物理光学第四章

1、1 / 88 * 2 / 88 * 衍射衍射：光在传播中遇到障碍物时，偏离原：光在传播中遇到障碍物时，偏离原 来传播方向进入障碍物的几何阴影区的现来传播方向进入障碍物的几何阴影区的现 象象. 衍射是光衍射是光波动性波动性的表现，是影响光学成像的表现，是影响光学成像 系统性能的主要因素之一系统性能的主要因素之一. 使光发生衍射的障碍物（小孔、狭缝），使光发生衍射的障碍物（小孔、狭缝）， 称为称为衍射屏衍射屏. 3 / 88 * 4 / 88 * 最早利用波动原理解释衍射现象的是最早利用波动原理解释衍射现象的是菲涅尔。菲涅尔。 本章采用基尔霍夫（本章采用基尔霍夫（G. Kirchhoff）的标量衍

2、）的标量衍 射理论。射理论。 衍射现象分为两类衍射现象分为两类： （1）菲涅尔衍射菲涅尔衍射，观察屏距衍射屏不太远；，观察屏距衍射屏不太远； （2）夫琅禾费（夫琅禾费（J. Fraunhofer）衍射）衍射，观察屏，观察屏 和光源距离衍射屏无限远。和光源距离衍射屏无限远。 5 / 88 * S 图5-2 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理菲涅尔原理 6 / 88 * 考察单色点源考察单色点源S对对P的作用的作用 用用 波前代替点光源波前代替点光源S 波前上波前上Q点的复振幅点的复振幅： Q点面元点面元d 对对P的作用的作用 C常数，常数，K( )倾斜因子倾斜因子 ， 衍射角衍射角 R r P S z z

3、 图5-3 Q )exp( ikR R A EQ d r ikr ECKPEd Q )exp( )()( 7 / 88 * 菲涅尔假设：菲涅尔假设：K( ) ，K( =90)=0，故只有故只有 面上面上 的点对的点对P有贡献有贡献 所有所有 面上的点对面上的点对P点的贡献和：点的贡献和： 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理的数学表达菲涅尔原理的数学表达 波前波前 可以是任意曲面，此时可以是任意曲面，此时 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理的推广菲涅尔原理的推广 dK r ikr ECPE Q )( )exp( )( dK r ikr ECPE Q )( )exp( )( 8 / 88 * 惠更斯惠更斯-菲涅尔原理

4、不严格，例如菲涅尔原理不严格，例如K( )的引入缺乏理论的引入缺乏理论 依据，没有具体形式依据，没有具体形式. 基尔霍夫（基尔霍夫（1882）找到标量波衍射的较严格数学表达）找到标量波衍射的较严格数学表达 式，得出式，得出K( )的具体形式的具体形式: l 从微分波动方程（亥姆霍兹方程）出发从微分波动方程（亥姆霍兹方程）出发 l 利用格林定理利用格林定理 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论* 详细推导参看详细推导参看“物理光学物理光学”-梁铨廷梁铨廷 P167-170 9 / 88 * 考察平面屏上一透光孔径考察平面屏上一透光孔径 S 单色点光源单色点光源 P 所考察场点所考察场点 数学依据：数

5、学依据：任一点光场任一点光场P点的扰动可点的扰动可 由包围该点的闭曲面上各点的场值及由包围该点的闭曲面上各点的场值及 其梯度值表示出来（叠加积分）其梯度值表示出来（叠加积分）. 21 作闭曲面 两个假定两个假定-基尔霍夫边界条件基尔霍夫边界条件 1. 开孔（开孔（）处光场及其梯度值与无屏时相同）处光场及其梯度值与无屏时相同忽略了屏对场的影响忽略了屏对场的影响; 2. 紧贴屏（紧贴屏（1）后无扰动，光场及梯度值均为）后无扰动，光场及梯度值均为0忽略了场在屏后的扩展忽略了场在屏后的扩展. 屏对场的影响只发生在孔径边缘波长量级的极小范围，屏对场的影响只发生在孔径边缘波长量级的极小范围， 所以只要所以

6、只要 的线度及的线度及S，P 与开孔的距离远大于与开孔的距离远大于，上述二假设成立，上述二假设成立. Q 10 / 88 * 21 闭曲面 21 . dddd 边界条件边界条件2 0 R 0 运算结果运算结果 d lnrn r ikr QE i PE 2 ),cos(),cos()exp( )( 1 )( 菲涅尔基尔霍夫衍射公式菲涅尔基尔霍夫衍射公式 Q 11 / 88 * )exp()( ikl l A QE d lnrn r ikr l ikl i A PE 2 ),cos(),cos()exp()exp( )( A: 离点光源S 单位距离处的振幅， l: S到Q的矢径， r : 是P到Q

