3.3复数的几何意义 课件(苏教版选修2-2)

1、3.3 复数的几何意义1.1.了解复平面的有关概念了解复平面的有关概念. .2.2.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应的关系以及它们之间的一一对应的关系. .3.3.理解复数加减法的几何意义理解复数加减法的几何意义. .1.1.复平面的概念复平面的概念(1)(1)复平面的实轴是：平面直角坐标系的复平面的实轴是：平面直角坐标系的_轴；轴；复平面的虚轴是：平面直角坐标系的复平面的虚轴是：平面直角坐标系的_轴轴. .(2)(2)复平面的实轴上的点表示复平面的实轴上的点表示_；复平面的虚轴上的点复平面的虚轴上的

2、点( (原点除外原点除外) )表示表示_._.x xy y实数实数纯虚数纯虚数2.2.复数与点、向量间的对应复数与点、向量间的对应复数复数z=a+biz=a+bi复平面内复平面内的点的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 3.3.复数的模复数的模(1)(1)复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)模的定义：模的定义：_._.(2)(2)复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)模的计算：模的计算：_._.复数复数z z对应的向量对应的向量 的模的模OZ 22zabiab4.4.复数加减法的几何意义复数加减法

3、的几何意义复数加法的几何意义：复数的加法可以按照复数加法的几何意义：复数的加法可以按照_加法的平行加法的平行四边形法则进行四边形法则进行. .复数减法的几何意义：复数的减法可以按照复数减法的几何意义：复数的减法可以按照_减法的三角减法的三角形法则进行形法则进行. .复平面上两点间的距离：两个复数的差的复平面上两点间的距离：两个复数的差的_就是复平面内与就是复平面内与这两个复数对应的两点间的这两个复数对应的两点间的_. 向量向量向量向量距离距离模模【轻松判断】【轻松判断】(1)(1)虚轴上的点都表示纯虚数虚轴上的点都表示纯虚数. ( ). ( )(2)(2)复数与复平面内的无数多个向量对应复数与

4、复平面内的无数多个向量对应. ( ). ( )(3)(3)复数的模与复数的实部和虚部有关，且复数的模是非负数复数的模与复数的实部和虚部有关，且复数的模是非负数. . ( ) ( )(4)(4)复平面内两点间的距离就是这两点对应复数的差的模复平面内两点间的距离就是这两点对应复数的差的模.( ).( )提示：提示：(1)(1)虚轴上的点表示纯虚数和实数虚轴上的点表示纯虚数和实数0 0，故这种说法是错误，故这种说法是错误的的. .(2)(2)复数与复平面内的无数多个向量对应，与以原点为起点的复数与复平面内的无数多个向量对应，与以原点为起点的向量是一一对应的，故这种说法是正确的向量是一一对应的，故这种

5、说法是正确的. .(3)(3)若若z=a+bi,z=a+bi,则则 复数的模是非负数，故这复数的模是非负数，故这种说法是正确的种说法是正确的. .(4)(4)根据复数减法的几何意义知根据复数减法的几何意义知(4)(4)正确正确. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (4) (2) (3) (4)22zabiab，主题一主题一 复数的几何意义复数的几何意义根据复数的几何意义并结合下面的材料，探讨下列问题：根据复数的几何意义并结合下面的材料，探讨下列问题：1.1.复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)对应复平面内的点是对应复平面内的点是(a,bi)(a,bi)吗？吗？提示

6、：提示：不是，复数不是，复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)对应复平面内的点是对应复平面内的点是(a,b).(a,b).2.2.平面向量能够与复数一一对应的前提是什么平面向量能够与复数一一对应的前提是什么? ?提示：提示：向量的起点在原点向量的起点在原点. .【特别提醒】【特别提醒】复数的几何意义的关注点复数的几何意义的关注点(1)(1)复平面上实轴上的单位长度是复平面上实轴上的单位长度是1 1，虚轴上的单位长度也是，虚轴上的单位长度也是1 1，不是不是i i；(2)(2)复平面上实轴上的点表示实数，虚轴上的点复平面上实轴上的点表示实数，虚轴上的点( (原点除外原点除外) )表

