矩阵复习总结

1、1矩阵知识点复习矩阵知识点复习 21. 矩阵的定义矩阵的定义 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记作记作简记为简记为 nmijaA nmA 或或), 2 , 1;, 2 , 1( njmianmij 个个数数由由列列的的数数表表，行行排排成成的的nm.矩矩阵阵简简称称nm 实矩阵实矩阵: 元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵： 元素是复数元素是复数3一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等: :同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数

2、相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足 .1ABBA 交换律：交换律： . 2CBACBA 结结合合律律： .4OAA .,03是是同同型型矩矩阵阵与与其其中中OAAA 4数乘满足数乘满足);()(AA ;)(AAA .)(BABA 数与矩阵相乘：数与矩阵相乘： 数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为 AA A ()ijAAa矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：()(),ijijm ss nABab

3、设设规定规定(),ijm nABCc 其中其中11221(1,2,;1,2,)sijijijissjikkjkca ba ba ba bim jn 5乘法满足乘法满足);()(BCACAB );(),()()(为为数数其其中中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律6 A是是n 阶方阵，阶方阵， 个个kkAAAA 方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m

4、,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 37转置矩阵转置矩阵: :3一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . AAA满足：满足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵8伴随矩阵：伴随矩阵： 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如

5、下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA 93. 逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE 则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，10111

6、111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法）伴随矩阵法（2）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵115. 5. 初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换初等变换 逆变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrji

7、ji )()(ckcrkrjiji 12矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作AB三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6. 初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1( , )( , )E i

8、jE i j 11( ( )( ( )E i kE ik 1( ( )( ()E ij kE ijk 137. 初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 定理：定理：14.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施

9、施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵即，即， 1, AEEA，初初等等行行变变换换 1AEEA初初等等列列变变换换8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵15注意注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换时，必须始

10、终用列变换，其间不能作任何行变换169 矩阵方程矩阵方程例例: 解矩阵方程解矩阵方程,AXB XAB AXBC 其中其中 均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。,A B注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 17在一个在一个mn矩阵矩阵A中，中，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的2k个元素按原来个元素按原来的次序组成一个的次序组成一个k 阶行列式，称为阶行列式，称为A的一个的一个 k 阶阶定义定义1.任取任取k行行k列，列，10 矩阵的秩矩阵的秩km n min( , )子式，这里子式，这里矩阵矩阵A中不等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数称为矩阵称为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A)定义定义2.18(1) 秩为秩为r 的矩阵可能有等于零的的矩阵可能有等于零的r，r-1 阶子式阶子式。(2)()( )TR AR A注意：注意：初等变换求矩阵