7、的矢径, n: 是子波元的法线方向单位矢量 Q 12 / 88 * B区域（近场）：区域（近场）：菲涅耳菲涅耳 衍射衍射，光强分布的大小，光强分布的大小 和形式都发生变化；和形式都发生变化； C区域（远场）：区域（远场）：夫琅和夫琅和 费衍射费衍射，光强分布只有，光强分布只有 大小的变化。大小的变化。 13 / 88 * d lnrn r ikr l ikl i A PE 2 ),cos(),cos()exp()exp( )( 用用5.19式计算衍射，不易求出积分，式计算衍射，不易求出积分， 因此在实际的问题中，需要近似处理。因此在实际的问题中，需要近似处理。 傍轴近似傍轴近似以简化衍射公式：

8、 (1)取cos(n,r)=cos1， K()=(1+cos)/2 1 (2)球面波幅度因子1/r 1/z1 (3)相位因子须更高阶近似 y1 x1 y x r z Q P 14 / 88 * 做出(1)(2)两个近似后， E(P)= E(Q) exp(ikr) d/ (iz1) (5-21) 式中，E(Q)=Aexp(ik)/ y1 x1 y x r z Q P 下一步的近似要对下一步的近似要对r做出做出: 2/1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 )()(1)()( z yy z xx zyyxxzr 若忽略三次及以上各项， 取rz11+(x-x1)2+(y-y1)2/(

9、2z12)， 则为菲涅尔近似菲涅尔近似 15 / 88 * 11 2 1 2 1 1 11 1 1 dydxyyxx 2 ik exp)y,E(x i )exp(ikz y)E(x, zz 外E(x1,y1)=0，故积分可在整个x1y1平面进行： 菲涅尔衍射公式菲涅尔衍射公式 11 2 1 2 1 1 11 1 1 dydxyyxx z2 ik exp)y,E(x zi )exp(ikz y)E(x, 16 / 88 * 夫琅和费近似夫琅和费近似 观察屏距离衍射孔更远的地方，观察屏距离衍射孔更远的地方， (x12+y12)/(2z1) ，r z1+(x2+y2)/(2z1)-(xx1+yy1)

10、/z1夫琅和费近似夫琅和费近似 此时的衍射公式为此时的衍射公式为夫琅和费衍射夫琅和费衍射： 11 1 1 1 1 11 22 11 1 dydx z yy z xx 2iexp)y,E(xyx z2 ik exp zi )exp(ikz y)E(x, 17 / 88 * 18 / 88 * (x1, y1)(x, y) 问题：问题： 有没有近距离就可以得到夫琅和费衍射的方法？有没有近距离就可以得到夫琅和费衍射的方法？ 19 / 88 * 复振幅透过率函数复振幅透过率函数t(x1, y1) 对于薄透镜：对于薄透镜： f yxik yxtA yxtyxtAyxE l 2 )( exp),( ),(

11、),(),( 2 1 2 1 11 111111 这里用到了这里用到了菲涅尔近似条件：菲涅尔近似条件： f yx fr 2 22 E(x1, y1)E(x1, y1)= E (x1, y1)*t(x1, y1)* tl(x1, y1) 20 / 88 * 平面波照明孔径平面波照明孔径 (x1, y1) E(x1, y1) (x, y) f 利用利用菲涅尔衍射公式：菲涅尔衍射公式： 11 2 1 2 111 dydxyyxx 2 ik exp)y,(xE i )exp(ik y)E(x, f f f )( 2 exp )exp( dydx)(exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx

12、 f ik fi ikfA C yyxx f ik tC 代入代入E(x1, y1) 该式即为：该式即为： 21 / 88 * (x1, y1) E (x1, y1) (x, y) f 平面波斜入射照明孔径平面波斜入射照明孔径 设波矢设波矢k的方向角为的方向角为(，) E (x1, y1) )coscos(2 exp),( 11 11 yxi AyxE ),(),(),(),( 11111111 yxtyxtyxEyxE l 后焦面的场分布为：后焦面的场分布为： )( 2 exp )exp( dydx)cos()cos(exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx f ik fi i

