最大公因数与最小公倍数的实际应用

1、最大公因数和最小公倍数基础知识与实际应用相关基础知识几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。最大公因数和最小公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36。这样，求两个数

2、的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。两个数a，b，如果a是b的倍数，那么最大公因数就是b，最小公倍数是a；如果ab互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是a*b；欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。 如果（a,b）来表示a和b的最大公因数。有定理： 已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。辗转相除法（欧几里得算法） 定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是

3、原来两个数的最大公因数。步骤：s1，用大数除以小数 s2，除数变成被除数，余数变成除数 s3，重复s1，直到余数为0 时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。例1：求 15750 与27216的最大公因数。解： 27216=157501+11466 （15750，27216）=（15750，11466）15750=114661+4284 （15750，11466）=(11466,4284)11466=42842+2898 (11466,4284)=（4284，2898）4284=28981+1386 （4284，2898）=（2898，1386）2898=13862+126 （2898，138

4、6）=（1386，126）1386=12611（1386，126）=126所以（15750，27216）=126例2.求（1397，2413）2413=1397*1+1016，1397=1016*1+381，1016=381*2+254，381=254*1+127，254=127*2+0，所以（1397，2413）=127。九章算术更相减损术找最大公因数九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公因数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是

5、，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。其中所说的“等数”，就是最大公因数。求“等数”的办法是“更相减损”法。例1、用更相减损术求98与63的最大公因数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公因数等于7。例2、用更相减损术求260和104的最大公因数。解：由于260和104均为偶数，首先用

6、2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：65-26=3939-26=1326-13=13所以，260与104的最大公因数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。短除法找最大公因数与最小公倍数短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质，最大公因数是1的两个数叫互质数，如8和9）。而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大

7、公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。（公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。）实际应用例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。即：（325、175、75）=25（厘米）因为32525=13； 17525=7 ； 7525=3所以1373=273（个）或（32517575）（252525）=273例：有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余

8、1。求这个两位数是多少？解：这个两位数除50余2，则用他除48（522）恰好整除。也就是说，这个两位数是48的因数。同理，这个两位数也是60、72的因数。所以，这个两位数只可能是48、60、72的公因数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公因数12，即（48、60、72）=12。练 习1.新年联欢会上，张老师把42个打气球和30个小气球平均分给几个小组，正好分完。最多可以分给几个小组？每个小组分的大、小气球各多少个？2.雨辰小学五年二班有54人，五年三班有63人，两班决定分小组去博物馆参观，两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？每个班可以分多少个小组？3.同学们买了24朵百合花

9、的18朵玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，想要扎成每束百合花、玫瑰花朵数相同，最多扎几束？每束几朵百合花，几朵玫瑰花？4.明明有一张长84厘米，宽60厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，边长最长是多少？可以剪几块？解答公因数或公倍数问题的关键是：从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数或公倍数问题。例：有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。（18、24、30）6 （18+24+3

10、0）612段例：一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。（36、60）12 （6012）（3612）15个例：用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的

11、个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。（1）最多可以做多少个花束？ （96、72）24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花？ 96244朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花？ 72243朵（4）每个花束里最少有几朵花？ 4+37朵练 习1、有一堆西瓜与一堆木瓜,分别为24个与36个,将其各分成若干小堆,各小堆的个数要相等,则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆 ？2、甲、乙两队学生,甲队有121人,乙队有143人,各分成若干组,各组人数要相等,则每组最多有几人 ？这时候甲队可分成多少组？ 乙队可分成多少组？ 3、今有梨320个

12、,糖果240个,饼干200个,将这些东西分成相同的礼品包送给儿童,但包数要最多,则每包有多少个梨？ 有多少个糖果？ 有多少个饼干？4、有一张长6公分,宽4公分的长方形色纸,将它剪成最大的正方形而不浪费纸,此正方形边长为几公分 ？ 例：公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。5、10、630练 习1、利用每一小块长6公分,宽

13、4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案.问:拼成的正方形的边长可能是多少？2、王伯伯有三个小孩,老大3天回家一次,老二4天回家一次,老三6天回家一次,这次10月1日一起回家,则下一次是几月几日一起回家？3、美美客运有a,b两种车,a车每45分发车一次,b车每1小时发车一次,两车同时由上午6点发车,下一次同时发车是什麼时候 ？例：某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样

