第六章 勒让德函数

1、数学物理方法第六章第六章 勒让德函数勒让德函数第一节第一节 勒让德方程与勒让德多项式勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法一、线性常微分方程的级数解法 主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。分方程的级数解。数学物理方法2.2.方程的常点和奇点方程的常点和奇点数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法21000(1)20kkkkkkkkkC k kzzC kzC z数学物理方法20(2)(1)20kkkkkkkCkCC z数学物理方法数学物理方法4.4.正则奇点邻域的级数解正则奇点邻域的级数解数学物理方法数学物理方

2、法数学物理方法数学物理方法数学物理方法00000()(1)()0kskskkskskkskskCkkza zCk zb zC z数学物理方法二、勒让德方程与勒让德多项式二、勒让德方程与勒让德多项式数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法211(21)(23)(1)(2)(21)(2)(21)!nnlnllnlnllCCn 数学物理方法数学物理方法2. 2. 勒让德多项式勒让德多项式勒让德方程的一般解为：勒让德方程的一般解为：0011( )( )( )y xC yxC y x其中级数其中级数 在在x 1收敛，而在收敛，而在x = 1处发散。处发散。 和和0( )yx1( )y x但物理问

3、题往往要求：当但物理问题往往要求：当 时，时，y(x)为有限为有限, ,因此需要进一因此需要进一步确定满足此定解条件的解。步确定满足此定解条件的解。1x 从系数递推公式：从系数递推公式：l 为偶数：为偶数：l=2n（n 为正整数），则级数为正整数），则级数将到将到 项为止。因为：项为止。因为：k=l=2n 时，时，0( )yx2nx2222()(1)(22 )(221)0(2)(1)(22)(21)kknnkl klnnnnCCCCkknn 均为零，即均为零，即 退化为多项式，其最高次幂退化为多项式，其最高次幂为为 。此时若取。此时若取 ，则得：，则得：2426,nnCC0( )yx2nlxx

4、10C 数学物理方法222002020( )( )lnlnlny xC yxC xCC xC x同理，同理，l 为奇数：为奇数：l=2n+1(n 为正整数为正整数)，则级数，则级数 将到将到 项为止。因为：项为止。因为：k=l=2n+1 时，时，1( )y x21nx22321()(1)(21 21)(21 21 1)0(2)(1)(21 2)(21 1)kknnk l k lnnnnCCCCkknn 均为零，即均为零，即 退化为多项式，其最高次幂退化为多项式，其最高次幂为为 。此时若取。此时若取 ，则得：，则得：2527,nnCC1( )y x21nlxx00C 122131121130(

5、)( )lnlnlny xC y xCxC xC xC x数学物理方法这样，无论这样，无论l 为偶数还是奇数，这样选取系数后，所得的多项式为偶数还是奇数，这样选取系数后，所得的多项式为勒让德方程在满足定解条件下的解。为勒让德方程在满足定解条件下的解。3. 勒让德多项式的简洁形式勒让德多项式的简洁形式为了与后面要引入的勒让德母函数为了与后面要引入的勒让德母函数 所得结果一所得结果一致，通常取多项式最高次幂致，通常取多项式最高次幂 的系数为：的系数为：2(2 )!2 ( !)lllCl由系数递推公式由系数递推公式 低次幂项的系数低次幂项的系数 多项式，记作多项式，记作 。( )lp x由由2(1)

6、(1)()(1)(2)(1)(2)(1)kkkk kl lkl klCCCkkkk 22(2)(1)(2)(1)(1)(1)()(1)kkkkkkkCCCk kl lkl kl 122(12)xtt数学物理方法令令k=l 2,l 4,l 2s，得：，得：22(22)(21)(1)(2 )!(2)(21)(1)2(21) 2 ( !)(1)2 (21)(22)!(22)!( 1)2 2 (21) (1)! (1)(2)!2 (1)!(2)!llllllll llCClll llll lllllll ll llll 22 242(24)!( 1)2 2!(2)!(4)!(22 )!( 1)2!()