13、kfA C yfyxfx f ik tC 22 / 88 * 球面波照明孔径球面波照明孔径 (x1, y1) E(x1, y1)E(x1, y1) (x, y) ll l yxik AyxE 2 )( exp),( 2 1 2 1 11 ),(),(),(),( 11111111 yxtyxtyxEyxE l 用到菲涅尔近似条件菲涅尔近似条件 代入代入菲涅尔衍射公式菲涅尔衍射公式 并利用：并利用：成像关系成像关系 观察屏上的场分布为：观察屏上的场分布为： )( 2 exp ) exp( dydx)( exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx l ik li iklA C yyxx

14、 l ik tC 4-4 23 / 88 * (x1, y1) E(x1, y1)E(x1, y1) (x, y) ll 24 / 88 * 夫琅和费衍射公式的意义夫琅和费衍射公式的意义 1111 22 dydxyyxxiexp) 2 yx (exp i y)E(x, f k f fik f A 孔径面坐标原点C 到P点的相位延迟 点Q与C的子波到 达P点的相位差 v参考图5-10，设CH连线的单位矢量为 q，d0，CP连线的长度为r vrf+(x2+y2)/(2f) ，即为(5-28)积分前的 指数幂项 vQ点发出、方向为q的光线，相对于 CH的光程差=(xx1+yy1)/f，即为(5-28

15、) 积分内的指数幂项 25 / 88 * 111111 22 dydxyyxxiexp),() 2 yx (exp i y)E(x, f k yxt f fik f A 26 / 88 * 矩孔衍射矩孔衍射 a b x1 y1 x y x y )exp( C 2 kwb 2 kwb sin 2 kla 2 kla sin f2 yx ikexpC dydxwylxikexp f2 yx ikexpCE 22 1 2a/ 2a/ 2b/ 2b/ 11 22 1 ikf f CA 式中： 点的强度 00 2 2 0 * P: 2kwb/ 2,kla/ , sin sin IEEI I 27 / 8

16、8 * 28 / 88 * 29 / 88 * 30 / 88 * 31 / 88 * 单缝衍射单缝衍射 32 / 88 * 33 / 88 * x y x1 y1 Q r1 1 P r frddrrd ryrx ryrx /. sin,cos sin,cos 111 111111 令衍射角： 代入式5.28 111 a 0 2 0 11 ddrrosikrexpCE(P) c 上式省略了 expik(x2+y2)/(2f) 11 0 1011 0 10 2 0 0 d)(2d)(2)( diZcosexp 2 1 (Z)J rrkrJCrrkrJCPE aa 由于 34 / 88 * ka

17、kaJ2 CE(P) (Z)ZJ(Z)ZJ dZ d 1 2 01 a ， )d()()( )( 2 d)(2)( 11 0 101 2 11 0 10 krrkrJkr k C rrkrJCPE kaa Z=ka 35 / 88 * 强度分布讨论强度分布讨论 36 / 88 * 37 / 88 * 38 / 88 * 39 / 88 * 40 / 88 * 41 / 88 * 42 / 88 * (a) (b) Gran Telescopio CANARIAS: First Location: La Palma, Canary Islands, Spain; Aperture (meters

18、) : 10.4 m (c) twin Keck Telescopes: Second Location: Mauna Kea, Hawaii, USA; Aperture (meters) :10.0 m(d) Southern African Large Telescope: Third Location:South African Astronomical Observatory; Aperture (meters) : 10.0 m 43 / 88 * 44 / 88 * 45 / 88 * 46 / 88 * 47 / 88 * 波面越受限制，衍射效果越明显； 波长越长，衍射效果越明

19、显； 孔径在原所在面内移动，衍射光强不变； 光源的倾斜引起衍射图样的移动； 衍射屏的分解。 作业：作业：4.9、4.10、 4.12、4.13、4.18 48 / 88 * x1 y1 x y S a d b 双缝衍射的强度分布？双缝衍射的强度分布？ 49 / 88 * ikldexp1 2kwb 2kwbsin 2kla 2klasin abC dyikwyexpdxiklxexpC dyikwyexpdxiklxexpCE(P) 1 2b/ 2b/ 11 2a/d 2a/d 1 1 2b/ 2b/ 11 2a/ 2a/ 1 50 / 88 * ikldexp1 2kla 2klasin a

20、bCE(P) 上式说明，两个在上式说明，两个在P点产生的复振幅有一点产生的复振幅有一相位差相位差： sin 2 kldd a d x P dsin 图5-32 令令kla/2= ，I0=(ab)2|C|2，由由 I(P)=E(P)E*(P)，得到得到P点光强点光强 2cossinI4I(P) 2 2 0 51 / 88 * v光强包含两个因子： v（1）单缝衍射因子(sin/)2 v（2）双缝干涉因子cos2(/2) v =kdsin是来自对应两光束的位相差，见 图(4.6.3) 2cossinI4I(P) 2 2 0 讨论讨论 52 / 88 * 53 / 88 * 衍射因子和干涉衍射因子和

