Maxwell方程的对称性

1、商丘师范学院学士学位毕业论文2011届本科毕业论文Maxwell方程的对称性姓 名： 赵倩 系 别： 物理与信息工程系 专 业： 应用物理 学 号： 070313016 指导教师： 陈文聪 2010年12月18日11目 录摘 要2关键词20 引言31麦克斯韦方程组.41.1.1麦克斯韦方程组的地位41.1.2麦克斯韦方程组的历史背景41.2麦克斯韦方程组的表达形式41.2.1微分形式51.2.2积分形式52麦克斯韦理论的对称性52.1对称美62.2由对称性到协变性63从麦克斯韦方程组的对称性到磁单极104含磁单极的麦克斯韦方程组115 结语12参考文献13致谢13关于麦克斯韦方程组的对称性摘

2、要通过对麦克斯韦方程组的对称性的研究，知道麦克斯韦方程组的表达形式比较对称，人们经常将它看成物理方程数学形式对称的典范。由于磁单极的不存在，使得介质中的麦克斯韦方程组不完全对称。本文中假设磁单极存在，运用洛仑兹协变的变换，推导出一组对称的麦克斯韦方程，此时麦克斯韦方程变的高度对称。关键词 麦克斯韦方程组；对称性；协变性；磁单极； Symmetry of Maxwell equationsAbstractBy the symmetry of Maxwell equations the research, know that the expression of Maxwell equations

3、relatively symmetrical form，it is often relatively symmetric physical equations in mathematical form as a model of symmetry。Since magnetic monopoles do not exist, making the media, Maxwell equations in a symmetrical finish。Assuming the existence of magnetic monopoles in this article, the use of Lore

4、ntz covariant transform, derive a set of symmetry of Maxwell equations, Maxwell equations now become highly symmetric。 KeywordsMaxwell equations; Symmetry; Covariance; Magnetic monopole0 引言1873年，英国理论物理学家麦克斯韦(James Clerk Maxwel1)教授在总结高斯、安培、法拉第等人工作的基础上，提出著名的位移电流假说和涡旋电场假说，进而导出经典电磁场的麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组的建立过程

5、以及未来的发展趋势都与追求物理理论思维的对称性与物理方程形式的对称性密不可分,这一过程既是唯象的,又是抽象的,它们是交替进行的12,13。对称美源于人们对自然界对称性的欣赏与追求，它是一个古老而又常新的概念，就其发展形态来说，它大致经历了直观唯象阶段、理性抽象阶段和数学变换阶段。追溯历史，很久以前人们就把电理象和磁现象相提并论了。“电生磁”，“磁生电”的解释常使人们以为电和磁是一对完全时称的“佳偶”。然而，如果深人思考一下，就会发现一个明显的差异：带电体的正电荷和负电荷可以单独存在，而磁体的两极却是成对出现的。从来没有发现过单独存在的磁极磁单极子。这种不对称的原因，可以从经典电磁学理论的Max

6、well方程中得到回答。 1 麦克斯韦方程组1.1 麦克斯韦方程组的地位与历史背景 1.1.1麦克斯韦方程组的地位麦克斯伟方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场

7、理论体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。1.1.2麦克斯韦方程组的历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培毕奥萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（18311845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。场概念的产生，也有麦

8、克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培毕奥萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。1.2麦克斯韦方程组的表达形式1.2.1微分形式人们知道，静止的电荷产生电场，运动电荷或电流除产生电场外，还产生磁场。截止目前为止，人们尚未发现自然界中有磁荷及磁流存在，所以电荷和电流是产生电磁场唯一的源。麦克斯韦方程组全面地描述了时变电磁场的特性，

9、其微分形式如下1,2 （1） （2） （3） （4）式中， j 是传导电流密度， 是自由电荷体密度。在介质内，上述方程组尚不完备，还需补充三个描述介质性质的方程式。对于各向同性介质来说，有 （5） （6） （7）式中, 和分别是（相对）介电常数、（相对）磁导率和电导率。上述方程全面总结了电磁场的基本规律，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问题。1.2.2积分形式 1873年前后，麦克斯韦提出了表述电磁场普遍规律的四个方程，其积分形式如下2,3： 其中，1描述了磁场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量

