1970.对两个负数相乘引入实际情景的思考

1、对两个负数相乘引入实际情景的思考曾有这样一则小故事：2001年春，袁隆平院士到武汉，谈到了在中学的经历，说到为什么“负负得正”，他一直不能理解，著名科学家不懂“负负得正”？一时成为某些人的笑谈。然而，笑谈者并不知道，我们要说清楚“负负得正”谈何容易。要弄清“负负得正”深层次的原因，它的实际背景则是一个不能回避的问题。张奠宙教授曾在他所编写的中国数学双基教学的数学双基教学和探究点的教学设计一文中发出这样的感慨：世界上还没有发现一个为大家普遍接受的“负负得正”实际情景。可以说“负负得正”至今仍是一个困惑初中数学界的疑难问题。从另一方面看，课程标准（实验稿）又非常重视过程与方法，因此，新教材的编写者

2、非常关注“两个负数的积是正数”这一规律的产生和形成过程，并尽可能使学生感受到“负负得正”的合理性。笔者目前所使用的浙江版教材，它正是试图通过实际例子的方式得出“负负得正”的结论的。请看教材（七年级上册36页37页）关于两个负数相乘时的内容设计：下面我们来探讨两个负数相乘的结果，先看一个实际问题：某一天，从上午6：00开始，一实验室内的温度控制在每时降低2，到12：00实验室内的温度降为0问上午9：00该实验室的温度为多少摄氏度？如果记温度上升为正，12：00的时间为零，12：00以后的时间为正，那么每时温度降低2可记为-2/时，12：00以前的时间，如9：00记为-3时这个时刻实验室的温度用乘

3、法可表示为（-2）（-3），9：00该实验室的温度为6，所以（-2）（-3）=6有很多教师按照教材的这个方案进行了讲解，他们所收到的教学效果不甚理想。比较集中的评价有：教材所设计的问题学生不容易理解，很多学生被搞得稀里糊涂，而且花不少的时间。部分教师也正是出于这样的考虑，他们在讲两个负数相乘时避开了实际例子（实际上很多版本的教材在编排时也采用了这样的策略）。我在讲解有理数乘法之前，早已听说了教师们的这种议论。因此也对教材进行了研读，笔者以为：教材关于两个负数相乘的实际例子，本身并不存在什么错误，主要是表述时尚不够具体、清晰，从而引起了很多教师的费解。本人在讲授有理数乘法时，对于各种情形的有理数

4、乘法（不光光是负数与负数相乘），它们的运算法则都是根据实际例子而得。上课时用的方案主体部分如下：为了探讨两个有理数相乘的结果，我们先看几个实际问题：（1）实验箱内的温度每小时上升2，则3小时后实验箱的温度比现在 ；（2）实验箱内的温度每小时降低2，则3小时后实验箱的温度比现在 ；（3）实验室箱的温度每小时上升2，则3小时前实验箱的温度比现在 ；（4）实验箱内的温度每小时降低2，则3小时前实验箱的温度比现在 。若记温度逐渐上升为正，保持不变为零，逐渐下降为负；记以后的时间为正，现在时刻为零，以前的时间为负；记温度比现在高为正，与现在一样为零，比现在低为负则上面四个问题所对应的算式依次为：（1）

5、；（2） ；（3） ；（4） 实践证明，这个方案的教学效果相当不错。第一，学生比较容易理解；第二，能使学生体验到有理数乘法法则来自于生活实践；第三，这个方案中的四个例子分别对应着四种情形的两个非零有理数相乘；第四，学生有了以上经验，教师在讲述涉及因数为零的两数相乘时，他们自己能够举出实际的例子，并给出计算结果（更进一步地就是运算法则）。笔者觉得教材编写者想要在两个负数相乘中引入实际情景，应该注意以下三点：第一，要弄清有理数乘法联系实际的本质在讨论有理数乘法联系实际的本质之前，不妨先看看有理数加法的情况。有理数加法，如算式（-50）+（+30）=-20，它的实际情景可以是：服装店上午售出两件断码

6、外套，一件亏50元，另一件赚30元，两件合计亏20元。有理数加法与生活实际比较容易联系起来这与有理数加法中“被加数”，“加数”，“和”它们所代表的量是同一种单位的量有关。正是由于它们是同一种单位的量，所以在有理数加法中，只要确定一个基准，并约定相应的正、负即可。象上例中三个量的单位都是“元”，以不赚不亏为基准（零），并约定赚为正，亏为负。两个负数相乘与生活实际很难联系起来，这显然与有理数乘法中“被乘数”，“乘数”，“积”它们所代表的量一般是三种不同单位的量有关。此时，当被乘数、乘数、积都有负的可能时，若要与实际问题相联系，则必须确定三个基准，并约定三对相应的正、负。 两个负数相乘与生活实际很难

