_lii的f区石尸音i、k , 士 v s 5526. (2011?琼海一模)如图，在直三棱柱 abc- a1b1c1 中，ab=2, ac=aa=s ,z abc=. 3(1)证明：aba1c;(2)求二面角a-a1c- b的正弦值.bc【解答】解：(1)证明：在 abc中，由正弦定理可求得sm/会与 26ab ac以a为原点，分别以 ar ag aa1为x、v、z轴，建立空间直角坐标系，如图则 a ( 0 , 0 , 0 ) %( 0 m 0 . 2匹)b ( 2 , 0 , 0 ) c( 0， 2v3 )ab=( 2 , 0 , 0 ) 77c=( 0 f

42、 2戏,-2正) ab ,下二 0=151tc即 ab a1c.(2)由(1)知不二(2 , 0 ,4maic- b 的平面角为 a设面角 a,-r. viosinl =vi-cos 1 -b1j27. (2012?日照二模)如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为菱形，/ bad=60 , q为ad的中点.(1)若pa=pd求证：平面 pqb，平面pad;(2)点m在线段pc上，pm=tpc,试确定t的值，使pa/平面mqb;(3)在(2)的条件下，若平面 pad1平面abcr且pa=pd=ad=2求二面角m-bq- c的大小.【解答】(1)证明：连bd,丁四边形abcd菱形,/bad=

43、60, . abd为正三角形, . q为 ad 中点， . ad,bqpa=pd q 为 ad 的中点，. . ad, pq又 bqa pq=q. ad,平面 pqb, ad?平面 pad平面pqb1平面par(2)当t=:时，使得pa/平面mqb,连ac交bq于n,交bd于o,连接mn,则。为bd的中点, 又; bq为4abd边ad上中线，.二n为正三角形abd的中心，令菱形abcd的边长为a,则an当a, ac斐a. .pa/平面 mqb, pa?平面 pac 平面 pa6 平面 mqb=mn .pa/ mnpc ac 3即：pm=lpc, t=j_； 33(3)由pa=pd=ad=2 q

44、为ad的中点，贝u pqad,又平面pad1平面 abcr 所以pql平面abcr以q为坐标原点，分别以 qa、qr qp所在的直线为x, y, z轴，建立如图所 示的坐标系，则各点坐标为 a (1, 0, 0), b (0,正，0), q (0, 0, 0), p(0, 0,后)f t设平面mqb的法向量为：二6, v，1),可得,二,而 pa/ mn, j二学二，.y=0, x=/3 tn*fk=o. - ,一一取平面abcd的法向量需8, 0, 1)ccc 广_一、一 m . 1cos 、=p: mini z二面角m - bq- c的大小为60.28. (2015?玉山县校级模拟)如图，三棱柱 abc- a1b1c1的侧面aa1b1b为正方 形，侧面 bbgc为菱形，/ cbb=60, ab b1c.(i)求证：平面 aaibib,平面bbicic;(ii)求二面角b-ac- ai的余弦值.aa【解答】证明：(i)由侧面aaibib为正方形，知abxbbi.又 ab，bc, bbabic=b, . ab，平面 bbcic,又 ab?平面 aabib,；平面 aaibibxbbicic.(h)由题意，cb=cb,设。是bbi的中点，连接co,则co bbi.由(i )知，co,平面abibia.建立如图所示的坐标系 o- xy