10、无贡献。2 描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。3 描述了变化的磁场激发电场的规律。4 描述了变化的电场激发磁场的规律。2 麦克斯韦理论的对称性2.1对称美对称美源于人们对自然界对称性的欣赏与追求，它是一个古老而又常新的概念 ，就其发展形态来说，它大致经历了直观唯象阶段、理性抽象阶段和数学变换阶段4。 麦克斯韦方程组的建立过程 以及未来 的发展趋势都与追求物理理论思维的对称性与物理方程形式的对称性密不可分，这一过程既是唯象的，又是抽象的，它们是交替进行的。1820年，奥斯特发现电流会产生磁

11、场，按照对称性思维，磁场也会产生电流 ，这一思想的提出其实是唯象的，也就是说物理学家只是觉得它应该是这样的 ，至于为什么是这样还不清楚这一推论最终由法拉弟通过实验得以证实。根据法拉弟 电磁感应定律 ，所谓磁场会产生电流，实际上是变化的磁场才会使导体产生电流，大量实验表明，静态磁场并不会使导体产生电流。麦克斯韦认为，变化的磁场之所以会使导体产生电流，是因为变化的磁场产生了涡旋电场，这已经上升到理性抽象阶段。同时，麦克斯韦进一步运用对称性思维，他认为变化的电场也会产生磁场，这便是位移电流的提出。所以，对称性思想对麦克斯韦方程组的建立起到了指引方向的作用。 麦克斯韦方程组的表达形式也比较对称，人们经

12、常将它看成物理方程数学形式对称的典范，如 MV劳厄称之为“美学上真正完美的对称形式”5。 但需要指出的是，真空中的麦克斯韦方程组才具有完全对称的数学形式，而介质中的麦克斯韦方程组并不完全对称，造成这种现象的原因是由于电场中存在自由电荷，而磁场中不存在自由磁荷( 即不存在磁单极子)，倘若存在自由磁荷，那么由自由磁荷的定向移动形成自由磁流，这样一来，麦克斯韦方程就应改写成如( (8) 一( 11) 式 ) 形式，此时麦克斯韦方程就变得高度对称。正是在这种对称性思想的指引下，许多物理学家坚信麦克斯韦方程的最终形式应该是这样的，虽然现在没有找到磁单极子，但并不表示它不存在，况且根据狄拉克的理论，磁单极

13、子应该是存在的，所以，物理学家对磁单极子的寻找一直没有停止过。当然也有人提出不同看法，他们认为物理世界所谓的对称性是相对的，而不对称是绝对的，世界上任何对称的东西都存在自发破缺现象，所以没有找到磁单极子也是正常的。 （8） （9） （10） （11）现代物理学对对称性的讨论更为关注其最后一种形态，即数学变换的不变性数学变换的不变性是在群论理论上发展过来的，用通俗的话来讲，是指一组方程经过一个变换法则后，得到一组新的方程,如果这组新的方程与原来方程形式保持不变，那么这组方程相对这一变换来讲就是对称的,例如,牛顿定律经过伽利略变换保持不变，所以牛顿定律相对伽利略变换来讲是对称的.当麦斯韦建立了麦克

14、斯韦方程组以后，人们发现，麦克斯韦方程组在伽利略变换中具有不对称性，这说明人们应该找到新的变换法则，以使得麦克斯韦方程组经过它变换后保持不变，而且新的变换法则应该包含伽利略变换，这个新的变换法则就是洛仑兹变换.当物体运动速度远远小于光速时，洛仑兹变换又回到了伽利略变换,伽利略变换仅是洛仑兹变换的一个速度远小于光速的极限。因此，麦克斯韦方程具有更高层次的对称性。在电磁理论与相对论的发展历史中，爱因斯坦是采用与上面相反的逻辑，他首先根据狭义相对论的两个基本假设,导出洛仑兹变换,然后由此导出麦克斯韦方程，即他摒弃了1819世纪占主导地位的动力学方法,向不变性理论转化，将对称性放到了首位。杨振宁先生在

15、谈到这一转变时指出：“爱因斯坦不是从实验上已证实了的麦克斯韦方程组出发，去追问这些方程组的对称性是什么，而是把局面颠倒过来，从对称性出发去发问方程组应当怎样。把原先的地位颠倒过来的这一崭新的程序，我曾称之为对称性支配相互作用”6。2.2由对称性到协变性 麦克斯韦方程组可以概括整个电磁学规律，它具有优美的对称性。麦克斯韦方程组反映普遍情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部矛盾运动的规律。它的主要特点是揭示了变化电磁场可 以互相激发的运动规律，从而在理论上预言了电磁场的存在，并指出光就是一种电磁波。麦克斯韦方程组还揭示了电磁场可以独立于电荷之外单独存在，这就更加深了我们对电磁场物质性的认识。麦克斯

