6.4相对论理论的四维形式

1、第四节第四节时空本质上是四维的：时空本质上是四维的：3 3维空间维空间+1+1维时间。维时间。洛伦兹变换是一种线性变换洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。它体现了四维时空的变换关系。但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？描写物理规律的方程在变换下是否不变？描写物理规律的方程在变换下是否不变？cossinsincosyxyyxx平面上平面上P点的转动变换满足点的转动变换满足Pxyyx2222yxyxyxaaaayxyx22211211cossinsincoscossincossin10sincossincos

2、01aaaaI2 2、三维空间坐标转动变换、三维空间坐标转动变换 111 112 213 311121311221 122 223 321222322331 132 233 331323333xa xa xa xaaaxxxa xa xa xaaaxa xxa xa xa xaaaxx 正交变换条件31iijjjxa x (1,2,3)i 332211iiiixx不变量不变量爱因斯坦惯例爱因斯坦惯例(1)iijjxa x ()iikkillxaxa x (2)iiiix xx x 33333331111111iiijjikkijikjkiijkijkx xa xa xa a x x 31iij

3、jjxa x 332211iiiixx(4)i ijjjkj kxxx xx x(3)iiijjikkx xa x a x凡有重复下标的即要取和，凡有重复下标的即要取和，i为自由指标为自由指标, j为取和指标为取和指标313131jjkkjjkjjxxxx又又证明变换为正交变换证明变换为正交变换10ijijij比较（比较（3 3）和（）和（4 4）可得）可得 (5)ij ikjka a 写成矩阵写成矩阵 ) 6(Iaaaa 写成矩阵：写成矩阵：xax 31ijkikijaa（5 5）与（）与（6 6）为正交条件为正交条件反变换式反变换式：lilixa xijijxa x或或1xaxa xili

4、ilijjljjljjla xa a xxxx 两边同乘两边同乘ilaiijjxa x 并对并对i 取和取和证明：证明： 标量标量: : 空间转动变换中不变的量称为标量。空间转动变换中不变的量称为标量。uu 例如：质量，电荷，空间距离。例如：质量，电荷，空间距离。例如：应力张量，电四极矩张量等。例如：应力张量，电四极矩张量等。ijikjlklTa a T 方式变换的具有方式变换的具有9 9个分量的物理量，记为个分量的物理量，记为 。T 二阶张量：空间转动变换下按二阶张量：空间转动变换下按例如：速度、加速度、力、电场强度、例如：速度、加速度、力、电场强度、 算符等。算符等。 矢量：空间转动变换中

5、按矢量：空间转动变换中按iijjva v 3 , 2 , 1i 方式变换的量称为矢量，记为方式变换的量称为矢量，记为 。vijjT vT v 一个自由指标为矢量一个自由指标为矢量ijjikjl kljm mik em kl mik kl lT va a T a vaT va T v 张量与矢量点积张量与矢量点积例二：例二：iiwvwv无自由指标为标量无自由指标为标量iiijjikkjkjkjjiiv wa v a wv wv wv w 例一：两矢量点积例一：两矢量点积标量：没有自由指标，又称为零阶张量；标量：没有自由指标，又称为零阶张量；矢量：一个自由指标，又称为一阶张量；矢量：一个自由指标，

6、又称为一阶张量；张量：两个自由指标，又称为二阶张量。张量：两个自由指标，又称为二阶张量。使用自由指标判断物理量使用自由指标判断物理量 转动中的不变量转动中的不变量：vvx xx x ( ,14)v 44222222221234123411v vvxxxxxxxxx xx x 英文小写字母英文小写字母,ijklmn ， ， ， ， ，代表代表13 希腊小写字母希腊小写字母,， ， ， ， ，代表代表14 变换表示式：变换表示式：xax 正交条件为：正交条件为：aaaaaaI222222222 2123123xxxc txxxc t2222222212341234xxxxxxxxx xx x 洛伦