7、表示纯虚数；示纯虚数；(3)(3)相等的向量表示同一复数，实数相等的向量表示同一复数，实数0 0与零向量对应与零向量对应. .1 1在复平面内，复数在复平面内，复数 对应的点的坐对应的点的坐标为标为_._.2.2.求实数求实数m m的值或范围，使复数的值或范围，使复数(m(m2 2-8m+15)+(m-8m+15)+(m2 2+3m-28)i+3m-28)i在复在复平面中对应的点：平面中对应的点：(1)(1)位于第四象限；位于第四象限；(2)(2)位于实轴的负半轴上位于实轴的负半轴上. .10i3i【解题指南】【解题指南】1.1.先利用复数的除法法则化简复数，再根据复先利用复数的除法法则化简复

8、数，再根据复数的几何意义求其对应的点的坐标数的几何意义求其对应的点的坐标. .2.2.解答本题可根据要求列出关于解答本题可根据要求列出关于m m的不等式组，再求解集的不等式组，再求解集. .列不列不等式等式( (组组) )时要注意等价性时要注意等价性. .【解析】【解析】1.1.其对应的点的坐标为其对应的点的坐标为(1(1，3).3).答案：答案：(1(1，3)3)10i 3i10i30i1013i3i3i3i10 ，2.(1)2.(1)由已知得由已知得 解得解得-7m3.-7m3,m3,所以所以答案：答案：22222m3m3m3m31log1,m15,2m3m3 ，m15.15【规律总结】【

9、规律总结】复数的几何意义在实际中的应用复数的几何意义在实际中的应用由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时, ,通通常是由其对应关系列出方程常是由其对应关系列出方程( (组组) )或不等式或不等式( (组组),),求得复数的实求得复数的实部、虚部的值或范围部、虚部的值或范围, ,进而确定所求的复数进而确定所求的复数. .主题二主题二 复数的模复数的模根据复数的模的概念，探讨下列问题：根据复数的模的概念，探讨下列问题：1.1.复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的模与点的模与点Z(a,b)Z(a,b)有什么关系有什么

10、关系? ?提示：提示：复数复数z z的模等于点的模等于点Z(a,b)Z(a,b)到原点的距离到原点的距离. .2.2.复数的模与对应向量的模是什么关系？复数的模与对应向量的模是什么关系？提示：提示：复数的模与对应向量的模是相等的复数的模与对应向量的模是相等的. .3.|z|13.|z|1-1z1 -1z1 ，这个结论成立吗？，这个结论成立吗？提示：提示：不成立，不成立，z z不能只看作实数，应看作复数，不能只看作实数，应看作复数，|z|z|是复数的是复数的模模. .4.4.满足满足|z|1|z|1的复数的复数z z的对应点的轨迹是什么？的对应点的轨迹是什么？提示：提示：满足满足|z|1|z|1

11、的复数的复数z z的对应点的轨迹是以原点为圆心，的对应点的轨迹是以原点为圆心，以以1 1为半径的圆面为半径的圆面. .【特别提醒】【特别提醒】 1.1.复数的模的两个关注点复数的模的两个关注点(1)(1)从几何意义上理解从几何意义上理解, ,复数的模表示点复数的模表示点Z Z到原点的距离到原点的距离. .(2)(2)模的计算公式模的计算公式: : 求复数的模求复数的模, ,关键是明确复数关键是明确复数的实部与虚部的实部与虚部, ,将复数化为代数形式将复数化为代数形式, ,然后根据公式求解然后根据公式求解. .2.2.复数的模的应用的两个关注点复数的模的应用的两个关注点(1)(1)满足满足|z|

12、=r(rR,r0)|z|=r(rR,r0)的点的点Z Z的轨迹是以原点为圆心的轨迹是以原点为圆心,r ,r 为为半径的圆半径的圆. .(2)(2)满足满足|z-(a+bi)|=r(a,bR,rR,r0)|z-(a+bi)|=r(a,bR,rR,r0)的点的点Z Z的轨迹是以的轨迹是以(a,b)(a,b)为圆心为圆心,r ,r 为半径的圆为半径的圆. .22abiab ,1.(20121.(2012湖南高考湖南高考) )已知复数已知复数z=(3+i)z=(3+i)2 2(i(i为虚数单位为虚数单位) )，则，则|z|=_.|z|=_.2.(20122.(2012无锡高二检测无锡高二检测) )设集