16、韦方程组是宏观电磁现象的理论基础，它的应用范围及其广泛，利用它原则上可以解决各种宏观电磁现象。电磁场的计算都可以归结为对这组方程的求解过程。稳恒电磁场只不过是 ， 的特殊情况下的麦氏方程；在讨论电磁波及在真空中的传播问题时，也只需令，就可以得到关于E 和B的完全对称的波动方程； ; （12）对电磁波的辐射问题,我们可以引入电磁场的矢势A及标势，使及从而由麦克斯韦方程组得到A, 满足的基本方程。在洛仑兹规范下其形式为： （13） （14）它和麦氏方程完全等价，是非齐次的波动方程。我们同样注意到，这两个方程具有优美的对称性。式中为质点在有心力场所具有的势能，为质点质量，为系统总能量。麦克斯韦没有发

17、现相对论。相对论是1905年爱因斯坦创立的，但是麦克斯韦在1865年提出的电磁场基本方程却具有洛仑兹协变性，这又一次说明了麦克斯韦方程对电磁场描述的完美性。用四维势矢量或四维电磁场张量来描述电磁场，可以明显看出麦克斯韦方程组具有洛仑兹协变性，这是一般电动力学的讨论方法下7。为了直观起见，我们在这里用洛仑兹变换及电磁场量的变换直接验证麦克斯韦方程组在洛仑兹变换下为不变式8。用洛仑兹坐标变换，可得微分运算的变换 （15） （16） （17） （18） 其中把麦克斯韦方程( 1 ),( 4 )在直角坐标系写成分量式 （19） （20） （21） （22）将( 15) ( 17 )代入( 20 )，整

18、理后得 （23） 如果麦克斯韦方程组是洛仑兹协变的,即在一切惯性参考系中数学形式不变,则在中必须有 （24） 则方程（23）和（24) 具有相同的数学形式，这就表明方程（1）的y分量是洛仑兹协变的。如果令 （25） （26） （27）则方程（23）和（24）完全相同。类似地，方程（21）变为 这与方程 具相同的数学形式，如果令 （28） （29）则此二方程相同。由(22)式，得 （30）代入方 程 ( 2 7) 和 ( 2 9) 的逆变换，整理并消去， 得 （31） 由( 1 9) 式，得 代入方程 ( 26) 和 ( 2 8) 的逆变换，整理并消去，得 （32）比较方程（31）和（32）知，

19、如果,必有 （33）和 （34）如果麦克斯韦方程组是洛仑兹协变的，则在中必有 （35） （36）方程（33）和（35）具相同的数学形式，且如果 （37）则它们完全相同。于是方程（34）和（36）也完全相同。这就完成了场的变换。同理可证，方程(2)和（3）也是洛仑兹变换的。把公式集中如下： ， ， ， 即我们证明了麦克斯韦方程组是洛仑兹协变的，从而反映了电磁场运动规律不应因原坐标系的选 择而变化的客观性。 3 从麦克斯韦方程组的对称性到磁单极 1864年，麦克斯韦对随时间变化的电磁场，引入位移电流后，总结出了如下方程组下9： (38） (39) (40) （41） 这就是通常的麦克斯韦方程组，该

20、方程组深刻揭示了电磁现象的本质，描述了一般情况下电荷、电流激发电磁场以及电磁场内部矛盾运动的规律。直至目前，在宏观范围内，从描述电磁作用的角度看，还没有一例实验结果与之矛盾。麦克斯韦方程组一方面表明电与磁具有对称性，即变化电场产生磁场，变化磁场产生电场。另方面又表明电与磁的对称性是不完全的。从场源来说，电场有两个源：一是电荷产生的无旋场； 二是变化磁场产生的无源场。磁场也有两个源下10： 一是电荷运动形成的电流3n(以电流密度矢量表示)；二是变化的电场，即位移电流。二者激发的磁场都是横向场，磁场的纵向分量为零。人们总有从理论和实验中寻找自由磁单极的念头，以使麦克斯韦方程组具有形式上更高的对称性

21、。 1931年，英国物理学家狄拉克首先从理论上探讨了磁单极存在的可能性。他指出，磁单极的存在与电动力学和量子力学没有矛盾。并通过理论证明后指出，如果磁单极存在，则其磁荷与电子电荷应满足如下关系： （42）式中 n =l ，2 ，3，为真空磁导率，h为普朗克常数。这就是著名的电荷量子化条 （42）式表明了即使宇宙间存在一个磁单极，它将制约着每一个电子电荷e的取值。 继狄拉克之后 ，一些新 的理论思想使磁单极概念大大超越了狄拉克时代。1974年，荷兰物理学家特霍夫(Thooft)和前苏联物理学家波利亚可夫独立提出的非阿贝尔规范理论认为磁单极必然存住，并指出它比已发现的或预言到的任何粒子质量都要大得

