九年级几何的证明与计算(精选)

1、九年级几何的证明与计算（精选） 考点链接 几何的证明与计算是中考的必考题型，几何的证明题常以全等和相似为载体，与圆的有关知识相结合；几何计算题则是把几何知识与代数知识有机结合起来，渗透数形结合思想，重在考查分析问题的能力、逻辑思维和推理能力 典例精析 【例题1】（天津）已知rtabc中，acb=90，ac=6，bc=8 （1）如图，若半径为r1的o1是rtabc的内切圆，求r1； （2）如图，若半径为r2的两个等圆o1、o2外切，且o1与ac、ab相切，o2与bc、ab相切，求r2；（3）如图，当n是大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆o1、o2、on依次外切，且o1与ac、ab相切，on

2、与bc、ab相切，o2、o3、on1均与ab边相切，求rn 解：（1）在rtabc中，acb=90，ac=6，bc=8，ab=10 如图，设o1与rtabc的边ab、bc、ca分别切于点d、e、f，连接o1d、o1e、o1f、ao1、bo1、co1 于是，o1dab，o1ebc，o1fac， sao1c=aco1f=acr1=3r1， sbo1c =bco1e=bcr1=4r1， sao1b =abo1d=abr1=5r1， sabc =acbc=24 又sabc =sao1c +sbo1c +sao1b， 24=3r1+4r1+5r1， r1=2（2）如图，连接ao1、bo2、co1、co2

3、、o1o2，则 sao1c =acr2=3r2， sbo2c =bcr2=4r2， 等圆o1、o2外切， o1o2=2r2，且o1o2ab 过点c作cmab于点m，交o1o2于点n，则 cm=， cn=cmr2=r2， sco1o2 =o1o2cn=（r2）r2， s梯形ao1o2b=（2r2+10）r2=（r2+5）r2 sabc =sao1c +sbo2c +sco1o2 +s梯形ao1o2b， 24=3r2+4r2+（r2）r2+（r2+5）r2 解得r2=（3）如图，连接ao1、bon、co1、con、o1on，则 sao1c =acrn=3rn， sbonc =bcrn=4rn， 等

4、圆o1、o2、on依次外切，且均与ab边相切， o1、o2、on均在直线o1on上，且o1onab， o1on=（n2）2rn+2rn=2（n1）rn 过点c作chab于点h，交o1on于点k，则ch=，ck=rn sco1on=o1onck=（n1）（rn）rn s梯形ao1onb= 2（n1）rn+10rn=（n1）rn+5rn sabc=sao1c+sbonc+sco1on+s梯形ao1onb， 24=3rn+4rn+（n1）（rn）rn+（n1）rn+5rn， 解得rn= 评析：通过面积关系，建立所求半径的等量关系式，也是解决几何计算题一种重要的途径 【例题2】如图，ab是o的直径，a

5、e平分baf交o于e点，过点e作直线与af垂直交af的延长线于d点，交ab延长线于c点 （1）求证：cd与o相切于点e；（2）若cede=，ad=3，求o的直径及aed的正切值 解题思路：（1）连oe，证oecd；（2）利用三角形相似线段成比例求半径解：（1）连oe，易证oea=oae=ead，oed=90，得oecd，cd与o相切（2）连be有be=oe，易证rtabertaed，cbecea，得，设o半径为r，则co=r+，ca=+2r， ，解得r=或r=1（舍）， o直径为，由ce2=cbca=， ce=，de=，tanaed=2 评析：本题第（2）小题是几何计算，不少考生怕这种题型，因

6、它与证明题不同，证明题的结论是确定的，有目标可寻，而计算题则需要根据题设条件和学过的知识去分析和探索，包括一定的运算能力，这就要求考生平时多练习，多思考，增强信心，才能攻克这样的难关 探究实践 【问题】（重庆）已知四边形abcd中，p是对角线bd上的一点，过p作mnad，efcd，分别交ab、cd、ad、bc于m、n、e、f，设a=pmpe，b=pnpf，解答下列问题： （1）当四边形abcd是矩形时，见图，请判断a与b的大小关系，并说明理由； （2）当四边形abcd是平行四边形，且a为锐角时，见图，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，设=k，是否存在这样的实数k，使得

