教育教学论文 基于可视化的小学数学分数概念学习模型设计探究

1、基于可视化的小学数学分数概念学习模型设计探究摘要：分数是小学数学中的一个重要内容，是数概念的一个重要扩充。而分数的概念在不同的情境下有不同的意义，这就使得在分数概念发展的过程中，学生容易形成许多错误概念。本文在总结出四种典型错误类型的基础上有针对性探讨可视化的学习模型的设计方法和策略，为解决现有问题提供一种途径和方法。 关键词：分数概念，可视化，模型设计全日制义务教育数学课程标准指出：在第一学段（1-3年级）经历从日常生活中抽象出分数的过程；能结合具体情境初步认识分数，能读、写分数；会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算。在第二学段（4-6年级）体验从具体情境中抽象出分数的过程；理解分数的

2、意义；会比较分数的大小；会解决有关分数的简单实际问题1。从课标中可以看出，在小学阶段的数学学习一直都有与分数相关的要求，并且在认识分数、理解分数意义、比较分数的大小、解决实际问题都有相应的知识技能目标。可见，分数知识是数学教学中的一个重要方面，也是小学数学课程的重点内容之一。小学生对分数概念的理解需要一个较长的过程同时分数概念的理解也是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并因此在小学中出现了两级分化。有国外学者也认为，分数是学生在小学学习过程中遇到的最为复杂的概念之一，分数学习是学生数学学习过程中遇到的最为严重的障碍。一、分数概念的形成是数学思维发展的关键在小学阶段，分数概念的引入

3、是对小学生数概念发展结构的一次重要扩充，同时也是数学思维发展的一个关键阶段。在学习分数之前，儿童已具备了完整的自然数列的概念，使他们的数概念的结构向大的方向扩展到了无穷大。而分数概念的引入使儿童数概念的结构渐渐开始向小的方向发展，并逐渐扩展到了无穷小2。也就是说分数概念的获得，使儿童对数的理解有了一个突破性的进展。也就意味着是数学思维发展的一个关键阶段。所以要充分理解分数的概念就需要从现实情境、实物操作、口头语言、图像、文字符号等多个方面理解。在arnc中，lesh3 把理解分数概念描述成，小学生使用多种方式去表征相同分数概念的能力，也就是所说的表征转换能力。所谓表征转换，就是用多种外在表征方

4、式表示同一含义的分数4。例如，小学生可以使用多种表示方式如不同图形的阴影图、数学符号和分割操作等去表示分数2/3，所以分数概念的获得也是数学思维的深刻性、灵活性以及复杂性的关键。二、典型错误类型及可视化学习模型资源分数概念的学习和掌握是小学阶段最难的学习任务之一，它被认为是小学阶段中最抽象、最复杂也是最容易出现问题的概念。在学习分数时小学生很容易出现如下典型错误：等分概念不清楚，不能正确理解“单位1”，不理解等值分数以及容易受整数运算法则的影响等。kong和 kwok (2003) 的“图形分割模型”的网络学习环境促进了学生分数知识的建构。ramani 和siegler(2008) 的研究表明

5、， 玩一种“线性数字板”游戏对低收入家庭孩子整数方面数字知识的提高有作用。psycharis，latsi& kynigos(2007)则开发了一种数字线软件，通过该软件教授儿童分数知识，建立他们的分数测量概念。pearn &stephens(2007) 等人的系列研究表明通过训练学生在数字线上标定分数，能够修正儿童在前测时拥有的错误分数概念，如通过分母大小排列分数等。moss和case(1999)5也认为学生理解分数的困难可能与教学时过多地注重规则而忽略了意义造成的，所以在分数的教学中可适当给学生提供多种表征模型，信息技术可以为多种表征模型提供很好的平台。庄慧娟、李克东通过开展教学试验，使用m

6、p_lab平台支持小学数学概念类知识建构，研究表明：mp_lab支持小学数学概念类知识建构的方法可以有效地支持学生从生活经验中发现和概括出事物的本质特征，顺利地进行形象思维到抽象思维的过渡，减轻了学生对抽象数学概念的认知负荷6。倪玉菁的研究结果显示，学生理解和掌握分数概念需要经过不同的认知过程。而信息技术可以支持不同“循环反复”的认知过程。由上可知，可视化的学习资源可以有效的支持学生对分数概念的学习，可以改变学生的学习方式，并能支持学生的不同认识方式和过程。所以有必要利用或开发相关的学习资源，以支持分数概念意义的多元表征形式，减轻学生的认知负荷，使学生形成有关理解分数概念的一个完整框架体系。三

7、、可视化分数概念学习模型的设计儿童的分数概念是随着其年龄的增长和知识的逐步掌握而产生和发展的。这就是说，儿童对分数概念的掌握有一个发生和发展的过程。儿童对分数概念的掌握又呈现出不同的层次。在不同的层次中包括感知、表象、概念这三种认知成份。一方面各自在不同的认知过程中起着主导作用。因此，儿童对来自客体的输入信息的加工过程是不同的；另一方面，各种认知成份本身又各自发生变化，经历着不同的低级到高级的发展过程。设计可视化的分数概念学习模型的目的是要修正学生在理解分数概念时存在不足和错误，所以就会存在学生原有的概念发生变化的过程，vosniadou（1994）认为概念的变化存在两种可能：一种是“丰富”，