22、多。现在关于弱、电磁和强相互作用统一的“大统一理论”也认为，如果磁单极存在，则其中每一个磁单极的质量都将超过大统一质量，即约为质子质量倍。，这样磁单极就不可能是点粒子 ，应具有复杂的内部结构，比如由象洋葱皮层那样的力区组成。然而，按照标准大爆炸理论。宇宙间磁单极数量应与原子一样多，但至今未能从实验上得到肯定，这使得理论工作者多少有些尴尬。显然，肯定是什么地方出了错，庆幸的是，后来由麻省理工学院的谷斯( Guth )提出了宇宙暴涨理论，该理论自动解决了磁单极问题，因为巨大的膨胀有效地使磁单极密度稀释到零。尽管如此，从实验上证实磁单极是否存在仍具有非常重要的现实意义。在这方面，最有希望的要算美国斯

23、坦福大学的一个研究小组所报导的结果。该小组用了一个四绕组线圈，还用超导量子干涉 器件作为磁强计。当一个磁单极穿过绕组时，将引起一个8(为磁通量子)的磁通量。 图1卡布里拉的观测如图1(a)(b)所示，卡布里拉等人记录到一个事件，表明磁单极通过地球表面的上限为： ( S r 为球面度)。由于还没有其他探测到磁单级的报导。所以卡布里拉的实验结果还不能作为最后的定论。 4 含磁单极的麦克斯韦方程组 尽管实验还未肯定有磁单极存在,但在理论上，若假设存在磁单极。将得到形式上完全对称的麦克斯韦方程组，其中电场量、与磁场量、具有完全同等的地位。设磁荷密度为，因磁荷运动而形成的磁流密度矢量为。若将、与、分别对

24、应，则为了讨论方便将（39）式改写为下11： （43）考虑到 (40)应与 (38)对称，可将(40)修改为(9) (9) 对（43）两边取散度则，左边,右边，最后一个符号用到了(9) 式。可见（43）与(9)是不协调的，故需对（43）加以修正。为此，假定磁荷守恒，即存在连续性方程 (44)根据（41）式，若将（43）中的修改为,（43）可写成 或 (45)显然，（45）式两边再取散度后，左边=右边=0。对（39）和(41)两式不用修正。至此，含磁单极的麦克斯韦方程组如下： （38） (45) (9) (41)由以上方程组可见,产生电场的方式有三种：电荷、运动磁荷和变化的磁场；产生磁场的方式也

25、有三种：磁荷、运动电荷和变化电场。而且电荷产生纵向电场，磁流与变化磁场共同激发横向电场： 磁荷产生纵向磁场，电流与变化电场共同激发横向磁场。由此可见，（38）、（45）、(9)、(41) 已具有形式上严格的对称性。 4 结语 通过对麦克斯韦方程组的深入分析，了解到真空中的麦克斯韦方程组才具有完全对称的数学形式，而介质中的麦克斯韦方程组并不完全对称，造成这种现象的原因是由于电场中存在自由电荷，而磁场中不存在自由磁荷( 即不存在磁单极子)。本文试从假定磁荷(磁单极)存在出发，运用洛仑兹协变的变换，推导出一组对称的麦克斯韦方程。如果从实验上证实了磁单极存在，它将对物理学许多领域将产生重大影响。首先，

26、以麦克斯韦方程组为基础的电磁理论需要修改，进而电动力学和量子力学也要作适当修正。电荷量子化问题将从理论上得到更令人满意的解释。因此，任何证实磁单极存在与否的实验结果必将对物理学的发展与完善产生积极的推动作用。其次，它将给天体物理、宇宙学和高能物理提出许多新课题。最终使得麦克斯韦方程组有着更完美的对称性。 参考文献1 谢处方，饶克谨.电磁场与电磁波M.第3版，北京：高等教育出版社，1997，143-144.2 杨仲耆.大学物理学M.北京：人民教育出版社，1980，3603693 赵凯华，陈熙谋电磁学M.北京:高等教育出版社，1985，296 4 许良对称、守恒与最小作用：历史分析及哲学思考 J 自然辩证法研究，1994，1O( 3