7、联系起来的另一个原因，则是来自于生活中很多量，它们只在非负数范围内进行取值。现在如果稍退一步，找一个“异号相乘”的实际例子，那么就会觉得轻松许多。如算式（+3）（-10）=-30，它的实际情景可以是：鞋店下午售出3双换季皮靴，每双亏10元，共亏30元。诚然皮靴数只能在非负数范围内进行取值。第二，要交代清楚有理数乘法中所涉及的量，尤其是基准的确定和正、负的约定即使熟练地掌握了有理数的乘法运算，无论学生还是教师，他们对有理数乘法与实际联系的东西一般都还是知之甚浅。鉴于这种状况，教材编写者想要达到使师生理解并接受的目的，很重要的一点就是把两个有理数乘法时所涉及到的三个量交代清楚，特别是讲清楚三个量基

8、准的确定和正、负的约定这在一定程度上可以弥补教师和学生在认知基础上存在的不足。下面的这个有理数乘法联系实际例子是七年级学生能够接受的，现以它为例进行剖析。例1（1）自行车一直在向东行驶，速度4米/秒，则10秒钟前自行车位于现在位置的西边40米处；（2）自行车一直在向东行驶，速度4米/秒，则10秒钟后自行车位于现在位置的东边40米处；（3）自行车一直在向西行驶，速度4米/秒，则10秒钟前自行车位于现在位置的东边40米处；（4）自行车一直在向西行驶，速度4米/秒，则10秒钟后自行车位于现在位置的西边40米处。分析此例涉及三个量：速度、时间和路程（严格来讲应该是“位移”，“位移”是物理学术语），它们

9、分别以“米/秒”、“秒”和“米”做为单位。这些师生都是知道的，因此，关键是讲清楚需要确定的三个基准，并约定三对相应的正、负：速度方面以静止时为基准，并约定向东行驶为正，向西行驶为负；时间方面以当前时刻为基准，并约定以后的时间为正，以前的时间为负；路程方面以现在位置为基准，并约定现在位置的东边为正，现在位置的西边为负（当确定了其中二个量的基准，并约定相应的正、负后，第三个量基准的确定以及约定相应的正、负，应注意与前面的二个相对应。事实上三个量在规定时，它们之间必定存在着某种制约关系）。有了这些规定，大家很容易得出例1中的四个例子分别对应以下四个算式：（1）（+4）（-10）=-40；（2）（+4

10、）（+10）=40；（3）（-4）（-10）=40；（4）（-4）（+10）=-40。第三，要尽可能多地找到两个负数相乘联系实际的例子，特别是符合七年级学生认知水平的例子两个负数相乘与实际联系的例子中，要找到符合七年级学生认知水平的，确实是一件非常难的事。而且这些例子基本上是与时间有关的，所以说它们之间是非常相近的。除了前面介绍的两个例子，其它的如水位升降；又如仓库库存的增减；等等。这里举仓库库存增减的例子供读者参考：例2现在是仓库关闭的时间，最近一个阶段，仓库的库存粮食每天都要（1）增加20吨，则3天后仓库库存粮食比现在多60吨；（2）减少20吨，则3天后仓库库存粮食比现在少60吨；（3）增

11、加20吨，则3天前仓库库存粮食比现在少60吨；（4）减少20吨，则3天前仓库库存粮食比现在多60吨。有关三个量基准的确定和正、负的约定请读者自行思考。但是，两个负数相乘联系实际的例子并不缺乏。只是有些例子不太适合或根本不适合七年级学生的认知水平。笔者在这里也举一些供读者参考：在股票的交易中，若不考虑交易费用以及其它的一些细小因素，则也可以从中找到两个负数相乘时的实际例子。例3（1）甲前一阵子买入某种股票5000股，现在这种股票每股上涨3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为可以使自己收益16000元；（2）甲前一阵子卖出某种股票5000股，现在这种股票每股上涨3.2元，按目前形势来看，他上次

12、的交易行为使自己损失16000元；（3）甲前一阵子买入某种股票5000股，现在这种股票每股下跌3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为使自己损失16000元；（4）甲前一阵子卖出某种股票5000股，现在这种股票每股下跌3.2元，按目前形势来看，他上次的交易行为可以使自己收益16000元。说明这里以没有买卖为基准，并约定买入为正，卖出为负；以股价不变为基准，并约定股价上涨为正，股价下跌为负；以没有损益为基准，并约定有收益为正，有损失为负。则例2中的四个例子分别对应以下四个算式：（1）（+5000）（+3.2）=16000；（2）（-5000）（+3.2）=-16000；（3）（+5000）（-3.2）=-16000；（4）（-5000）（-3.2）=16000。 物理与数学的联系非常密切，物理中蕴藏着很多有关两个负数相乘联系实际的例子。例4（1）物体以5米/秒的速度向左运动，同时受到100牛顿的向左拉力，则拉力对物体做正功，功率500瓦；（2）物体以5米/秒的速度向左运动，同