8、即新概念是对原有概念的补充完善，并通过经验的积累形成新的完整的概念，这种情况新概念与原有概念在本质上是基本一致的，只是在表述和表现形式上有所不同。另一种可称为“修订”，即新获得的概念与原有的信念或有关的理解上存在冲突，所以要对冲突的理解做出调整和改变。一般来说前者的概念变化通过变式的练习较容易实现，后者则会遇到较大的阻力7。可视化的分数概念学习模型的设计宗旨就是围绕这两个方面来展开的。（一）等分概念等分是指将一个连续量（如一条绳子）或离散量（如6枝铅笔）细分成几个部分，每一个部分都要一样大或一样多8。等分也就是“平均分”，在分数的“份数”定义中可以看出，“平均分”是引出分数概念的关键，所以在进

9、行分数的初步认识教学时，教师一般会给学生创造一个分蛋糕、分苹果或者是分大饼的情境来引入“平均分”，并以相对应的直观图来展示平均分的过程，特别强调部分和整体之间的包含关系，这样很容易让学生产生思维定势，认为只有一个封闭完整的图形才可以平均分，所有的分数都是小于1的，再加上练习题的强化，小学生的思维被僵化，脑海里总是“一张大饼或一个苹果被分成几份，其中的一份或几份”飞来飞去，来回打转，即使对等分概念有新的理解也会被这种定势思维所干扰造成思维混乱9。我们知道概念的抽象不是一次性就可以完成的，分数概念的建立也需要多次、多样化反复的抽象。在皮亚杰的研究中“4-4.5岁的儿童能把小的正规的图形分成两半；6

10、-7岁的儿童能把小的正规的图形分成三份；7-9岁的儿童能把小的正规图形通过试误分成六份。”也就是说对于初步接触分数的学生来说通过面积模型可以强化对分数的认识。通过操作性活动如填图、划分线段等等让学生不断的均分，在不同情况下抽象出共同的属性，这就是概念的“二次抽象”。等分概念除了“连续量模型”之外还有“离散量模型”，也就是说把多个物体看作一个整体进行均分，学生此类的经验不多，那么就可以借助多媒体来实现，例如一堆水果、一盒铅笔、一盒糖果的平均分。所以为了不使学生形成思维定势又有利于分数概念的强化和抽象，将等分概念划分为三种模型进行可视化的变式练习，第一，面积模式：长方形、正方形、圆形、六边形，如图

11、1所示；第二，离散量模式：分数的内容为单一或多个，如图2所示；第三：分数数线模式，如图3所示。图1 面积模式图2 离散模式图3 分数数线模式（二）理解单位“1”苏教版小学数学教材中提出，把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。从教材中的定义可以得知单位“1”是可以分的事物，首先要告知学生它可以表示一个物体或者是一个计量单位，也可以表示由一些物体组成的整体，例如一块田、一杯饮料、一盒糖果、一所学校等。其次是让学生明确用分数表示的部分与单位“1”的关系，例如，把五颗糖看做单位“1”，一颗糖就是单位“1”的1/5；把8个班级看做单位“1”，它的

12、1/4就是两个班级；最后就是怎样确定单位“1”，要确定单位“1”就要看谁与谁比，要把被比的数量看作单位“1”10。分数单位的意义是把单位“1”平均分成若干份，其中的一份叫做这个分数的分数单位。在进行设计时，要从单位“1”的意义帮助学生理解分数单位的实际大小是不固定的。要以图形的方式进行表示分数单位的大小是由单位“1”的大小决定的，以操作的形式让学生明白分数单位是随着“平均分成的份数”的变化而变化的，也就是根据分母的变化而变化的。以图形对比的方式向学生展示：相同的分数单位只有在都取相同的数量作单位“1”的前提下才是相等的。图形表示的方式如图4所示。图4 单位“1”（三） 等值分数等值分数是表示具

13、有相等值的分数，例如1/2=2/4。分数的等值有两重涵义: 一是表示两个量相等，比如一个饼的1/2和它的2/4一样多；二是表示两个量之间具有确定的比较关系，比如一份橙汁和两份水混合与两份橙汁和四份水混合后产生同样的味道11。等值分数有三种题型：符号题、图表题和文字题。对于符号题，儿童只要记住相应的运算法则就可以解决相应的问题。而图表题和文字题则需要根据情境确定四个量之间的关系，从而建立恰当的等值分数式。在设计可视化模型帮助学生理解等值分数时可采用的是符号式和图表式的方式，一方面是因为易于表达和实现，另一方面是符号式和图表式是表现守恒的一种重要形式。等值分数概念获得的必要前提是守恒概念的获得。守

