奥数题之盈亏问题

1、盈亏问题、容斥原理、盈亏问题、容斥原理、推理问题推理问题第一节 盈亏问题例题例题1 ： 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分如果每人分5个，就多出个，就多出10个；如个；如果每人分果每人分6个，就少个，就少2个。小明全个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？家有多少人？这篮梨有多少个？例题例题2 ： 幼儿园买来一些玩具，如果每班分幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出个玩具，则多出2个玩具；如果个玩具；如果每班分每班分10个玩具，则少个玩具，则少12个玩具。个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？个？解题规律： 在日常

2、生活中常有这样的问题：一定在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。配的人数。 解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。两次分得差的关系。盈亏问题的数量关系是：盈亏问题的数量关系是：（1）（盈亏）（盈亏）两次分配差两次分配差=份数份数 （大盈小盈）（大盈小盈）两次分配差两次分配差=份数份数 （大亏小亏

3、）（大亏小亏）两次分配差两次分配差=份数份数（2）每次分得的数量）每次分得的数量份数盈份数盈=总数总数量量 每次分得的数量每次分得的数量份数亏份数亏=总数量总数量例例3：有一些少先队员到山上去种一：有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种批树。如果每人种16棵，还有棵，还有24棵没种；如果每人种棵没种；如果每人种19棵，还有棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？有多少棵树？例题例题4 ： 学校派一些学生去搬一批树苗，如果学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬每人搬6棵，则差棵，则差4棵；如果每人搬棵；如果每人搬8棵，棵，则差则差18棵。学生有几人？

4、这批树苗有棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？多少棵？例例5： 少先队员去植树，如果每人挖少先队员去植树，如果每人挖5个个树坑，还有树坑，还有3个坑没人挖；如果其个坑没人挖；如果其中中2人各挖人各挖4个，其余的人各挖个，其余的人各挖6个个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑？队员一共挖多少树坑？例题例题6： 三（三（1）班学生去公园划船，如果）班学生去公园划船，如果每条船坐每条船坐4人，则少一条船；如果人，则少一条船；如果每条船坐每条船坐6人，则多出人，则多出4条船。公条船。公园里有多少条船？三（园里有多少条船？三（1）班有多）班有多少学生？少学生？第二

5、节 容斥原理容斥原理 n容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。n容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=nanbnab。n例例1：一个班有：一个班有48人，班主任在班会上人，班主任在班会上问：问：“谁做完语文作业？请举手！谁做完语文作业？请举手！”有有37人举手。又问：人举手。又问：“谁做完数学作谁做完数学作业？请举手！业？请举手！”有有42人举手。最后问：人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？谁语文、数学作业都没有做完

6、？”没有人举手。求这个班语文、数学作没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。业都完成的人数。n例例2：某班有：某班有36个同学在一项测试中，个同学在一项测试中，答对第一题的有答对第一题的有25人，答对第二题的人，答对第二题的有有23人，两题都答对的有人，两题都答对的有15人。问多人。问多少个同学两题都答得不对？少个同学两题都答得不对？n例例3：某班有：某班有56人，参加语文竞赛人，参加语文竞赛的有的有28人，参加数学竞赛的有人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？竞赛的有

7、多少人？例例4： 在在1到到100的自然数中，既不是的自然数中，既不是5的的倍数也不是倍数也不是6的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？n例例5：光明小学举办学生书法展览。学：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有法作品，其中有24幅不是五年级的，幅不是五年级的，有有22幅不是六年级的，五、六年级参幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有展的书法作品共有10幅，其他年级参幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？展的书法作品共有多少幅？重叠问题n例题例题1： 六一儿童节，学校门口挂了六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前

8、数起，红旗是第一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第面；从后数起，红旗是第10面。这行面。这行彩旗共多少面？彩旗共多少面？n例题例题2 ： 同学们排队做操，每行人数同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第同样多。小明的位置从左数起是第4个，个，从右数起是第从右数起是第3个，从前数起是第个，从前数起是第5个，个，从后数起是第从后数起是第6个。做操的同学共有多个。做操的同学共有多少个？少个？n例题例题3： 把两块一样长的木板像下图把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长块钉在一起的木板长120厘米，中

9、间重厘米，中间重叠部分是叠部分是16厘米，这两块木板各长多厘米，这两块木板各长多少厘米？少厘米？第三节 推理问题n解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为主要依靠推理来解的数学题称为推理问题推理问题。n推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，寻找突寻找突破口破口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才，并且可以借助于图表，步步深

