一次函数之平行四边形存在性问题9页

1、一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为 （）例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB的中点P的坐标是_. 2.线段的平移平面内，线段AB平移得到线段AB ，则ABAB ，AB=AB ；AABB，AA= BB. 如图，线段AB平移得到线段AB ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B (3，1)，则点A的坐标是_. 例：如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第

2、4个顶点的坐标？ 例：如图，已知ABCD中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D的坐标是_. 方法一：利用线段平移总结：x1-x2= x4-x3，y1-y2= y4-y3 或者 x4-x1= x3-x2，y4-y1= y3-y2 等方法二：利用中点公式总结：x1+x3= x2+x4，y1+y3= y2+y4 类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A 、B 、 C、 D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中

3、四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果_【例1】一次函数yx+3与yx+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C（1）试求ABC的面积；（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）过ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分ABC的面积？若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由【解答】解：（1）将点A（m，0）代入yx+3中，得m+30，解得m3，即点A（3，0），将点A（3，0）代入yx+q中，得q3，点B（0，3）、C（0，3），故S=12BCAO9；（2）满足条件的D点坐标为D（3，6）、D（3

4、，6）、D（3，0）；（3）若过点A，则得直线l：y0；若过点C，则得直线l：y3x3；若过点B，则得直线l：y3x+3例2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数yx+m（m0）的图象，直线PB是一次函数y3x+n（nm）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是112，且CQ：AO1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明

5、理由【解答】解：（1）在直线yx+m中，令y0，得xm点A（m，0）在直线y3x+n中，令y0，得x=n3点B（n3，0）由y=x+my=-3x+n，得x=n-m4y=n+3m4，点P（n-m4，n+3m4）在直线yx+m中，令x0，得ym，|m|m|，即有AOQO又AOQ90，AOQ是等腰直角三角形，PAB45（2）CQ：AO1：2，（nm）：m1：2，整理得3m2n，n=32m，n+3m4=32m+3m4=98m，而S四边形PQOBSPABSAOQ=12（n3+m）（98m）-12mm=1132m2=112，解得m4，m0，m4，n=32m6，P（12，92）PA的函数表达式为yx+4，P

6、B的函数表达式为y3x+6（3）存在过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3PD1AB且BD1AP，PABD1是平行四边形此时PD1AB，易得D1(132，92)；PD2AB且AD2BP，PBAD2是平行四边形此时PD2AB，易得D2(-112，92)；BD3AP且AD3BP，此时BPAD3是平行四边形BD3AP且B（2，0），yBD3x2同理可得yAD33x12y=x-2y=-3x-12，得x=-52y=-92，D3(-52，-92)3如图，在等边ABC中，BC8cm，射线AGBC，点E从

7、点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF；（2）填空：当t为 s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；当t为 s时，四边形ACFE是菱形【解答】（1）证明：AGBC，EADDCF，AEDDFC，D为AC的中点，ADCD，在ADE和CDF中，EAD=DCFAED=DFCAD=CD，ADECDF（AAS）；（2）解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AEtcm，BF2tcm，则CFBCBF62t（cm），AGBC，当AECF时，四边形AECF是平行四边形，

8、即t82t，解得：t=83；当点F在C的右侧时，根据题意得：AEtcm，BF2tcm，则CFBFBC2t8（cm），AGBC，当AECF时，四边形AEFC是平行四边形，即t2t8，解得：t8；综上可得：当t=83或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形若四边形ACFE是菱形，则有CFACAE8，则此时的时间t818（s）；故答案是：83或8；84已知，RtOAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（2，0），（0，4），将OAB绕O点顺时针旋转90得OCD，连接AC、BD交于点E（1）求证：ABEDCE（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，

9、M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值【分析】（1）由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得AEB90，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得ABCD，可证得ABEDCE；（2）由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CMAN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标；（3）由AEDE可知A、D关于EF对称，连接CD交EF于

10、点P，则P点即为满足条件的点，由C、D坐标可求得直线CD的解析式，则可求得P点坐标，利用勾股定理可分别求得AC和CD的长，则可求得此时PAC的周长【解答】解：（1）A（2，0），B（0，4），OA2，OB4，将OAB绕O点顺时针旋转90得OCD，OCOA2，ODOB4，ABCD，ACOECBCBE45，CEB90，AEBCED，且CEBE，在RtABE和RtDCE中AB=CDBE=CE RtABERtDCE（HL）；（2）由（1）可知D（4，0），且B（0，4），直线BD解析式为yx+4，当M点在x轴上方时，则有CMAN，即CMx轴，M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，M点的纵坐标为2，在yx+4中，令y2可得x2，M（2，2）；当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为2，在yx+4中，令y2可求得x6，M点的坐标为（6，2）；综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，2）；（3）由（1）可知AEDE，A、D关于直线EF对称，连接CD交EF于点P，则PAPD，PA+PCPD+PCCD，满足PAC的周长最小，C（0，2），D（4，0），可设直线CD解析式为ykx+2，4k+20，解得k