第4章弯曲应力

1、材料力学材料力学2021-7-272清 泉 石 上 流明 月 松 间 照材材 料料 力力 学学3山居秋暝山居秋暝2021-7-274一、一次矩（静矩）一、一次矩（静矩）1. 静矩（面积矩）静矩（面积矩）,dAySzAzSydCzyozzcycydA（2）静矩与形心坐标的关系）静矩与形心坐标的关系cAySzcAzSynAAAA.21cnnccczyAyAyAAyS.2211cnncccyzAzAzAAzS.22114.1 截面几何性质截面几何性质坐标轴过截面形坐标轴过截面形心，静矩为零。心，静矩为零。反之亦然。反之亦然。第第4章章 弯曲应力弯曲应力2021-7-275二、惯性矩、惯性积和惯性半径

2、二、惯性矩、惯性积和惯性半径1. 惯性矩惯性矩zyozydAAyIzd2AzIyd2AId2PAyzd )(22AzAydd22yzII 2. 惯性积惯性积AyzIyzd轴惯性矩轴惯性矩极惯性矩极惯性矩惯性积为零的坐标，称惯性积为零的坐标，称为惯性主坐标。为惯性主坐标。若若y、z之一为对称轴，则它之一为对称轴，则它们一定是惯性主坐标。们一定是惯性主坐标。2021-7-2763. 惯性半径惯性半径,2zzAiI 2yyAiI ,AIizzAIiyy或或2021-7-277三、组合截面惯性矩三、组合截面惯性矩1. 平行轴定理平行轴定理, azzcbyycczyozbydA(z, y )azcycz

3、cycAyIzd2Abycd)(2AbAybAyccdd2d222AbIcz2AaIIcyy同理同理对任意轴的惯性矩，等于对通对任意轴的惯性矩，等于对通过形心的平行轴的惯性矩加上过形心的平行轴的惯性矩加上面积与两轴距离的平方之积。面积与两轴距离的平方之积。AabIIccyzzy距离距离a、b有正负之分有正负之分2021-7-2782. 组合截面惯性矩组合截面惯性矩znzzzIIII.21ynyyyIIII.21在计算第在计算第 i 块图形对块图形对 z 轴或轴或 y 轴的惯性轴的惯性矩时，要用到平行轴定理。矩时，要用到平行轴定理。zy123452021-7-279v例题例题4.1v解：解：dy

4、czbhz1yybAddAyIzd22/2/2dhhyyb123bhAIizzbhbh12312h2)2/(1hAIIzz41223hbhbh33bh2021-7-2710v例题例题4.2v解：解：zyyzII zyzIIII2P2PIIz644DAIizz24464DD4D对于空心圆截面对于空心圆截面)1 (6444DIz214Diz2021-7-2711v例题例题4.3v解：先找形心位置解：先找形心位置2211ccczyAyAAyS212211AAyAyAyccc2080208010208060208035mmz20802080yccz212021-7-2712v计算惯性矩计算惯性矩z20

5、80208035c1221zzzIII2325208012802023252080122080610907. 2mm42021-7-2713321zzzzIIIIz2080208035c1233652033358033)2035()2080(3610907. 2mm42021-7-2714一、正应力分布规律一、正应力分布规律1. 几何关系几何关系zy4.2 弯曲正应力弯曲正应力2021-7-2715xabld弧长21ood变形后长度变形后长度d)(111ybal弧长正应变正应变lldd)(dyylll 12021-7-27162. 物理关系物理关系EEy yyzx max 问题：问题： 1.

6、1. 中性轴中性轴z 的位的位置在哪里？置在哪里？ 2.2.曲率半径曲率半径 = =？2021-7-27173. 静力关系静力关系yyzx MdAzydAyANdAEydAyEd0cAyE0cyzES中性轴中性轴z通过通过截面形心。截面形心。2021-7-2718yyzx MdAzydAyAyMdAyEydAyEd2zEIzEIM1Ey弯曲正应力弯曲正应力zIMy2021-7-2719v例题例题4.4 单项选择单项选择BA3.ABA6.BBA2.CBA4.D解：解：BBAABAyMyM4)4/)()2/)(2(hPahPaBA4hABaaPh/4b2021-7-2720二、正应力强度条件二、正

7、应力强度条件1. 危险位置危险位置2. 强度条件强度条件 （1） 不区分拉压应力时不区分拉压应力时zIyMmaxmaxmaxmaxmax/ yIMzfWMzmax或或maxmaxzWM2021-7-2721maxyIWzz矩形截面矩形截面2/12/3hbhWz62bh实心圆截面实心圆截面2/64/4DDWz323D空心圆截面空心圆截面2/64/ )1 (44DDWz)1 (3243D2021-7-2722（2） 区分拉压应力时区分拉压应力时zIyMmaxtmaxmaxtzIyMmaxcmaxmaxc,maxttyIWzzmaxczcyIWzttmaxfWMzccmaxfWMz或或,ttmaxm

8、axtzWMccmaxmaxczWM强度计算采用强度计算采用用绝对值，指用绝对值，指明拉压即可。明拉压即可。2021-7-2723v例题例题4.5 截面设计截面设计v解：解：2max81qlM1045812kN.mfWMzmaxmax2021-7-2724fMWzmax66101101010mm3261bhWz22361bb383b338zWb 7 .1383101836mm140bmm2101405 . 15 . 1bhmm2021-7-2725v例题例题4.6 强度校核强度校核v解：解：9 kN4 kN52ABCD1 m1 m1 mz88ABCD2.5 kN.m4 kN.m5 . 2BMk