7、!(2 )!lllslsllCClllsCs lsls 由于由于k, l 均为整数，所以均为整数，所以0,1,2,2ls 其中其中 定义为：定义为：2l 2212 212llnllln 2(2)(1)(1)(1)kkkkCCk kl l数学物理方法于是得到于是得到 的具体表达式：的具体表达式：( )lp x2222200(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lsllslsllslsslsp xCxxs lsls 1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxP数学物理方法由勒让德多项式还可以得到以下结果：由勒让德多项式还可以得到以下结果：220220(

8、22 )!()( 1)()2!()!(2 )!(22 )!( 1)( 1)2!()!(2 )!( 1)( )lslsllsllslslslllspxxs lslslsxs lslsp x （1）奇偶性）奇偶性数学物理方法220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lslsllslsp xxs lsls 21 221210(422 )!(0)( 1)002!(21)!(212 )!nsnsnnsnspsnsns 22220222(42 )!(0)( 1)02!(2)!(22 )!(42 )!(2 )!( 1)( 1)2! !0!2 ( !)nsnsnnsnnnnnspsnsnsnnnn

9、nn （2） 的特殊值的特殊值(0)lp数学物理方法4. 勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式的微分表达式罗德里格斯公式罗德里格斯公式勒让德多项式的另一种表示勒让德多项式的另一种表示微分表示微分表示21dP ( )(1)2! dlllllxxlx罗德里格斯公式罗德里格斯公式证明：由二项式展开定理得：证明：由二项式展开定理得：2201( 1)(1)()2 !2 ()! !llslll sllllsddxxl dxdxls s22200!(1)( ) ( 1)( 1)( )()! !lllsl sssl slsslxa xxl s s所以：所以：数学物理方法注意到：凡是指数注意到：凡是指数(2l-

10、2s)l 的项经的项经l 次求导后为次求导后为0，故只剩下，故只剩下2l2sl的项，即的项，即2s l ，于是得：，于是得：222d(22 )(221)22(1)dllslslxlslslslxx22 220 201d(22 )(21)(1)( 1)2 !d2 !()!(22 )(21)(2 )!( 1)P ( ).2 !()!(2 )!llllslslllsslsllslslsxxlxs lslslslsxxs lsls因此有因此有220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lslsllslsp xxs lsls 2222200(22 )!( )(1)2!()!(2 )!lsllsl

11、sllslsslspxCxxslsls数学物理方法5. 勒让德多项式的母函数、勒让德多项式的积分表达式勒让德多项式的母函数、勒让德多项式的积分表达式施施列夫利公式列夫利公式(1) 定义：若函数定义：若函数w(x,t)的泰勒级数为的泰勒级数为t：复变数：复变数0( , )( )lllw x tP x t则称则称w(x,t)为为 的母函数（或生成函数）。的母函数（或生成函数）。( )lP x1221220(2)1(1-2)( )(1-2)( )llllttxtP xtxtP x t对于，是的母函数，即数学物理方法122122011( , )(1-2)(1-2)( )llltw x ttxttxta

12、 x t证明：（ ）在内，将展开为泰勒级数12211(1-2)( )120llctxta xdttitt其中：为泰勒系数，c为内包围的回路。12222(1-2)1 2()1txttuuuxtu （ ）做变换复变数数学物理方法122211122122222221222()12)1(1)2()2()111112(1)2()22()1221122()1llllluxdtxtdtdtuttu tuxuxuuuuudu uuxuduuxuuuxuuduuxu 则被积函数为：（la x带入（ ）得：数学物理方法211(1)( )22 ()llllcua xduiuxC：u 平面的曲线，是平面的曲线，是t