13、合设集合M M z|z-2+i|2z|z-2+i|2，zCz|z-2-i|zCz|z-2-i|z-4+i|z-4+i|，zCzC，在复平面内表示集合，在复平面内表示集合M M的图形的面积为的图形的面积为_._.【解题指南】【解题指南】1.1.先利用完全平方公式化简，再求模先利用完全平方公式化简，再求模. .2.2.先根据复数模的意义确定其中两个集合表示的图形，再根据先根据复数模的意义确定其中两个集合表示的图形，再根据复数的意义确定其公共部分，即集合复数的意义确定其公共部分，即集合M M的图形，最后根据图形的图形，最后根据图形求面积求面积. .【解析】【解析】1.1.方法一：方法一：z=(3+i

14、)z=(3+i)2 2=9+6i-1=8+6i=9+6i-1=8+6i，方法二：方法二：答案：答案：101022z8610.22z|3i|( 91)10.2.|z-2+i|22.|z-2+i|2的几何意义是复平面内表示复数的几何意义是复平面内表示复数z z的动点到定点的动点到定点C(2C(2，-1)-1)的距离小于等于的距离小于等于2 2的点的集合，即以的点的集合，即以C(2C(2，-1)-1)为圆心，为圆心，以以2 2为半径的圆面，为半径的圆面，|z-2-i|z-2-i|z-4+i|z-4+i|的几何意义是复平面内的几何意义是复平面内表示复数表示复数z z的动点到定点的动点到定点A(2A(2

15、，1)1)的距离大于其到定点的距离大于其到定点B(4B(4，-1)-1)的距离的点的集合，即为线段的距离的点的集合，即为线段ABAB垂直平分线的垂直平分线的B B点所点所在的一侧，故集合在的一侧，故集合M M表示的图形是如图所示的阴影部分，即圆表示的图形是如图所示的阴影部分，即圆C C的一半，的一半，其面积其面积答案：答案：2221S22 .2 【变式训练】【变式训练】1.1.已知复数已知复数z=x+yi+3+2i(xz=x+yi+3+2i(x，yR)yR)且且|z|=1|z|=1，则，则点点M(xM(x，y)y)的轨迹方程为的轨迹方程为_._.【解析】【解析】z=(x+3)+(y+2)iz=

16、(x+3)+(y+2)i，x x，yRyR， 即即(x+3)(x+3)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1.=1.答案：答案：(x+3)(x+3)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=122zx3y21 ，2.2.已知复数已知复数z z(2(2x xa)a)(2(2x xa)ia)i，x x，aRaR，且，且a a为常数，为常数，试求试求|z|z|的最小值的最小值g(a)g(a)的表达式的表达式. .【解析】【解析】令令t t2 2x x2 2x x，则，则t2t2，且，且2 22x2x2 22x2xt t2 22.2.从而从而|z|z|2 2t t2 22at2at2a2a2 22

17、2(t(ta)a)2 2a a2 22 2，当当a2a2，即，即aa2 2时，时，当当a2aa2 2时，时，综上可知，综上可知，222xx2x2xxx2z2a2a222a 222a . 2ming aa2 ； 22ming aa2a22 a 1. 2mina2a2g a2 a 1a2 . ，【规律总结】【规律总结】巧用复数及其模的几何意义解题的技巧巧用复数及其模的几何意义解题的技巧(1)(1)复数及其模的几何意义使得复数与解析几何之间架起了桥复数及其模的几何意义使得复数与解析几何之间架起了桥梁梁, ,使复数问题可以利用几何方法解决使复数问题可以利用几何方法解决, ,而几何问题也可以用复而几何问

18、题也可以用复数方法解决数方法解决( (即数形结合即数形结合),),增加了解决复数问题的途径增加了解决复数问题的途径. .在解题在解题中注意结合解析几何中常见的曲线轨迹特征求解中注意结合解析几何中常见的曲线轨迹特征求解. .(2)(2)解决复数的综合问题，常利用复数相等或复数的模转化为解决复数的综合问题，常利用复数相等或复数的模转化为实数问题实数问题. .【知识拓展】【知识拓展】1.1.复数的模的运算复数的模的运算对任意的复数对任意的复数z z，z z1 1，z z2 2有如下结论：有如下结论：2.2.复数在复平面内对应点的轨迹的求法复数在复平面内对应点的轨迹的求法求复数在复平面内对应点的轨迹，