14、多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？ 3、12、560（2）第一道工序应安排多少人？ 60320人（3）第二道工序应安排多少人？ 60125人（4）第三道工序应安排多少人？ 60512人例：有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？分析：每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒

15、，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2714个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个？12、18、15180 在300至400之间的180的倍数是多少？ 1802360 这批零件共有多少个？ 360-1359个例：有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？分析：根据题意可知，这批水果再增加2个

16、后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。24，28，32=6726722=670（个）即：这批水果共有670个。练 习1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油

17、，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？例题： 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？分析：由已知条件可知：这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。4、6、15的最小公倍数是60。6031=179颗，即这盒棋子共179颗。练 习1，有一批树苗，9棵一捆多7棵

18、，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至少有多少个？例：公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？分析：不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？ 45、60180（米）

19、 公路全长多少米？ 45（25-1）1080（米） 可以有几根不需要移动？ 1080180+17（根）例：从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析：从学校到少年宫的这段路长50（371）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800300=6，就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。练 习1，插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现

20、在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？例：甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？ 分析：从第一次三人在图书馆相会到下

21、一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。 练 习 1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？ 2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？ 3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童

22、节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？ 例：一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？ 分析：把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。 练 习 1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？ 2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是

23、多少立方厘米？ 3、一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？ 例：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？ 分析：甲跑一圈需要6003=200秒，乙跑一圈需要6004=150秒，丙跑一圈需要6002=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。 练 习 1、有一条长400米的环形跑道，甲

24、、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。 2、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？ 3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？例：有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？分析：根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数

25、整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。所以这个自然数最小是137。练 习1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？3、一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？例：在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析 因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三种颜色的标记分别把

26、木棍分成的小段长是6010=厘米，6012=5厘米，6015=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60301=1处，另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成（1012152）124=28段。练 习1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印？3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。如果绿

27、气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？3. 五（1）班学生参加跳绳比赛，进行分组。按每组6人或每组8人，都能恰好分成若干组，参加跳绳比赛的至少有多少人？解答：6，8=24 所以参加跳绳比赛的学生至少有24人。4. 把47根跳绳和36个毽子分别平均分给一个组的同学，结果跳绳剩2根，毽子剩1个，你知道这个组最多有几名同学吗？解答：（45，35）=5 所以这个组最多有5名同学。5. 一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯。现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏。为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的。不需要重新安装的路灯至少有多少盏？解答

28、：6，9=18 ； 0， 18、36、54、72 答：不需要重新安装的灯至少有5盏。6. 五（1）班学生数不超过50人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分为每组3人，每组4人，每组6人，每组8人，各种分法都刚好分完。这个班可能有学生（ 24）人或（ 48 ）人。解答：3，4，6，8=24 所以这个班可能有学生24或48人。练 习1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是

29、多少厘米？（长和宽都是素数）答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。答：它们的最小公倍数是35。4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是24和40。5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。答：另一个数是42。6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？答：至少需要221块水泥板。7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，

30、每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。答：这两个数是42和6或18和30。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？答：这些碗最少有60个。10、有a、b两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则a、b两个自然数的和是多少？答：a、b两个自然数的和是48。例：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 分析：根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两

31、个数的乘积，再把这个积分解成两个数，且这两个数一定是最大公因数的倍数，这两个数除以最大公因数得到的商互素。根据题意： 当a1b1分别是1和6时，a、b分别为151=15，156=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为152=30，153=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。 练 习 1、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 2、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？ 3、两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？ 例：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

32、分析：我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360120=3。又因为（甲3=a，乙3=b）中，3ab=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是31=3和340=120；当a和b是5和8时，所求的数是35=15和38=24。 练 习 1、求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。 2、已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。 3、已知两个数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。例：两个数的最

33、大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？分析：根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。425228=100828=361、某农场周围360公尺，原本每隔10公尺立一根木桩，后来改为12公尺立一根木桩，则不必移动的木桩有几根?2.三项国小有男生540人，女生612人，校方规定每辆游览车所坐的人要一样多，且车辆尽量减少，则共需要多少辆游览车?3.一篮芒果，6颗一数剩下4颗，10颗一数剩下8颗，15颗一数剩下13颗，这篮芒果最少有多少颗?4.一长方形池塘长95公尺，宽85公尺，甲乙丙三人同时同地同方

