颜色与物质浓度辨识的回归的分析

1、龙源期刊网 颜色与物质浓度辨识的回归的分析作者：王金生来源：科学与财富2017年第31期摘要 本文是讨论关于浓度与颜色读数之间的关系的问题，我们阐述了颜色读数的各个分量间的相互关系，建立了多元线性回归模型和二次回归模型，并对模型进行了误差分析和优化，从而验证了模型的有效性和精确性。模型的在化学元素检测实验中有一定的参考价值。关键字 浓度 颜色读数 线性回归模型 误差分析问题的重述比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了。由于每个人对颜色的

2、敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度。试根据附件所提供的有关颜色读数和物质浓度数据（参考2017年全国大学生数学建模竞赛C题附件1），下表为其中一小部分数据：完成下列问题：（1）附件Data1.xls中分别给出了5种物质在不同浓度下的颜色读数，讨论从这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣。（2）对附件Data2.xls中的数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。模型假设（1）数据真实可靠。

3、（2）数据的采集符合统计学原理。（3）H和S的数据作了适当的线性变换，并没有进行随意采取。3、问题的分析与准备3.1 RGB颜色空间RGB颜色空间是采用R、G、B相加混色的原理，通过发射红、绿、蓝三种不同强度的电子束，叠加而产生色彩的。这种色彩的表示方法称为RGB色彩空间表示。根据三基色原理，用基色光单位来表示光的量，则在RGB色彩空间，任意色光F都可以用R、G、B三色不同分量混合而成：F=rR+gG+bB特别地，当三基色分量都为最弱时混合为黑色光；当三基色分量都为最强时混合为白色光。RGB色彩空间采用 物理三基色表示，因而物理意义很清楚，适合彩色显象管工作。然而RGB色彩空间并不适应人的视觉

4、特点，因而产生了其它不同的色彩空间。3.2 HSV颜色空间HSV（hue，saturation，value）颜色空间的模型对应于圆柱坐标系中的一个圆锥形子集（如图），可以用一个圆锥空间模型来描述。HSB（HSV） 通过色相/饱和度/亮度三要素来表达颜色.H（Hue）：表示颜色的类型（例如红色，绿色或者黄色）.取值范围为0-360.其中每一个值代表一种颜色.S（Saturation）：颜色的饱和度.从0到1.有时候也称为纯度.B（Brightness or Value）：颜色的明亮程度.从0到1.HSV色彩空间和RGB色彩空间只是同一物理量的不同表示法，因而它们之间存在着相互转换关系。3.3 从

5、 RGB 到HSV的转换在所给的数据中颜色读数（R G B H S）和（R G B）其实确定同一种颜色，因此颜色读数与浓度的关系其实就是（R G B）与浓度的关系，这也将颜色读数的维数从5维降到了3维，这可以大大提高模型的质量。关于数据的处理与说明由于R，G，B与H，S，V可以相互转化，该问题中浓度与颜色读数的关系模型如下：L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-H（R，G，B）-S（R，G，B）因此该问题简化成求L与R，G，B之间的关系模型W（R，G，B）。但是数据Data2.xls中关于H与S的部分根据函数H（R，G，B）和S（R，G，B）算得的H和S并不与真实数据一致，根

6、据数据其中的线性关系，更像是人为的对数据进行了线性变换，我们可以对数据进行简单的线性拟合，从而找回与数据中相匹配的可靠数据，因此，实际上以上模型应改为：L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-H（R，G，B）-S（R，G，B）+其中，可以用线性拟合求得。数据表Data1中用R，G，B求相匹配的H，S的结果可以用多项式拟合简单得到。接下来的论述都是以建立L与R，G，B的关系为主要任务。4、模型的建立与求解4.1 模型一 线性回归模型4.1.1模型建立在分析数据Data1.xls时，画出（B，L）（G，L）（R，L）的散点图，我们发现其中数据基本呈现线性关系。因此针对数据data1