9、N.m 下部受拉4CMkN.m 上部受拉2021-7-272652z88ABCD2.5 kN.m4 kN.mzIyMmaxmaxmax8 .28107 .76388105 . 246maxtMPa t=30 MPa0 .17107 .76352105 . 246maxcMPa c=60 MPa2 .27107 .7635210446maxtMPa t=30 MPa1 .40107 .7638810446maxcMPa 16mm3zcm1090W5 .220kN.m2021-7-2728zmaxmaxWM36101090105 .2203 .202N/mm216mm正应力强度计算正应力强度计算2

10、021-7-2729三、梁的合理截面三、梁的合理截面1. 截面合理性的概念截面合理性的概念大量材料浪费大量材料浪费在低应力区域在低应力区域浪费减少浪费减少浪费更少浪费更少中性轴附近的低应力区应该尽量少用材料中性轴附近的低应力区应该尽量少用材料正应分布正应分布尽可能多的材料置于高应力尽可能多的材料置于高应力区，或者截面的上下边缘区，或者截面的上下边缘2021-7-27302. 截面合理性的定量参数截面合理性的定量参数3. 常见截面的定量值常见截面的定量值hAWz125. 0/hAWz167. 0/hAWz)31. 027. 0(/2021-7-2731受弯构件常见截面受弯构件常见截面2021-7

11、-273275kg/m钢轨，重载线路钢轨，重载线路60kg/m钢轨，高速铁路钢轨，高速铁路50kg/m钢轨，普通铁路钢轨，普通铁路43kg/m钢轨，普通铁路钢轨，普通铁路30kg/m钢轨钢轨轻轨铁路轻轨铁路2021-7-27334.3 弯曲剪应力弯曲剪应力一、弯曲剪应力计算一、弯曲剪应力计算v基本假定基本假定v剪应力计算的一般公式剪应力计算的一般公式bIVSzz*任意任意点点AbyVz A2021-7-2734弯曲剪应力公式推导弯曲剪应力公式推导取长度为取长度为dx的梁段的梁段 截面上距离中性轴为截面上距离中性轴为y的各点的剪力的各点的剪力 如图所示如图所示2021-7-2735 微段梁上的应

12、力分布微段梁上的应力分布 取取y以下的部以下的部分为脱离体分为脱离体 左侧正应左侧正应力的合力力的合力AFAd1N1AyIMAzd11AyIMAzd11*zzSIM 右侧正应右侧正应力的合力力的合力AFAd1N2AyIMMAzdd11*dzzSIMM 2021-7-2736 取取y以下的部以下的部分为脱离体分为脱离体 脱离体平衡脱离体平衡*1NzzSIMF 得纵截面上的剪应力得纵截面上的剪应力*2NdzzSIMMF:0 xF0d2N1NxbFFxbFFd1N2NbISxMzz*ddbIVSzz*由剪应力互定理得由剪应力互定理得横截面上的剪应力横截面上的剪应力bIVSzz*2021-7-2737

13、1. 矩形截面梁剪应力分布矩形截面梁剪应力分布yhyyhbSz2212*2242yhbbIVSzz*22342)12/(yhbbbhV22346yhbhVzyyhbV max2021-7-2738bhV23max AV230min两点结论两点结论中性轴上，剪应力最大（正应力为零）中性轴上，剪应力最大（正应力为零）上下边缘，剪应力为零（正应力最大）上下边缘，剪应力为零（正应力最大）zyyhbV max最大剪应力是平均值最大剪应力是平均值的的1.5倍倍22346yhbhV2021-7-27392. 工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力y zVyhh1bd max minbIVSzz*dIVSz

14、z*maxmax半个截面对中性轴的静矩半个截面对中性轴的静矩对于热轧工字钢对于热轧工字钢dIVSxxmax):(xxSIdV查附表查附表2.42021-7-27403. 圆形和圆环形截面梁最大剪应力圆形和圆环形截面梁最大剪应力bIVSzz* maxVyDzO maxyDz maxVOdAV34maxAV0 . 2max2021-7-2741v例题例题4.8v解解40kN7.5m7.5m20kN20kN150kN.m2021-7-2742160maxmaxzWM160maxMWz160101506310938mm3（2）确定截面尺寸）确定截面尺寸选选36c号工字钢，号工字钢，Wz=962 103

15、 mm3，能满足要求。，能满足要求。62bhWz32326)2(bbb35 . 1zWb 33109385 . 1112mm2241122hmm2021-7-2743323dWz332zWd 3314. 31093832211mm):(maxxxSIdV29914102038 . 4MPaAV5 . 1max22411210205 . 132 . 1MPaAV33. 1max23)2/211(102033. 18 . 0MPa剪应力都很小剪应力都很小2021-7-2744二、弯曲剪应力的说明二、弯曲剪应力的说明v普通细长梁普通细长梁v需要计算梁的剪应力的情况需要计算梁的剪应力的情况（1）梁的跨

16、度较短，或支座附近有较大集中力）梁的跨度较短，或支座附近有较大集中力（2）焊接的组合截面钢梁中，如果腹板厚度与）焊接的组合截面钢梁中，如果腹板厚度与 高度相比，较一般型钢截面相应比值小高度相比，较一般型钢截面相应比值小（3）木材顺纹方向的抗剪强度差，可能因中性）木材顺纹方向的抗剪强度差，可能因中性 层上的剪应力过大使梁沿中性层剪切破坏。层上的剪应力过大使梁沿中性层剪切破坏。2021-7-2745三、弯曲剪应力强度条件三、弯曲剪应力强度条件1. 危险位置危险位置2. 剪应力强度条件剪应力强度条件bISVzz*maxmaxmaxvfAVmaxmax5 . 1矩形截面矩形截面AVmaxmax33. 1圆形截面圆形截面AVmaxmax0 . 2圆环截面圆环截面):(maxmaxxxSIdV热轧工字钢热轧工字钢或或2021-7-2746v例题例题4.9v解：解：309xz