14、恒是指物体某方面的特征不因其他方面特征的变化而变化12。根据性质的不同，可以将守恒分为两类：量的守恒和关系的守恒。前者是指在变化前后物体的量不变，包括整体守恒、面积守恒等。后者是指在变化前后事物间的比例关系不变。根据皮亚杰的四个认知发展阶段可以得知守恒观念的发展具有不平衡性，量的守恒在具体运算阶段可以获得，比例守恒则是在抽象运算阶段才能达到的。量的守恒包括不同难度的等值分数问题13。同构的图形任务较为简单，表现形式可以是整体或面积的形式。非同构的图形任务较难，例如图5和图6所示，两个是完全不同的图形，等分的形式也完全不同，图5是一个圆形被分割成两份，每一份都可以用原有面积的1/2来表示，同样道

15、理，图6的每一份也可以用原有面积的1/2来表示。两个图形都能抽象出相等的分数，具有守恒概念的儿童就会脱离表示的实际面积的大小而抽象出都可以用分数1/2表示等值关系，反复使用类似的表征模型就会使儿童慢慢的脱离具体的事物而抽象出分数的本质含义：比的关系。 图5 等值分数（1） 图6 等值分数（2）（四） 整数偏向整数偏向是人们在表征分数时经常出现的一种现象，有研究者将它定义为， 学生在进行分数知识应用时，通常会在无意识的情况下使用整数运算规则进行分数运算。例如，进行比较分数的大小时，学生常常错误地认为分母大的分数比较大，这一现象就是整数偏向的表现。有的学者将其称之为整数思考策略，即在表征分数和进行

16、分数比较、运算时采用整数系统的策略14。儿童进行分数比较、排序以及分数运算时常常会出现整数偏向的现象。出现整数偏向的原因主要是由于儿童先前学习的整数知识负迁移的结果。由于新旧知识之间的联系是影响新知识获得的一个重要因素，也就是说整数和分数的关键特征的差异是导致儿童产生整数偏向的一个重要原因。分数的引入是对有理数系统的一次重要扩充，整数是将数扩大到无穷，而分数可以将有理数扩充到无穷小，因此整数的许多规则不能迁移到分数，尽管分数的分子分母都是由整数组成的。例如，简单分数的值是随着分母的增大而减小的，这一点对于受整数规则影响的儿童来说理解起来是十分困难的，因为他们认为只有数出来才是数字。stafyl

17、idou 和 vosniadou(2004) 对小学生理解分数值的发展趋势进行了研究，他们认为小学生对分数表征可以划分为三个层次：第一是，分数被小学生表征为相互独立的两个自然数；第二是，分数被小学生表征为“份数关系”即部分/整体关系；第三个层次是，分数被儿童表征成两个数的比例关系。一般来说学生比较容易受到整数偏向的影响的大多处于层次一和层次二15。例如在比较两个分数的大小时，学生容易只关注分母或分子，而不是将分数看作一个整体，只有处于层次三的儿童理解了分数的本质含义才能避免错误的整数偏向现象的出现16。研究表明，在学生学习和应用分数时不过度强调部分/整体模型，要增加测量概念的分量，增加对数字线

18、模式和使用测量工具认识分数的经验，给学生提供多表征的知识模型17。整数偏向大多是教师在教学时使用区域模型、离散物体模型这些偏向整数概念的模型引起的，所以在进行概念修正时，可以采用数字线模型的方法帮助学生理解分数的测量概念，以削弱整数偏向的影响。整数偏向有两种可能：一种是不采用已经获得或理解的概念和规则；另一种则是对某种概念或规则不理解，于是采取其他有相似性的策略。那么整数偏向是不是也会出现这两种情况呢？针对第一种情况即学生已经获得了正确的分数概念，仍然会采用整数策略去解决分数问题的现象，就需要通过软件给予变式练习以多次强化分数在数字概念的使用，削弱其他策略的影响。对于第二种情况则需要通过让学生

19、操作线性模型18，训练学生在数字线上标定分数，如图7所示，以修正学生拥有的错误分数概念。图7 数字线模式四、结语随着教育信息化的不断发展和推进，以及智能移动设备逐步普遍化，学习资源无论是在教学中还是在学生课后学习中将会发挥着越来越重要的作用。移动化、可视化、碎片化的学习在学习中同样发挥着不可忽视的作用。本文是在理论的基础上提出了可视化的分数概念学习模型的设计方案，为学习资源的开发提供了一种参考。参考文献：1 中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准:实验稿s.北京:北京师范大学出版社, 2001.2 郑毓信. 分数的教学与数学思维j. 小学数学(数学版), 2010,(05).3 l

20、esh r，landau m，hamilton econceptual modelsand applied mathematical problemsolving researchinr lesh，m landau（eds），acquisition of mathemat-ics conceptsprocessesnew york：academic press，1983:263343.4 乌云赛音, 陈石磊, 孙宏伟. 儿童分数概念的形成和发展阶段及认知结构研究j. 内蒙古师范大学学报(哲学社会科学版), 1989,(03).9 刘春晖,辛自强. 分数认知的”整数偏向”研究:理论与方法j. 心理科学进展, 2010,(01).5 moss j, case r. developing childrens understanding of the rational numbers: a new model and experimental curriculum j. journal for resea