34、向沿着池塘边竞走，每分钟甲走45公尺、乙走60公尺、丙走40公尺，经过几分钟后三人又在起点相遇?5.大明和珍珍在7月15日两人同一天放假，已知大明每工作5天放假1天，珍珍每工作7天放假1天，下次两人同一天放假是几月几日?(提示:每工作7天放假一天表示每6天放假一天)6.在下列两行数中同时出现的第15个数是多少?第一列:1、7、13、19、997第二列:1、10、19、28、1000 7.一队童子军人数在400500人之间，每16人、20人或30人一组，都多出15人，问这队童子军有几人?8.清静农场里有4百多只羊，14只一数或20只一数都刚好剩5只，清静农场里有几只羊?9.一盒巧克力约有7008

35、00粒，每18粒、24粒或30粒装1袋都不足7粒，求这盒巧克力有几粒?10.90除以某数余2，50除以某数也是余2，请问某数最大是多少?11.1020中与30互质的数，总和是多少?答 案1. 10，12最小公倍数60360606不必移动的木桩有6根2. (540，612)最大公因数365403615； 6123617每辆游览车坐36人，男生的专车有15辆，女生的专车有17辆3. 6颗一数剩下4 颗，用6除剩下4颗，即用6除不足2颗10颗一数剩下8颗，用10除剩下8颗，即用10除不足2颗15颗一数剩下13颗，用15除剩下13颗，即用15除不足2颗6，10，15最大公倍数30一篮芒果的数量是30的

36、倍数减2，所以最小有301228颗4. 长方形池塘长95公尺，宽85公尺，周长2(9585)360公尺甲走一圈要360458分钟乙走一圈要360606分钟丙走一圈要360409分钟8，6，972要72分钟后三人再起点相遇5. 5，7的最小公倍数357月15日35日8月19日6. 第一列：1、7、13、19、997，后数和前数差6第二列：1、10、19、28、1000，后数和前数差96，9的最小公倍数18 更多：同时出现的第1个数是1，第二个数是19，第三个数是37，第15个数是118142537. 每16人、20人或30人一组，16，20，30的最小公倍数240童子军人数240的倍数再加155

37、002402.08240215495童子军有495人8. 14，20最小公倍数140羊的数量140的倍数再加54001402.86； 14035425清静农场里有425只羊9. 18，24，30最小公倍数360巧克力的数量360的倍数再减78003602.22； 36027713巧克力有713粒10. 90288； 5024888，48最小公倍数8某数是811. 1020 中与30互质的数有11、13、17、191113171960练习1. 有饼干30块，橙36个，分給若干个儿童，每人所得的相等，最多可分給兒童多少人？ a 6 b 5 c 8 d 180 2. 上米50公斤，中米60公斤，下米

38、90公斤，分別裝成重量相等的若干袋，各種米恰好裝完，每袋的重量最多是多少公斤？ a 20 b 10 c 30 d 1803. 用某数去除218，170，290都余2，問某數最大是多少？ a 26 b 28 c 24 d 224.一個長方形銅片長18厘米，闊24厘米，要剪成為面積相等的小正方形，每個正方形的面積是多少平方厘米？ a 6 b 36 c 144 d 4325.客厅長600厘米，宽690厘米，如果鋪上正方形瓷砖，每块瓷砖的邊長最大是多少厘米？ a 100 b 120 c 60 d 306.把一個長24厘米，闊36厘米，高16厘米的長方體，分割成大小相同的小正方體，問共可分割成多少個？

39、a 216 b 108 c 432 d 864最大公因数与最小公倍数应用题1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？解：【8，10】=402、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？ 解：【8，10】=40（人）3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？解：【2，3，4，6】=12 12-1=114、五年级学生参加植树活动，人数在3050之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？解：【3，4，6，8】=24（人） 242=48（人）5、

40、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？解：【6，4】=12（公分） 1212=144（cm2)6、有一堆苹果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？解：【8，9，10】=360 360+3=363kg7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？解：【7，8】=56（人） 56-2=54（人）8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？解：37-1=36（本） 38+2=

41、40（本） （36，40）=4（人）9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？解：（24，32）=8（盘）248=3（个） 328=4（个）10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？ 解：【3，5】=15（分钟）11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？解：【6，8，9】=72（人）12、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4