10、入，这样才能使问题得到较快的解决。能使问题得到较快的解决。例题例题1 ： 有有8个球编号是（个球编号是（1）（8），），其中有其中有6个球一样重，另外两个球都轻个球一样重，另外两个球都轻1克。克。为了找出这两个轻球，用天平称了为了找出这两个轻球，用天平称了3次，结次，结果如下：果如下：第一次：（第一次：（1）+（2）比（）比（3）+（4）重；）重；第二次：（第二次：（5）+（6）比（）比（7）+（8）轻；）轻；第三次：（第三次：（1）+（3）+（5）与（）与（2）+（4） +（8）一样重。）一样重。那么，两个轻球分别是几号？那么，两个轻球分别是几号？分析： 从第一次看，（从第一次看，（3）、（

11、）、（4）两球中有）两球中有一个轻；从第二次看，（一个轻；从第二次看，（5）、（）、（6）两球）两球中有一个轻；从第三次看，（中有一个轻；从第三次看，（1）、（）、（3）、）、（5）中有一个轻，（）中有一个轻，（2）、（）、（4）、（）、（8）中也有一个轻。中也有一个轻。 综合上面的分析可以推出，两个轻球综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（的编号分别是（4）和（）和（5）。）。n例题例题2 ： 一个正方体一个正方体6个面上分别个面上分别写着写着1、2、3、4、5、6。根据下。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。对面上的数字是几。分析：

12、如果直接思考哪个数字的对面是几，有一如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。对面不会是几。（1）从（）从（a）、（）、（b）两种摆法中可以看出：）两种摆法中可以看出：4的对面不会是的对面不会是2、5，也不会是，也不会是1、6，那么，那么，4对面一定是对面一定是3；（2）从（）从（b）、（）、（c）两种摆法中可以看出：）两种摆法中可以看出：1的对面不会是的对面不会是4、6，也不会是，也不会是2、3，那么，那么，1的对面一定是的对面一定是5；（3）剩下）剩下2的对面一定是的对面一定是6。n例题例题3 小英、小明、小亮

13、在一次语文、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门第二名和了其中的一门第一名，一门第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁？第二名。获得英语成绩第一名的是谁？分析： 因为小英获得了语文第一名，所以，因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数小明获得的第一名只能是英语或数学，而小明已获得了数学第二名，学，而小明已获得了数学第二名，不可能再获得数学第一名，因此，不可能再获得数

14、学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。获得英语第一名的一定是小明。n例题例题4： 小明看一本书，如果看过的小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，页数每天比前一天增加一倍，7天正好天正好看完。已知这本书一共看完。已知这本书一共96页，他第几页，他第几天看到了天看到了12页？页？分析：分析：n由于他每天看过的页数比前一天增加由于他每天看过的页数比前一天增加一倍，一倍，7天正好看完，也就是说第天正好看完，也就是说第7天天能看到能看到96页。由此往前推：第页。由此往前推：第6天看到天看到了了962=48页，第页，第5天看到了天看到了482=24页，第页，第4天看到了天看到了242=1

15、2页。页。n所以，他第所以，他第4天看到了天看到了12页。页。例题例题5：星期一早晨，王老师走进教室，发现：星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。成、张明这四个住校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修的。）许兵说：桌凳不是我修的。（2）李平说：桌凳是张明修的。）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘成说：桌凳是李平修的。）刘成说：桌凳是李平修的。（4）张明说

16、：我没有修过桌凳。）张明说：我没有修过桌凳。后经了解，四人中只有一个人说的是真话。后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？请问：桌凳是谁修的？ 例题例题6：虹桥小学举行科技知识竞赛，：虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二。）丙得第一，乙得第二。（2）丙得第二，丁得第三。）丙得第二，丁得第三。（3）甲得第二，丁得第四。）甲得第二，丁得第四。比赛结果一公布，果然是这四名学生获比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前得前4名。但以上三种估计，每一种只名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第对了一半错了一半。请问他们各得第几名？几名？例题例题7：张、王、李三个工人，在甲、：张、王、李三个工人，在甲、乙丙三个工厂里分别当车工、钳工和乙丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。电工。张不在甲厂，张不在甲厂，王不在乙厂，王不在乙厂，在甲在甲厂的不是钳工，厂的不是钳工，在乙厂的是车工，在乙厂的是车工，王不是电工。这三个人分别在哪个王不是电工。这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？工厂？干什么工作？例题例题8：六年级有四个