《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

1、精品文档一元二次不等式及其解法典型例题透析类型一：解一元二次不等式例 1.解下列一元二次不等式（ 1） x25x0 ；（2） x24x 40 ；（ 3）x24x 5 0思路点拨 :转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（ 1）方法一：因为( 5)24 1 025 0所以方程x25x0 的两个实数根为：x10 ， x25函数 yx25x 的简图为：因而不等式 x25x0 的解集是 x | 0x 5 .方法二： x25x0x( x 5)0x0或x0x5 0x5 0x0或x0x 5或 x.解得5x，即 0x5因而不等式 x25x0 的解集是 x | 0x5 .（ 2）方法一：因为

2、0，方程 x24x40 的解为 x1 x2 2 .函数 yx24x4 的简图为：所以，原不等式的解集是 x | x2方法二： x24x 4 ( x 2)20（当 x2 时， ( x 2)20 ）所以原不等式的解集是 x | x2（ 3）方法一：原不等式整理得x24x5 0 .。1欢迎下载精品文档因为0 ，方程 x24x 50 无实数解，函数 yx24x 5 的简图为：所以不等式 x24x50 的解集是 .所以原不等式的解集是.方法二： x24x5( x 2) 2 1 1 0原不等式的解集是.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2.当0

3、 时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、 3 小题）；当0 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第 1 小题） .3.当二次项的系数小于 0 时，一般都转化为大于0 后，再解答 .举一反三：【变式 1】解下列不等式(1)2x23x20； (2)3x26x20(3)4x24x10； (4)x22x30 .【答案】（ 1）方法一：因为( 3)242(2)250方程 2x23x20 的两个实数根为： x11， x2 22x22函数 y3x2 的简图为：因而不等式 2 x23x 20 的解集是： x | x1 或 x 2 .方法二： 原不等式等价于 （2x1)(x 2)

4、02, 原不等式的解集是： x | x1 或x2 .2（ 2）整理，原式可化为 3x2 6x 2 0 ,因为0,方程 3x26x 20 的解 x1 13 ， x2 13 ，33。2欢迎下载精品文档函数 y3x26x2 的简图为：所以不等式的解集是 (13 ,13) .33（ 3）方法一：因为0方程 4x24x1 0 有两个相等的实根： x1 x21，4 x22由函数 y4 x 1的图象为：原不等式的的解集是1 .2方法二： 原不等式等价于：(2 x1)2 0,原不等式的的解集是1 .（ 4）方法一：2因为0 ，方程x22x3 0 无实数解，由函数 yx22x 3的简图为：原不等式的解集是.方法

5、二： x22 x3( x1)2220 ， 原不等式解集为.【变式 2】解不等式：6x2x66【答案】 原不等式可化为不等式组x2x 6 6，即x2x 12 0(x 4)( x 3) 06 x2x2，即x( x 1) 0，x 6x 0解得3x 4或xx01原不等式的解集为 x |3x0或1 x 4 .类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例 2. 不等式 x2mxn0 的解集为 x(4,5) ，求关于 x 的不等式 nx 2mx 1 0 的解集。思路点拨 : 由二次不等式的解集为(4,5)可知： 4、 5是方程 x2mx n0 的二根，故由韦达定理可求出 m 、 n 的值，从而解得 .。3欢

6、迎下载精品文档解析： 由题意可知方程x2mx n0的两根为 x4和 x5由韦达定理有 45m ， 45n m9， n20 nx2mx1 0化为20x29x10 ，即20 x29x 1 0(4 x 1)(5x1)1x1，0 ，解得54故不等式 nx2mx10 的解集为 (1 ,1) .45总结升华： 二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点. 根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式 ax2+bx+120 的解集为 x|-3x2，则 a=_, b=_ 。【答案】 由不等

7、式的解集为 x|-3x2知 a0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。思路点拨 : 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：2(1) 当 m+4m-5=0 时， m=1或 m=-5若 m=1，则不等式化为30,对一切实数x 成立，符合题意。若 m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5 舍去。2(2) 当 m+4m-50 即 m1 且 m -5 时，由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线 y=(m2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3开口向上， 且与 x 轴无交点，所以m 24m5 0，1)212(

8、 m216(m4m5)0即m1或 m5， 1m19。1m19综上所述，实数m的取值范围是 m|1 m0 ；（ 3） x2 -(a+1)x+a0，即a2或a-2时，原不等式的解集为 x | xaa 24 或 xaa 24 22当=0，即 a=2 或-2时，原不等式的解集为 x | xa 。2当 0，即 -2a2 时，原不等式的解集为 R。（ 3） (x-1)(x-a)1 时，原不等式的解集为x|1xa当 a1 时，原不等式的解集为x|ax1当 a=1 时，原不等式的解集为。总结升华： 对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：

9、求相应方程的根。当无法判断判别式与0 的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式 1】解关于 x的不等式： x 2(a1 ) x 1 0( a0)1 )a【答案】 原不等式化为 (x a)( x0 a=1或a=-1 时，解集为a；当 0a1 或 a1或 -1a0时，a。7欢迎下载精品文档若 a12， 即 0a1时， x(,210，2, ) ；aa若 a0， 1 2 ， 即 a1 时， x R；a2若 a12 ， 即 a1时， x (1) .0，2,2,aa当 a0时，则有： 12 ，x12a， 。a【变式 2】解关于

10、x的不等式： ax2 2x-10时，则0， x ( 11 a , 11 a ) . a0时，aa若 a0， 0， 即 a-1 时， x R；若 a0， =0， 即 a=-1 时， x R且x 1；若 a0， 即 -1a0aa【答案】 若 a=0，原不等式化为 -x+10 ，解集为 x|x1；若 a0，原不等式为关于x 的一元二次不等式 .方程 ax 2x 1 0 的判别式 =1-4a( ) 当 =1-4a0 ，即 a1 时，方程 ax 2x 1 0 有两个不等实数根4114a114ax12a， x22a，当 0 a1时，函数 f ( x)ax 2x1的图象开口向上，4与 x 轴有两个不同的交点，且x1x2 ，其简图如下：所 以， 此 时不 等 式 ax 2x 1 0的解 集为,1 1 4a1 1 4a ,；2a2a当 a0 时，函数 f ( x)ax 2x1的图象开口向下，与 x 轴有两个不同的交点，且x1x2 ，其简图如下：所以，此