7、兹变换下间隔为不变量，即：洛伦兹变换下间隔为不变量，即：44,xictxict定义：定义：与转动变换不变与转动变换不变量表示形式不同量表示形式不同因此它为复四维空间因此它为复四维空间),(4321ictxxxx该空间又称为闵可夫斯基空间（该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年）。年）。的的“转动转动”变换变换11114()ictxxtxxixc i 2233,xxxx4141142()xictictxxixixxc1122334400010000 1000 xxixxxxxxi矩矩阵阵形形式式xax xaxax )(xax()xax 114()xxix 22xx 414()xi xx 33xx

8、 协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变 的性质。的性质。固有时间隔固有时间隔dd为不变量的说明：为不变量的说明：时间间隔时间间隔dt dt 在洛仑兹变换下是一个可变量在洛仑兹变换下是一个可变量 .dtt d 洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量例如：电荷例如：电荷Q Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质 量量m m0 0 ，四维空间的体积元

9、等，四维空间的体积元等2222dsc dtdr0dr dsdc 在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量统称为四维协变量。统称为四维协变量。具有四个分量，在洛伦兹变具有四个分量，在洛伦兹变换下与坐标变换形式相同。换下与坐标变换形式相同。Va V xax 四维矢量四维矢量 V ， 用固有时度量四维空间用固有时度量四维空间的位移可得四维速度的位移可得四维速度 四维速度四维速度dxUdidxiidxudt三维速度三维速度用用dt度

10、量三维空间的位移度量三维空间的位移它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。变换关系变换关系 UaU ,dxadx dd 四维空间位移：四维空间位移：dxdxadx 4()dxicdt4iudxdtUicicdd( ,)uUu icOxu令某物体沿令某物体沿系正方向运动，它系正方向运动，它的三维速度大小为的三维速度大小为u u，固有时为，固有时为d d，系上度量时间为系上度量时间为dtdt ，2211/uuc令令221/uddtduc221/iiidxdxuucdtdiuiUu 四维波矢量四维波矢量1 12233krtk xk xk xii

11、ctckak 2()000100001000()xxxxyyyyzzzzzkkkkickkkkkkkkiiikcc ()k kc平面电磁波波矢量平面电磁波波矢量 称为四维波矢量。称为四维波矢量。( ,)kk ic4wkic4(),xict引入引入k xk x 不不变量变量圆频率圆频率 在洛伦兹变换下是可变量在洛伦兹变换下是可变量。相位。相位()ii k rtee wkc2sinsin()( cos)(cos)yyxxkkktgkkkkccc coscossinsin)1 (cossin1)(22cctgtgtgtgtgtgkkv相对相对以以v v沿沿x x轴运动。轴运动。ccctg2cos1)

12、 1(cos1sincctgkxOkxv与第一节叙述结果相同与第一节叙述结果相同假定恒星与假定恒星与系固连，地球与系固连，地球与固连。固连。c22c舍去13.22或或在地球观测，用在地球观测，用-v-v代代v v。（1 1）光波的经典多普勒效应）光波的经典多普勒效应光源靠近观察者光源靠近观察者00(1/v c）光源远离观察者光源远离观察者00(1/c）光源垂直观察者光源垂直观察者0（2 2）光波的相对论多普勒效应）光波的相对论多普勒效应()(cos )xkc 设光源在设光源在系中静止，系中静止，0 kvkvkv设光源的固有频率设光源的固有频率 ，0运动频率运动频率kxv光源靠近观光源靠近观察者察者0220001/1/()1/1/cccc 光源远离观光源远离观察者察者 光源垂直于观察者运动：光源垂直于观察者运动： 22201/c0()横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论正确的有力证据之一。正确的有力证据之一。0(1cos)c在在系中静止观察者观测系中静止观察者观测220001/1/()1/1/cccc红移红移 检验物理规律方程是否协变，最一般的方法是将该检验物理规律