21、干涉 因子分解合成图因子分解合成图 54 / 88 * 单缝和双缝衍射比较单缝和双缝衍射比较 55 / 88 * 视频展示：视频展示： 56 / 88 * x1 x P S d G 图5-37 利用上节双缝衍射结论利用上节双缝衍射结论 57 / 88 * 在在x1方向上两个相距方向上两个相距d的等宽的等宽 狭缝在狭缝在P点有一相位差：点有一相位差： x1 x P S d G 图5-37 sin 2 kldd 单个缝在单个缝在P点产生的振幅：点产生的振幅： 点产生的振幅为单缝在 00 0 P sin )( E EPEs 令衍射屏第一个缝在令衍射屏第一个缝在P点的复振幅相点的复振幅相 位为位为0，

22、那么第，那么第1、2、3缝在缝在P点点 的复振幅分别为：的复振幅分别为： ).2exp( sin ),exp( sin , sin 000 iEiEE 58 / 88 * P点的复振幅之和为：点的复振幅之和为： 2 2 0 0 0 2 sin 2 sin sin 2 ) 1(exp 2 sin 2 sin sin ) 1(exp.)exp(1 sin )( N II Ni N E NiiEPE 59 / 88 * 2 2 0 2 sin 2 sin sin N II 讨论讨论 单缝衍射因子单缝衍射因子 多光束干涉因子极大值：多光束干涉因子极大值： 各主极大的强度为：各主极大的强度为： mdmd

23、sin2sin 2 多光束干涉因子多光束干涉因子 多光束干涉因子极小值：多光束干涉因子极小值： 1,.2 , 1.,2, 1, 0.) ( 2 Nmm N m m 两个相邻主极大之间有两个相邻主极大之间有N-1个个0值值 2 0 2 ) sin ( INIm 主极大与相邻零值角距离：主极大与相邻零值角距离： cosNd 60 / 88 * 图图(5-38)：4缝衍射的强度缝衍射的强度 分布曲线分布曲线 61 / 88 * 图图5-39：不同缝数的多缝：不同缝数的多缝 夫琅和费衍射图样夫琅和费衍射图样 62 / 88 * 视频展示：视频展示： Ronchi ruling: 朗奇刻线法 63 /

24、88 * 衍射光栅衍射光栅：由大量等宽等间距的狭缝构成的光学元件。：由大量等宽等间距的狭缝构成的光学元件。 光栅的定义光栅的定义 基本作用基本作用：按波长进行光束的空间分离：按波长进行光束的空间分离 基本用途基本用途：光谱仪中的分光元件：光谱仪中的分光元件 64 / 88 * 表明：亮线衍射角表明：亮线衍射角与波长与波长相关。相关。d称为称为光栅常数光栅常数 该式为该式为光栅方程光栅方程。 但它只适用于光垂直入射情况，对于斜入射情况：但它只适用于光垂直入射情况，对于斜入射情况： 两支光两支光R1、R2的光程差为：的光程差为： 65 / 88 * 66 / 88 * 角色散、线色散是光谱仪的重要

25、质量指标，角色散、线色散是光谱仪的重要质量指标， 色散越大，越容易将两条靠近的谱线分开。色散越大，越容易将两条靠近的谱线分开。 实用光栅通常每毫米上千条刻线。实用光栅通常每毫米上千条刻线。 67 / 88 * 如何计算如何计算？ 68 / 88 * 69 / 88 * )( d d mNNdm d cos cos 对于60mm，1200线/mm的光栅，600nm光，对应1级，其分辨最小波长差为0.008nm 70 / 88 * 概念：概念：相邻级次的光谱相邻级次的光谱 不发生重叠的波长范围。不发生重叠的波长范围。 m mm / ) 1()( 71 / 88 * 闪耀光栅可以解决问题闪耀光栅可以解决问题 72 / 88 * 闪耀角：闪耀角： 垂至于槽面入射，衍射的主极大就出现垂至于槽面入射，衍射的主极大就出现 在这个方向。对于光栅平面来说，入射在这个方向。对于光栅平面来说，入射 光以角度光以角度入射的，根据衍射方程：入射的，根据衍射方程： b md did sin2 sin2)sin(sin 如果： 如图所示，点光源P发出的球面波中