高二数学常用公式大全[共18页]

1、启振教育内部资料第八章 圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程,双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程,抛物线的简单几何性质。考试要求：(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程。(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4) 了解圆锥曲线的初步应用。一、椭圆1定义 | PF1 | | PF2 | 2a | F1F2 | PF | | PF |1 2d d1 2e 1注意：当2a | F F | 轨迹为线段 F1F21 22a |

2、F F |轨迹为1 22方程与性质：2 2 2a b 0,a b c（1）标准方程2 2 2 2x y y x2 2 1 2 2 1a b a b（2）焦点 F ( C ,0) F (0, C)（3）准线2 2a ax yc c（4）顶点 ( a,0) (0, b) (0, a) ( b,0)（5）范围 | x | a,| y| b | x| b,| y | a（6）焦半径| PF | a ex | PF | a ey1 0 1 0| PF | a ex | PF | a ey2 0 2 0（7）到焦点最远距离 a+c,最近距离 a-c（8）点P(x , y ) 在椭圆0 02 2 2 2x

3、y x y0 02 2 1 2 2 1内a b a b（9） e c ,a通径22ba,焦准距2bc,准线距22ac（10）2 2x y2 2 1上的点可设为 P( acos , bsin )a b启振教育内部资料注：只有准线2 a cx , F (C ,0) ec a完全一致才是标准方程建立 a, b, c 的齐次方程或不等式即可求 e 的值或范围2 2x yA B1表示椭圆A,B 0A B| PF | | PF |1 2d , d1 2e e二、双曲线1定义 1| PF | | PF | 2a1 22a | F F |1 22a2a右支左支注意：2a | F F |是两射线 2a | F1

4、F2 |无轨迹1 2定义 2| PF | | PF |1 2d d1 2e 1| PF | | PF |1 2d d1 2e e2方程与性质2 2 2c a b（1）方程2 2x y2 2 1a b2 2y x2 2 1a b（2）焦点 F ( C ,0) F (0, C)（3）顶点 A( a,0) A(0, a)（4）范围 | x | a | y | a（5）渐近线 y b x y a xa b令“1”为 0 即可（6）焦半径 | PF1 | | e x0 a | | P F1 | | ey0 a | PF | | ex a | | PF | | ey a |2 0 2 0（7）eca,实轴

5、长 =2a,虚轴长 =2b,焦准距2bc,通径22ba,准线距22ac（8）等轴双曲线 a=b, e 2（9）p(x , y )在不含焦点的区域0 02 2x y0 02 2 1a b注意：2 2Ax By c 表示双曲线ABC00已知渐近线 ny x m,可设双曲线方程2 2x y2 2m nk双曲线的切线 只有一个交点直线与双曲线交点只有一个 切线,平行于渐近线的直线启振教育内部资料三、抛物线1 定义 | PF | d2 方程2 2 2 2 2 2 2 2y px y px x py x pyp p p p3 焦点 ,0 ,0 0, 0,F F F F2 2 2 24 准线p p p px

6、 x y y2 2 2 25 焦半径p p p p| PF | x | PF | x | PF | y | PF | y0 0 0 02 2 2 26 通径 2 P7 P在内部2 2 2 2y0 2 px0 0 y0 2 px0 0 x0 2 py0 0 x0 2 py0 0注意与抛物线只交于一点的直线 切线,平行于对称轴的直线焦点弦问题（i ）2y y p1 2（ii ）| AB | | AA | | BB | x x p1 1 1 2（iii ） A1FB1 90（iv ）以 AB为直径的圆与 A1B1 相切（v）| AB|2p2sin（vi ）1 1 2| AF | |BF | p四、直

7、线与圆锥曲线主要问题1弦长问题12 2l | x x | 1 k | y y | 1 1 k1 2 1 2 2k |a |焦点弦长 | AB | | AF | | BF | ed1 ed2OA OB x1x2 y1y2 0 OA OB 02垂直问题 AMB为钝角 MA MB 0AMB为锐角 MA MB 01 对称问题：五式法,也可用违达定理（求出中点坐标,代入区域内）4、 范围问题：先建立等式,再由等式到不等式5、 最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题6、 定值问题：先利用特殊探求定值再证明7、 向量问题：实现向量语言的转化,充分利用向量的坐标工具8、 轨迹问题：启振教育内部资料第

8、九章 直线、平面、简单几何体（A）考试内容：平面及其基本性质,平面图形直观图的画法。平行直线,对应边分别平行的角,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离。直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,点到平面的距离,斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角,三垂线定理及其逆定理。平行平面的判定与性质,平行平面间的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定与性质。多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。考试要求：(1) 理解 平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图,能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。(2) 掌

9、握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理, 掌握两条直线所成的角和距离的概念, 对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离。(3) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念,掌握三垂线定理及其逆定理。(4) 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。(5) 会用反证法证明简单的问题。(6) 了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念。(7) 了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直

10、观图。(8) 了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图。(9) 了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式。一、平面的性质1、 公理 1,如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内作用：证明直线在平面内2、 公理 2,如果两个平面有一个大众点,那么它们还有其他大众点,且这些大众点的集合是一条过这个大众点的直线作用：（1）证两平面相交 （2）点在直线上 （3）三点共线或三点共线3、 公理 3,经过不在同一直线上的三点,有且只有（确定一个）一个平面推论 1,经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有（确定一个）一个平面推论 2,经过两条相交直线,有且

11、只有（确定一个）一个平面推论 3,经过两条平行直线,有且只有（确定一个）一个平面启振教育内部资料作用：（1）确定一个平面（2）证两平面重合二、空间两条直线1、位置关系： （1）相交 有且只有一个大众点（2）平行 在同一平面内,没有大众点 共面（3）异面,不同在任何一个平面内,没有大众点2、公理 4： a / b,b / c a / c3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（直角）相等4、 异面直线所成的角（ 1）平移（ 2）相交（ 3）锐角（直角） 025、 异面直线间的距离、公