7、.xls建立如下线性回归模型：其中L为物质的浓度，R，G，B为回归自变量， 为回归系数。4.1.2模型求解利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，data为自变量与应变量的数据，应变量数据放第一列，这里数据太多就不全部列出了，其命令参照以下代码：x1=data（：，2）；x2=data（：，3）；x3=data（：，4）；y=data（：，1）；x4=ones（10，1）；x=x4，x1，x2，x3；b，bint，r，rint，stats=regress（y，x）for i=1：10L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data

8、（i，4）；endL得到模型一回归系数的估计值、置信区间、 、F、p等结果见表1。表1问题一中的浓度与颜色读数的关系为下列5个模型：组胺：L=182.3872-0.1718R-2.2888G+0.6512B溴酸钾：L=152.2913-1.3663R+7.4619G-7.187B工业碱：L=15.5381+0.06R-0.0404G-0.1013B硫酸铝钾：L=7.7733+0.0366R-0.1022G+0.0049B奶中尿素：L=13891.00649-112.303876R-0.20865303G-2.20340476B4.1.3比较数据的优劣数据Data1.xls中5组数据分别用模型一

9、进行线性回归，求得每个样本的L的回归值，并相应求出绝对误差，最后求出相对平均误差和误差方差。每组数据的相对平均误差定义为：表2对于数据的优劣我们主要依据估计量回归的误差分析，一般误差的均值水平越低说明数据回归的精确度比较高，误差的方差越小说明数据抗干扰能力越强，但由于选取样本点浓度的大小水平不一，因此为了更公平衡量数据质量，引进了相对与平均浓度的相对平均误差 w ？，可见5组数据中组胺这组最优，而奶中尿素这组最劣，其他组相对中等，具体要看实验的敏感度的要求而定，我们讨论的结果只是其中的相对比较。4.2模型二 二次回归模型在分析数据Data2.xls时，画出（B，L）、（G，L）、（R，L）的散

10、点图，我们发现其中数据基本呈现曲线的形状，也可能近似于二次函数。本文采用3维二次函数穷举优化的方法4，最终确定以结果的可行性、误差、方差所作的综合评价为依据的最优模型。4.2.1建立模型s.t 模型可行性、平均误差最小、误差方差最小.4.2.2模型求解该模型中各个分模型都可以利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解， data为自变量与应变量的数据，应变量数据放第一列，这里数据太多就不列出了，以下命令为线性回归完全二次方程的命令，其他几个只要修改一下x即可。x1=data（：，2）；x2=data（：，3）；x3=data（：，4）；x4=x1.2；x5=x2.2；x6=x3.2；

11、x7=x1.*x2；x8=x1.*x3；x9=x2.*x3；y=data（：，1）；x10=ones（25，1）；x=x10，x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9；b，bint，r，rint，stats=regress（y，x）for i=1：25 L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data（i，4）+b（5）*（data（i，2）2+b（6）*（data（i，3）2+b（7）*（data（i，4）2+b（8）*data（i，2）*data（i，3）+b（9）*data（i，2）*data（i，4）+b（10）*data（

12、i，3）*data（i，4）；endL其主要数据列在下表：从R2、F、p可以看到8个模型都是可用，并且完全二次模型R2=0.99057，说明该模型回归质量更好，其次看它们的平均误差与误差的方差完全二次模型明显更小，根据以上比较，确定二次模型中，完全二次模型最好，并求得L与R，G，B之间的关系满足以下完全二次模型：L=146640.8869-2288.20429R+460.1482G-83.0718B+10.63497R2+0.973G2+0.3904B2-5.6242RG-0.9313RB+0.7849GB4.2.3误差分析根据上式，用MATLAB求得样本的回归值、绝对误差、平均误差、误差方差3如下表：从绝对误差可以看到误差与估计量的大小无单调相关性，但大误差在中间部分20、30、50时明显分布较多，两头的误差较小，最大误差为8.4444，最小误差为0.0431，可以看到并非基数越大误差越大，基数越小误差越小，与基数无关，平均误差为3.873604，误差的方差为3.150453。5、模型推广与评价模型仅针对该问题作了线性回归和二次回归，并没有去考虑其它非线性回归的方法，在其它模型类型方面可能还会有更好的模型，但是作为本文中的