19、常用的方法有两种求复数在复平面内对应点的轨迹，常用的方法有两种: :根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状. .设复数设复数z=x+yi,x,yz=x+yi,x,yR R，则其对应点的坐标是则其对应点的坐标是(x,y)(x,y)，由已知条件找出，由已知条件找出x,yx,y满足的方程，最后由方程判断图形的形状满足的方程，最后由方程判断图形的形状. .21211212222z |zzz|z zz zz0 .zz；3.3.有关复数有关复数|z|z|的不等式的几何意义的不等式的几何意义一般地，满足一般地，满足z-zz-z0 0=r=r的复数的复数z z对应的点

20、的轨迹是以对应的点的轨迹是以z z0 0对应的对应的点为圆心，点为圆心，r r为半径的圆为半径的圆.|z-z.|z-z0 0|r|r表示以表示以z z0 0对应的点为圆心，对应的点为圆心，以以r r为半径的圆及其内部为半径的圆及其内部. . 主题三主题三 复数加减法运算的几何意义复数加减法运算的几何意义结合复数的加减运算的几何意义，思考下列问题：结合复数的加减运算的几何意义，思考下列问题：1.1.设设z z1 1=x=x1 1+y+y1 1i, zi, z2 2=x=x2 2+y+y2 2i(xi(x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2R),R),则则z z1 1, z, z2 2

21、对应的点为对应的点为Z Z1 1, Z, Z2 2, ,如何求如何求Z Z1 1, Z, Z2 2两点间的距离两点间的距离? ?提示：提示： 22211212121212Z Zzzxxyyixxyy.2.2.复数的加减运算可以转化到平面向量的加减运算吗？复数的加减运算可以转化到平面向量的加减运算吗？提示：提示：可以，只需把复数在复平面内对应的向量找到，按照平可以，只需把复数在复平面内对应的向量找到，按照平面向量加减法的运算法则找出对应向量面向量加减法的运算法则找出对应向量. .3.3.若若z z1 1,z,z2 2为复数，则满足为复数，则满足|z-z|z-z1 1|=|z-z|=|z-z2 2

22、| |的复数的复数z z对应的点的集对应的点的集合是什么？合是什么？提示：提示：复数复数z z对应的点的集合是以复数对应的点的集合是以复数z z1 1,z,z2 2对应的点为端点的对应的点为端点的线段的垂直平分线线段的垂直平分线. .【知识拓展】【知识拓展】想一想：椭圆、双曲线的方程用复数怎样表示想一想：椭圆、双曲线的方程用复数怎样表示? ?提示：提示：(1) (1) 若若z z1 1,z,z2 2为复数，为复数，Z Z1 1,Z,Z2 2为复数为复数z z1 1,z,z2 2在复平面上对应在复平面上对应的点，则方程的点，则方程 中的复数中的复数z z对应的对应的点的集合是以点的集合是以z z

23、1 1,z,z2 2的对应点为焦点的椭圆的对应点为焦点的椭圆. .(2)(2)若若z z1 1,z,z2 2为复数，为复数，Z Z1 1,Z,Z2 2为复数为复数z z1 1,z,z2 2在复平面上对应的点，则在复平面上对应的点，则方程方程 中复数中复数z z对应的点的集合对应的点的集合是以是以z z1 1,z,z2 2的对应点为焦点的双曲线的对应点为焦点的双曲线. .1212|zzzz2a(0Z Z |2a)1212zzzz2a(0 2a|Z Z |) 【特别提醒】【特别提醒】复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义(1)(1)复数加法的几何意义：复数复数加法的几何意义：复数z z1 1+

24、z+ z2 2是以是以 为两邻边的为两邻边的平行四边形对角线平行四边形对角线 所对应的复数所对应的复数. .(2)(2)复数减法的几何意义：复数复数减法的几何意义：复数z z1 1- z- z2 2是连接向量是连接向量 的终的终点点, ,并指向被减向量的向量并指向被减向量的向量 所对应的复数所对应的复数. .复数加复数加( (减减) )法法的几何意义是可以按照向量的加的几何意义是可以按照向量的加( (减减) )法来进行的法来进行的. .12OZ ,OZ OZ 12OZ ,OZ 21Z Z(3)(3)复数加减法的几何意义与数形结合思想复数加减法的几何意义与数形结合思想所谓数形结合，就是根据数与形