12、垂线段的长度常常转化为线面距离、面面距离、再用等积法三、直线与平面位置关系1 相交： a A 2 平行： a/ 3 直线在平面内： a四、直线与平面平行1 定义： a/ a2判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行3性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行五、直线与平面垂直1定义： a 对于任意 l ,a l2判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面3性质定理：如果两条直线同垂直一个平面,那么这两条直线平行4三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜

13、线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直5三垂线逆定理,在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直6重要结论（1）正方体的体对角线与异面的面对角线垂直（2）从平面外一点引斜线斜线段相等 射影长相等 斜线段较长 射影长较长 斜线段 垂线段（3）直线与平面所成的角的范围是； 0, 2（4）最小角定理：斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面经过斜足的直线所成的一切角中最小的角启振教育内部资料斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。（5）三余弦公式cos cos cos1 2（6）P 在平面 ABC的射影是 0外心 PA=PB=PC内心

14、 侧面与底面所成的角相等垂心 PA BC ,PB AC或 PA,PB,PC两两垂直 垂心六、平面与平面1 位置关系 /a2平面与平面平行（1）判定定理 1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行判定定理 2：垂直于同一直线的两个平面平行（2）性质定理 1： 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面性质定理 2： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行性质定理 3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面性质定理 4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等3平面与平面垂直（1） 二面角平面角 =90（2）判定定

15、理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直（3）性质定理 1：如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面性质定理 2 ：如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,必在第一个平面内4 二面角的平面角（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,范围是 0, （2）作法一,定义法（具有对称图形的条件）作法二,三垂线定理法作法三,垂面法5、求空间角与距离求角要注意作、证、算结合。距离可用定义法,转化法,等积法。七、棱柱1、定义： （1）两个平面平行

16、（ 2）其余各面交线平行。启振教育内部资料2、性质（1）侧面、对角面是平行四边形（2）直棱柱 侧棱 底面（3）正棱柱 正：底面是正多边形 直：侧棱 底面（4）长方体对角线2 2 2 2l a b c2 2 2cos cos cos 1（与棱）2 2 2cos cos cos 2 （与面）（5）四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体。若A AB A AC, AB AC, A A BC1 1 1（6）S BC BB 2 AB AA sin侧1 1cos cos cos1 2V S h S AA sinBCA ABC 1 13、1V s侧 d2八、棱锥1、 定义（ 1）一个面是多

17、边形 （2）其余各面是共顶点的三角形2、 正棱锥（ 1）正：底面是正多边形；（2）中：顶点在底面的射影是中心3、 正三棱锥 对棱互相垂直4、 正四棱锥 侧面与侧面成钝角5、 侧棱与底面所成的角 R, l侧面与底面所成的角 r, l九、球1、2 2 2R r d2、球面距离 l Rcos2 2R R AB22R2 2 2 2AB r r 2r cos（ 是径度差）3、2S 4 R球内接长方体2 4 2 2 2 2l R a b c侧棱两两垂直的三棱锥补形 长方体 球内接长方体4、体积 4V R 33 S VR球 球3R S V球 球启振教育内部资料多面体内切球半径 ：r3VS全5、正四面体 外接

18、球3R h 内切球41r h R : r 3:14十、常见图形体积,补割法 1V abc 6 1V sl 3V a b cV abc1V sd ABCD对应于一个平行六面体,其体积为21 3V平行六面体启振教育内部资料第十章 排列、组合和二项式定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理。排列、排列数公式。组合、组合数公式、组合数的两个性质。二项式定理、二项展开式的性质。考试要求：(1) 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。(2) 理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。(3) 理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用

19、它们解决一些简单的应用问题。(4) 掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。一、两个计数原理1加法原理（分类） 2 ,乘法原理（分步）二、排列、组合（1）排列：有序,不重复 （2）组合；无序,不重复（3）排列数公式：mA n(n 1) (n m 1)nn!(n m)!最大数 n 下标 项数=最大数 - 最小数 +1（4）组合数公式：mA n!m nCnm! m!( n m)!0! 1（5）公式 n n! (n 1)! n! m m mC A A n m nm n mc cn n0 1 n 2nC C C n n nm m 1 m 1C C C n n n 1k k

20、k C nCn n11三、应用题主要题型（1）纯排列组合问题（2）在与不在问题,特殊元素优先,用加法、乘法或减法（3）含与不含问题（4）相邻问题捆 不相邻问题插启振教育内部资料（5）全排列中某 k 个元素无序（次序固定）nAnk!（6）至多、至少问题加法、减法（7）混合问题先取后排,先组合后排列,先分堆后分配四、二项式定理n 0 n 1 n 1 n n(a b) C a C a b C bn n nn 0 n 1 n 1 n n(a b) C a C a b C b 共 n 1项,n n nC C C 是二项式系数。 （1 ） n 2k , C 最大0 , 1 , , n kn n n n（2

21、）k k 1n 2k 1 C C 最大n n通项r n r rT c a br 1 no n n1 2C C Cn n no n2 1 3 2 1C C C Cn n n nx yC C x y 或 x y nn nn 0 n 1 n 1 n n(a b c) C (a b) C (a b) c C cn n n展开后共(n 2)nn 1 n 1 项2五、典型问题（1）指定项,常数项 （2）整除问题（3）求系数之和,奇数项,偶数项系数之和 令 x 1,x 1（4）n 2 2(1 x) 1 nx 1 nx c xn（5）母函数法 （6）求最大系数ana an na an n11第十一章 概率考试内容：随机事件的概率,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验。考试要求：(1) 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的