函数奇偶性的六类经典题型.doc

1、优质参考文档优质参考文档奇偶性类型一：判断奇偶性 例1判断以下函数奇偶性1 1 y 二H丁 一 1(； H 且.；- 1)y 二 lgO+Ji+H) y = Ji _ 丿 +_1 + sin x- cosxy =1 + sin x + cosxz X+ 2 2.丄:且-1, 1 卅 1 -八 1-11-121-卅2/-I2-1.1.1 I护12 aff-l 2奇函数(2) L :，关于原点对称-町二麻)= lg( +Jl+X 戸=一了(亦奇函数(3) ：厂 L ,关于原点对称(4) 考虑特殊情况验证：71真X = 1 X-_ y -;-无意义；.非奇非偶(5) 且.，关于原点对称一巧二-j.(

2、一J一+2)二 _乳(十丄) J :为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(R)在R上为奇函数，且 R0时，f(R)=x+ 1,那么当R0 时，f(R) = .x+ 1,当 R0,f(R) = -f(- R) = - ( - x+ 1),即 R 0/ (x) = 0x= 0x 血 x + 1 I 0x 0类型三：根据奇偶性求参数1假设函数f(R)=RIn ( R+. a x2 )为偶函数，贝U a=【解题指南】f(R)=Rin ( R+ a x2 )为偶函数，即 y二In(x . a - x2)是奇函数，利用f ( -x) f (x) =0 确定 a 的值【解析】由题知y =1 n(x

3、.a x2)是奇函数，所以 In(x、ax2)In(-x、ax2)=in(a x2- x2)= In a = 0，解得 a =1.答案：1.2. 函数f(R) =(x + 1 3x+ a为奇函数，贝y a =X解析：由题意知，g(R) = (R+ 1)(R+ a)为偶函数， a= 1.答案：13. f(R) = 3aR2+ bR 5a+ b是偶函数，且其定义域为 6a 1, a，贝U a + b =()1A_B17C. 1D . 7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a 1 + a= 0,所以a=；又f(R)为偶函数，所以 3a( R)2 bR 5a+ b= 3aR2 + bR

4、5a+ b，解得 b= 0,所以 a+ b =；24. 假设函数f(R) = x |R+ a|为偶函数，那么实数 a=.(特殊值法)解析：由题意知，函数f(R)= x2 |R+ a|为偶函数，贝U f(1) = f( 1),1 |1 + a|= 1 | 1 + a|, a= 0.答案：0x2 + x,x0.(待定系数法)解析：当R0时，一R 时，f(R) = R2+ 2R,假设f(2 a2) f(a),那么实数a的取值范围是()A .(汽一1) U (2 ,+s )B . ( 1,2)C. ( 2,1)D .(汽一2) U (1 ,+ )解析：选C vf(R)是奇函数，当Rv 时，f(R)=

5、R2 + 2R.作出函数f(R)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(R)是R上的增2 2函数，由 f(2 a )f(a)，得 2 a a,解得一2v av 1.2. 定义在R上的奇函数 R= f(R)在(,+s )上递增，且= ,那么满足f(R)的R的集合为.解析：由奇函数R= f(R)在(, +)上递增，且 f 1 = ,得函数 R= f(R)在( OO , )上递增，且f 2 = ,1 1f(R) 时，r2或2R的R的集合为1 亠 1x 2x2 L答案：* !x或X1孑3. 函数 g(R)是 R 上的奇函数，且当R,A . ( o, 1) U (2,+o )C. (1,2)解析：选D

6、 设R,那么R.Rf(R),那么实数R的取值范围是(g( R) = -ln(1 + R).又vg(R)是奇函数,g(R)= ln(1 + R)(R0),x3, xW 0,f(R)=In(1 + x)其图象如下列图由图象知，函数f(R)在R上是增函数.x0.2 2f(2 R )f(R)，.2 R R，即一2R1.所以实数R的取值范围是(一2,1).4定义在R上的奇函数f(R)，当R (0，+时，f(R) = logzR，那么不等式f(R)v 1的解隹阜集是.lx 0xZ 或 x0, f(R)= 0, x= 0,log 2( x), x0, f(R)v 1 =|log2x 1x0,或Iog2( x

7、) 0,x= 0,或t00,那么一Rv 0) 1 、=0 v Rv 2或 Rv 2.时，f(R) = R2+ 3R+ 2.假设当 R 1，3时，nW f(R) 且 nW 2. 故 m n?4.6.f(R)是定义在2,2上的奇函数，且当 R (0,2时，f(R)= 2R 1，又函数 g(R)= R2 2R+ m.如果对于任意的 只汪2,2，都存在 只? 2,2，使得g(R0 = f(R) 那么实数m的取值范围是解析 由题意知，当 R 2,2时，f(R)的值域为3,3.因为对任意的Ri 2,2，都存在R2 2,2，使得g(R2)= f(R，所以此时g(R2)的值域要包含3,3 又因为g(R)maR

8、= g(2), g(R)min = g(1)，所以 g(1)w 3 且 g( 2) 3，解得-5w mW 2.类型五：奇偶性+周期性1. f(R)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(R+ 2) = f(R),当 R (0,1)时,f(R)= 2R- 2，那么 f( log, 6)2 的值等于()4711A 3B -尹22解析：f( log 1 6)2=f( log , 6) = f(log 26)2=f(log26 2)=(2log26 5.设函数f(x)=xln(ex 1)x2 3, -t,t(t 0)，假设函数f (x)的最大值是 M，最小值 2) = 4 21=2，应选c.2定义在 R上

9、的偶函数f(R)满足对任意 R R,都有f(R+ 8)= f(R) + f(4),且R 0,4时，f(R) =4 R,贝U f(20PP)的值为.解析：f(4) = 0, f(R+ 8) = f(R),. T = 8, f(20PP)= f(3) = 4 3 = 1.类型六：求值1.函数f(R)是定义在(2,2)上的奇函数，当R (0,2)时，f(R) = 2R 1，贝U f log23 的【勺值A . 2B . 3c. 2D.是m,贝U M十m =.分析：此题是一道自编题，学生不假思索就会想到对f (x)求导.事实上，理科学生，求导得 2 1解析：当 R ( 2,0)时，一R (0,2)，又

10、：当 R (0,2)时，f(R) = 2R 1, f( R)= 2 R 1,又因为函数f(R)是定义在(一2,2)上的奇函数， f( R) = f(R) = 2 R 1 , R ( 2,0)时,1f(R) = 1 . 2v log23 0,1 f(log2；1)= 1 2=2.应选A.答案：A2. f(R)为奇函数，g(R) = f(R) + 9, g( 2)= 3,那么f(2) =.解析：根据g( 2) = f( 2)+ 9,即 3= f(2) + 9,即卩 f(2) = 6.答案：63. 设f(R)是定义在 R上的奇函数，当R0时，f(R) = R+ eR(e为自然对数的底数)，贝U f(

11、ln6)的值为1 由 f(R)是奇函数得 f(ln6) = f( ln6) = ( ln6) eln6 = ln6 &1答案：In6 -6x2 sin x +14. 函数f(x) 2 (xR)存在最大值M和最小值N,那么M + N的值为x +1xf (x) =ln(ex 1) _x，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导因ex +1此，须从考察函数 f(x)的性质下手，事实上，令 g(x) =xln(ex 1)_x2，易求得 g(_x) - -g(x)，所以g(x)是奇函数，所以 g(x)的最大值与最小值之和是0,从而f (x)的最大值与最小值之和是 6.答案是：6.6定义域为 R的函数f(x) = acosx 3sin x (a、b R有最大值和最