7、？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由 解题思路：（1）利用面积关系可证a=b；（2）可证speam=pmpesinmpe，spncf=pnpf，sinfpn由speam=spncf，可得a=b；（3）利用等高三角形面积比等于底边之比可求k值 （1）解：a=s矩形peam=sbdaspmb spde， b=s矩形pncf=sdbc sbfp sdpn，可证得a=b （2）解：成立仿（1）有speam=spncf，作ehmn，可证speam=ehpm=pmpesinmpe同理spncf=pnpfsinfpn由sinmpe=sinfpn，可得pmpe=pnpf即a=b （3）解

8、法一：存在连结ap，设pmb、pma、pea、ped的面积分别为s1、s2、s3、s4，即 2k25k+2=0，k1=2，k2= 解法二：由（2）可知speam=aeamsina=adabsina k=2或 评析：巧用面积法解题，可化难为易，应引起注意 中考演练 一、填空题1（黄冈）如图1，在abcd中，efab，de：ea=2：3，ef=4，则cd=_ (1) (2) (3) (4) 2（四川）如图2，ab、ac是互相垂直的两条弦，ab=8cm，ac=6cm，则o半径oa长为_cm 二、选择题 1（福州）如图3，ef过矩形abcd对角线交于点o，且分别交ab、cd于e、f，那么阴影部分的面积

9、是矩形abcd面积的（ ） a b c d 2（黄冈）如图4，abc中，ab=ac，d为bc中点，e为ad上任意一点，过c作cfab交be的延长线于f，交ac于g，连结ce，下列结论中不正确的是（ ） aad平分bac bbe=cf cbe=ce d若be=5，ge=4，则gf= 三、解答题1（长春）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，c=60，ad=cde、f分别在ad、cd上，de=cf，af、be交于点p，请你量一量bpf的度数，并证明你的结论 2（青岛）已知：如图，ab是o的直径，c为o上一点，且bce=cab，ce交ab的延长线于点e，adab，交ec的延长线于点d （1）求证：d

10、e是o的切线 （2）若ce=3，be=2，求cd的长 实战模拟 一、填空题1（四川）如图5，在半径为3的o中，b是劣弧ac的中点，连结ab并延长到d，使bd=ab，连结ac、bc、cd如果ab=2，那么cd=_ (5) (6) (7) 2（杭州）如图6，在等腰rtabc中，ac=bc，以斜边ab为一边作等边abd，使点c、d在ab的同侧；再以cd为一边作等边cde，使点c、e在ad的异侧若ae=1，则cd的长为_ 3（沈阳）如图7，已知在o中，直径mn=10，正方形abcd的四个顶点分别在半径om、op以及o上，并且pom=45，则ab的长为_ 二、选择题 1（宁波）如图8，在四边形abcd中

11、，e是ab上一点，ecad，debc若sbec=1，sbec=3，则scde等于（ ）a2 b c d (8) (9) (10) 2（河南）如图9，半径为4的两等圆相外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于（ ） a b c d1 3（深圳）如图10，ab是o直径，点d、e是半圆的三等分点，ae、bd延长线交于点c若ce=2，则图中阴影部分的面积是（ ） a b c d 三、解答题 1（宁夏）如图，在rtabc中，c=90，ac=3，bc=4，点e在直角边ac上（点e与a、c两点均不重合），点f在斜边ab上（点f与a、b两点均不重合） （1）若ef平分rtabc的周长，设ae的长为x，试用含x的代数式表示aef的面积；（2）是否存在线段ef将rtabc的周长和面积同时平分？若存在，求出此时ae的长；若不存在，说明理由 2（烟台）如图，从o外一点a作o的切线ac、ac，切点分别为b、c，且o直径bd=6，连结cd、ao （1）求证：cdao； （2）设cd=x，ao=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若ao+cd=11，求ab的长答案: 中考演练 一、11