25、之间的对应关系，通过数与形所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，就是将抽象的数学语言与的相互转化来解决数学问题的思想，就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，主要有三种类型：以直观图形结合起来，主要有三种类型：以“数数”化化“形形”、以、以“形形”变变“数数”和和“数数”“”“形形”结合结合. .复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义是通过数形结合实现是通过数形结合实现“数数”与与“形形”的沟通，复数的加减法可的沟通，复数的加减法可以按照向量加减法的平行四边形法则或三角形法则进行以按照向量加减法的平行四边形法则或三角形法则进行. .1.1.已知

26、复平面上的平行四边形已知复平面上的平行四边形ABCDABCD中，中， 对应的复数为对应的复数为6+8i6+8i， 对应的复数为对应的复数为-4+6i-4+6i，则向量，则向量 对应的复数为对应的复数为_._.2.2.如果复数如果复数z z适合适合|z+2+2i|=1|z+2+2i|=1，求，求|z-1+i|z-1+i|的最小值的最小值. .【解题指南】【解题指南】1.1.先画出图形先画出图形, ,再结合复数加减法的几何意义求解再结合复数加减法的几何意义求解或转化为向量知识求解或转化为向量知识求解. .2.2.结合复数的代数形式，找出复数结合复数的代数形式，找出复数z z对应的点的轨迹，从而求出

27、对应的点的轨迹，从而求出最值最值. .AC BD DA【解析】【解析】1.1.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中，设对角线设对角线ACAC，BDBD的交点为的交点为E E，则点，则点E E为为ACAC，BDBD的中点，的中点，由复数加减法的几何意义可得，由复数加减法的几何意义可得，所以所以 对应的复数为：对应的复数为：答案：答案：-1-7i-1-7i11111DAEAEDCABDACBDACBD ,22222 DA168i46i1 7i.2 2.2.设设z=x+yi,x,yRz=x+yi,x,yR，由题意得复数，由题意得复数z z对应的点的轨迹方程是对应的点的轨迹方程是 表

28、示点表示点(x,y)(x,y)与点与点(1(1，-1)-1)之间的距离，它的最小值为之间的距离，它的最小值为2222x2y21. z1ix1y1, 101.【互动探究】【互动探究】在题在题2 2中中,|z-1+i|,|z-1+i|的最大值是多少的最大值是多少? ?【解析】【解析】由题由题2 2解析知解析知|z-1+i|z-1+i|表示点表示点(x,y)(x,y)与点与点(1,-1)(1,-1)之间的之间的距离距离, ,它的最大值为它的最大值为101.【变式备选】【变式备选】已知复数已知复数z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足: : 且且z z在复平面上的对应点在复平面上的对

29、应点P P的的轨迹轨迹C C经过点经过点(1)(1)求求C C的轨迹方程；的轨迹方程；(2)(2)若过点若过点A(4,0)A(4,0)，倾斜角为，倾斜角为 的直线的直线l交轨迹交轨迹C C于于M M，N N两点，两点，求求OMNOMN的面积的面积S.S.z5z52a0 2a2 5 ,（ ）4, 3 .（）4【解析】【解析】(1)(1)根据题目条件知轨迹根据题目条件知轨迹C C为双曲线，设轨迹为双曲线，设轨迹C C的方程的方程为为 将将 代入方程，得：代入方程，得： (a(a2 2=20=20舍去舍去) )，所以所以C C的轨迹方程是的轨迹方程是2222xy1a5a，(4, 3)422221631a24a800a4a5a 22xy1.4(2)(2)直线直线l的方程为：的方程为：y=x-4,y=x-4,联立方程得联立方程得 3y3y2 2-8y-12=0-8y-12=022xy1,4yx412128yy,y y4,3 2121212124yyyy4y y13,318 13OMNSOA yy.23的面积【规律总结】【规律总结】整体代换与数形结合思想在解题中的应用整体代换与数形结合思想在解题中的应用在复数的有关运算中在复数的有关运算中, ,要注意整体代换思想的应用要注意整体代换思想的应用, ,这是解决复这是解决复数问题的通法数问题的通法