42、个，问个盘子里最少有多少个水果？解：【3，4，5】=60 60-1=5913、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？解：【9，60】=180（分钟）8060=3（小时）=下午3点14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？ 解：（24，20）=4（组） 244=8（个） 204=5（个）15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？ 解：3

43、8-3=35（本） 41+1=42（本） （35，42）=7（人）16、两个整数的最小公倍数为140，最大公因数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。 解：1404=35 35=5745=20 47=3517、已知a与b的最大公因数为6，最小公倍数为84，且a=42，求b？解：ab=684=504 b=aba=50442=1218、两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180，且这两个数不是倍数，求这两个数？ 解：18012=15 15=35 123=36 125=6019、有一个数是4、 5、 6的倍数，这个数最小是多少？解：【4，5，6】=6020、甲、乙、丙三人早晨在体育场跑步，甲跑完一

44、圈要3分钟，乙跑完一圈要7分钟，丙跑完一圈要6分钟，三人同时从起点出发，经过多长时间三人再次在起点处相遇？解：【3，6，7】=42（分钟）21、美美客运有a、b两种车，a车每45分发车一次，b车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？解：【45,60】=180（分钟）=2小时=30分钟 6点+2小时30分钟=8点3022、上一次9月18号五年级一班去划船，他们算一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？解：【6，9】=18（人）182=36(人）23、有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形

45、，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？解：(1)（24，15)=3cm(2)243=8cm 153=5 8x5=40（块）24、一张长方形纸，长96厘米 ，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？解：(1)（96，60）=12cm (2) 1212=144cm2 (3) 9612=8cm 6012=5cm 85=40cm 25、甲乙两数公因数为15，720为公倍数为，当这两个数为何值时，它们的差最小。 解：72015=48 48=22341523=90 1

46、525=15026、已知a和b的最大公因数是31，且ab=5766,求a和b。解：最小公倍数：576631=186 18631=6（两种答案）27、五（1）班和五（2）班两个班的同学去野炊，吃饭时，他们3人一个菜碗，4人一个汤碗，他们共用了28个碗，这两个班参加野炊的同学共有多少人？解：【3，4】=12 123=4 124=34+3=7 287=4124=4828、一盒铅笔，可以平均分给4,5,6个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？解：【4，5，6】=6029、王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则上一次是几月几日一起回家？解

47、：【3，4，6】=12 30-12=1830、有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？解：【6，8，10】=120（块）31、某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？解：【6，10，12】=60（分钟）8点+1小时=9点32、王师傅找到一块长72厘米，宽60厘米，高48厘米的长方体木料，王师傅把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余，算一算，可以锯成多少块？解：（72，60，48）=12cm 7212=

48、6cm 6012=5cm 4812=4cm 654=120（块）33、一个班90-100人，上体育课站队时，无论每行站16人，还是每行站24人，都正好是整行，这个班有多少人？解：【16，24】=48（人） 482=96（人）34、用一个数去除52,余4,再用这个数去除40,也余4,这个数最大是多少？解：52-4=48 40-4=36 （48，36）=1235、把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软面抄也多出了3个，得奖的学生最多有几人？解：19-3=16 23-3=20 （16，20）=4（人）36、一次聚餐提供三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2个人

49、饮用一瓶a饮料，每3人用一瓶b饮料，每4人饮用一瓶c饮料，请问参加聚餐的有多少人？解：【2，3，4】=12（人） 122=6（瓶） 123=4（瓶） 124=3(瓶） 6+4+3=13（瓶） 6513=5 125=60（人）37、张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？解：【4,6】=12（天）38、一个自然数，去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几？解：22+2=24 34+2=36 (24,36)=1239、一个数除73余1,除98余2,除147余3,这个数最大应是多少？解：73-1=72 98-2=96 147-3=144 (72,96,144)=2440、有一批作业本，无论是平均分给10个人，还是12个人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？解：【10，12】=60 60+4=64（个）41、有一箱卡通书，把它平均分给6个小朋友，多出1本；平均分给8个小朋友，也多出1本；平均分给9个小朋友，还是多1本，这箱卡通书最少有多少本？解：【6，8，9】=72 72+1=73（本）42、