短时傅里叶变换STFT

1、短时傅里叶变换 FT在信号处理中的局限性: 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。1.短时傅里叶变换简介提出与基本思想 鉴于傅里叶变换的缺陷提出了窗函数的概念，提出一个灵活可变的时间-频率窗，使得在这个窗内能够体现频率的信息，这种信号分析方法称为时间-频率分析。而窗固定的时间-频率分析方法即为短时傅里叶变换。 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）。其主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变换，加窗后使得变换为时间t附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据t的位置

2、变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化。 STFT定义:1946年，Gabor就提出了STFT，给定一信号，其STFT定义为: 短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率的函数又是时间t的函数。 2)周期性：是关于的周期函数，周期为2。jjxetmxdetmxtS)(),()()(),(窗函数窗函数 （1.1） 公式涵义： 在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号作傅里叶变换，即在t时刻得该段信号的傅里叶变换，不断地移动t，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换，这些傅里叶变换的集合，即是 。 STFT可以看成是用基函数 来代替傅里

3、叶变换中的基函数。),(tSxjtetmm)()(,0200400600800100012001400160018002000-0.4-0.3-0.2-0.3)(x)(tm （1.1）式内积的结果即可实现对进行时频定位的功能。对 两边做傅里叶变换，有 式中 和 是等效的频率变量 jtetmm)()(,deetmMjjt)()(,t detmetjtj)()()(tjeM)()(该式指出，对 在时域加窗 ，引导在频域对 加窗 。)(x)(tm)(X)(),()(),(,21,ttMXmtxdeMXetStjtjx)()(),(21所以)(M信号谱信号谱窗谱窗谱deMXtj)(

4、21)()(Parseval定理定理 窗函数的中心和半径： 定义非平凡函数 称为一个窗函数，如果 也是属于 的，这个窗函数的中心定义为：半径定义为： RLw2 xxw RL2dxxwxwt222*12122*2)()(1dxxwtxww 这样我们可以认为函数 集中定义在以 为中心， 为半径，长为 的区间 上，取此区间为的有效区间是合适的。 对函数 其中心为 半径为 ，对 的Fourier变换 设其中心为 半径为 矩形 ， 称为函数 的时-频窗。该窗的面积为 w*twwwtt*,*w2w*tw*wwww*,*wwttwwww*,www222.测不准定理 以Gabor函数为例，令Gabor数函为窗

5、函数，已知Gabor函数的表达式如下：以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为则Gabor函数的中心和半径为： ataeatg4221 dtgfetsai),(dxxgxgtaa222|)(|1*根据窗函数半径公式，可知道Gabor窗函数的半径为：因为窗的面积为 ，对于Gabor窗函数说 ， 因为 为 的傅里叶变换，则对于Gabor函数就要求出 的傅里叶变换 ，再代入上式得出 ，则 经计算得 adxxgtxgbabagba2122*2122baggbagbagaabag2141g则有： 可以证明，不论采用何种函数作为窗函数，其时间窗和频率窗宽度的乘积的最小值都是2，这就是

6、测不准原理，此定理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号，因此就必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。 当利用STFT时，若我们希望能得到好的时-频分辨率，或好的时-频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函数 ，遗憾的是，由于受不定原理的限制，我们无法做到使同时为最小。 221422aabagag)(g 当我们对信号作时-频分析时，一般，对快变的信号，我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度要小，受时宽-带宽积的影响，这样，对该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应的是高频信号，因此对这一类信号，我们希望有好的时间分辨率，但

7、同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。 3.短时傅里叶变换缺陷短时傅里叶变换 窗口ttt1t212tm, 窗函数 的特点： 随着 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取被变换函数的信息； 函数族 确定的时频窗口只是随 发生平移，窗口的大小和形状固定不变.tm,t ,t ,tm, 前面推导了测不准定理，知道STFT不具备自动调节能力 窗函数选定形状不会发生改变时频窗在时间轴频率轴方向上的宽度确定时频分辨率确定不随时间、频率的变化而变化 从上面的分析我知道，如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。因为受到不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2，故不能兼顾频率与时间分辨率的需求，这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一