13、平面曲线平面曲线C 的像的像00tuxcuxct包含（因 包含）( )12122!( )(3)( )2()1!(1)( )!22 ()1(1)!21(1)( )2 !nnLllllclllllllllnf zfzdzizzlua xduliuxdxl dxdxP xl dx由柯西高阶导数公式得22()1uxtu数学物理方法1220(1-2)( )llltxtP x t122(1-2)( )ltxtP x即是的母函数。勒让德多项式的积分表达式勒让德多项式的积分表达式(1)施列夫利公式施列夫利公式211(1)( )( )22 ()lllllcuP xa xduiuxcux其中：回路 包含点。数学物

14、理方法勒让德多项式的积分表达式勒让德多项式的积分表达式(2)拉普拉斯积分拉普拉斯积分220( )(1sin )llP xxixd数学物理方法211(1)( )( )22 ()lllllcuP xa xduiux数学物理方法6. 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式 递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数之间存在递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数之间存在着一定的关系。具体如下：着一定的关系。具体如下：111111(1)( )(21)( )( )0 (1)( )( )( ) (2)(1)( )( )( ) (3)(21)( )( )( ) lllllllllllllPxlxP

15、xlPxlP xxP xPxlP xPxxP xlP xPxPx21 (4)(1-)( )( )( ) (5)lllxP xlPxlxP x证明：证明：(1) 由母函数关系式由母函数关系式21 20(12)( )lllxttP x t数学物理方法两边对两边对t 求导，有：求导，有：23 2101(12)(22 )( )2lllxtttxlP x t改写为：改写为：23 210()(12)( )lllxtxttlP x t两边乘以两边乘以(1 2xt + t2 ) ，再将母函数关系式代入，有，再将母函数关系式代入，有2100()( )(12)( )llllllxtP x txttlP x t比较

16、两边比较两边 的系数，有：的系数，有：lt111( )( )(1)( )2( )(1)( )lllllxP xPxlPxxlP xlPx整理上式：整理上式：11(1)( )(21)( )( )0 (1)llllPxlxP xlPxl数学物理方法当当 时，由于：时，由于： ，所以，所以 0l 01( )1;( ),P xP xx01( )( )xP xP x(2)由母函数关系式两边对由母函数关系式两边对x 求导：求导：30221( 2 )2( )(12)llltP x txtt又又32120()(12)( )lllxtxttlP x t100( )()( )lllllltlP x txtP x

17、t整理上式后比较等式两边整理上式后比较等式两边 的系数，得递推关系式的系数，得递推关系式 (2)。lt1( )( )( )llllP xxP xPx11(1)( )(21)( )( )0 llllPxlxP xlPx数学物理方法数学物理方法数学物理方法7. 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式勒让德多项式的正交性与正交归一关系式(1) 勒让德多项式的正交性：勒让德多项式的正交性：11( )( )0 (k)lkP x P x dxl另一种形式：另一种形式：cos0(cos )(cos )sin0 (k)xlkPPdl 勒让德方程可改写为下述形式：勒让德方程可改写为下述形式：2d(1)(1)0dd

18、yxl lyxdx由于由于 和和 分别是分别是l阶及阶及k阶方程的特解，因此阶方程的特解，因此( )lP x( )kP x2(1)2(1)0 xyxyl ly数学物理方法22(1)( )(1)( )0(1)( )(1)( )0llkkdxP xl lP xdxdxP xk kP xdx用用 乘以第一式，乘以第一式， 乘以第二式后相减，然后再积分，得乘以第二式后相减，然后再积分，得( )lP x( )kP x122111( )(1)( )( )(1)( ) (1)(1)( )( )0kllklkddP xxP xP xxP xdxdxdxl lk kP x P x dx1212111212111

19、1(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( ) (1)(1)( )( )0kllkklkllkxP x P xxP x P x dxxP x P xxP x P x dxl lk kP x P x dx数学物理方法11( )( )0lkP x P x dx利用母函数的关系式，有：利用母函数的关系式，有：121( )llNP xdx (2) 的模的模( )lP x21 2200001( )( )( )( )12lkl klklklklkP x tP x tP x P x txtt两边对两边对x积分，并利用勒让德多项式的正交性积分，并利用勒让德多项式的正交性111222

20、111000( )( )( )12l klklllkldxtP x P x dxtP xdxxtt数学物理方法上式左边的积分上式左边的积分121121111ln 12ln2112dxtxtttttxtt在在 的区域将展开成泰勒级数的区域将展开成泰勒级数P64例例3.3.61t 1ln1tt2102( )21llf ttl12122100122122121lllldxttxttll12221002( )21llllltP xdxtl数学物理方法上式在上式在 的区域内对任意的的区域内对任意的t 成立，故有成立，故有1t 1212( )21lP xdxl21 21llNlN归一化因子归一化因子(3)

21、 勒让德多项式的正交归一关系式勒让德多项式的正交归一关系式21111221( )( )( )( )212lklklklklP x P x dxP x P x dxl02(cos )(cos )sin21lklkPPdl 数学物理方法8.广义傅里叶级数的完备性广义傅里叶级数的完备性 若函数若函数f(x)在在-1，1上有连续的一阶导数和分段连续的二阶上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则导数，则f(x)在在-1，1上可以展开成绝对且一致收敛的级数。上可以展开成绝对且一致收敛的级数。广义傅里叶级数广义傅里叶级数0( )( )lllf xC P x 可以作为广义傅里叶级数展开的基，且可以作为广义傅

22、里叶级数展开的基，且 是完备的。是完备的。( )lP x( )lP x展开系数展开系数 的求法：的求法：lc11110022( )( )( )( )2121klklllkkllf x P x dxCP x P x dxCClk1121( )( )2lllCf x P x dx数学物理方法例例1 1: :将将 在在-1,1-1,1内展成勒让德多项式的级数形式内展成勒让德多项式的级数形式 2x数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法10. 关联勒让德方程与关联勒让德函数关联勒让德方程与关联勒让德函数(1) 关联勒让德方程关联勒让德方程222(1)2(1)0 (0, 1, 2)1mxyxyl

23、 lymx I. m 0设设 是勒让德方程的解，故有：是勒让德方程的解，故有：( )lP x222( )( )(1)2(1)( )0llld P xdP xxxl lP xdxdx将上式对将上式对x 求求m 阶导数：阶导数：222( )( )(1)2(1)( )0mmmlllmmmd P xdP xdddxxl lP xdxdxdxdxdx 由由 计算上式左边第计算上式左边第(1)、(2)项项()( )()0()mmkkm kmkuvc uv数学物理方法22()()()2(1)( )2(1)( )(1)(1)( )0mmmlllddxPxmxPxl lm mPxdxdx上式实际上是关于上式实际

24、上是关于 所满足的方程。所满足的方程。()( )( )mmllmdPxP xdx设：设： 代入关联勒让德方程，得：代入关联勒让德方程，得：22( )(1)( )my xxw x222(1)( )2(1)( )(1)(1)( )0ddxw xmxw xl lm mw xdxdx222( )( )(1)2(1)( )0mmmlllmmmd P xdP xdddxxl lP xdxdxdxdxdx数学物理方法与与 满足相同的方程满足相同的方程()( )mlPx关联勒让德方程的一个特解：关联勒让德方程的一个特解：( )w x2()2( )(1)( )mmly xxPx记作：记作：2()2( )(1)( )mmmllPxxPx(0,1,2)m IIm0将将 代入关联勒让德方程，得：代入关联勒让德方程，得：mm 222(1)2(1)01mxyxyl lyx上式的特解：上式的特解：22( )(1)( ) (-1,-2,)mmmllmdPxxP xmdxIII. 关联勒让德方程的特解关联勒让德方程的特解22( )(1)( ) (0, 1, 2,)mmmllmdPxxP xmdx 数学物理方法(2)关联勒让德函数的微分关联勒让德函数的微分将罗德里格斯公式代入方程的特解，得：将罗德里格斯公式代入方程的特解，得：222(1)( )(1) (0,1,