次序统计量及其分布

1、一、次序统计量一、次序统计量二二、样本中位数和样本极差样本中位数和样本极差第第1.41.4节节 次序统计量及其分布次序统计量及其分布一、次序统计量一、次序统计量1、 次序统计量次序统计量1212121212( )( )( )(,),(,),(,)(,),TnTnnTTnnXXXXxxxxxxXXXxxx 设设是是从从总总体体 中中抽抽取取的的一一个个样样本本是是其其一一个个观观测测值值 将将观观测测值值按按由由小小到到大大的的次次序序重重新新排排列列为为当当取取值值为为时时 定定义义121 2( )( )( )( )( )(, ,), (,)kkTnXxknXXX 取取值值为为由由此此得得到到

2、称为样本称为样本的的次序统计量次序统计量.12(,)TnXXX特别地，特别地，.min1)1(称称为为最最小小次次序序统统计计量量iniXX .max1)(称称为为最最大大次次序序统统计计量量ininXX .),()()2()1(称称为为其其观观测测值值对对应应的的nxxx.),(:21)(个个次次序序统统计计量量的的第第样样本本kXXXXnk注注.,),()()2()1(21)(一般不相互独立一般不相互独立并且它们并且它们也都是随机变量也都是随机变量所以所以的函数的函数都是样本都是样本由于每个由于每个nnkXXXXXXX定义定义1.1212,nXXX设设样样本本按按由由小小到到达达的的顺顺序

3、序重重排排为为12( )( )( )nXXX1212( )( )( )( ),)(,)TTnnkXXXXXXXk则则称称( (为为样样本本的的次次序序统统计计量量，称称为为样样本本的的第第 个个次次序序统统计计量量, ,1( )( ),nXX称称为为样样本本的的最最小小次次序序统统计计量量称称为为样样本本的的最最大大次次序序统统计计量量. .2、次序统计量的性质、次序统计量的性质定理定理1.19 次序统计量是充分统计量次序统计量是充分统计量证证 由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件分布与总体分布无关即可分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分

4、由于样本具有独立性与同分布性，因而布性，因而1111( )( )( )( ),|,nnnnP XxXxXxXx1111( )( )( )( )( )( ),|,niinnnP XxXxXxXxc 1211 2-( ,)( , , )!( !)ni iinncn 其其中中是是的的一一个个置置换换，这这样样的的置置换换共共, ,因因而而。由由此此可可见见，此此条条件件分分布布与与总总体体无无关关，故故次序统计量是充分统计量次序统计量是充分统计量.3、次序统计量的分布、次序统计量的分布定理定理1.19 ( )(Xf x设设总总体体 的的分分布布密密度度为为或或分分布布函函数数12( ),nkF xX

5、XXXkX为为为为来来自自总总体体 的的样样本本，则则第第个个次次序序统统计计量量的的分分布布密密度度为为111()!( )( )( )( )()!()!kkn kXnfxF xF xf xknk1 2, , .kn 其其中中证证根据分布函数的定义，可以得到根据分布函数的定义，可以得到11()( )( )()( )( )()knXkiini kFxP XxPXxXXx 11( )()( )niini kP XxXP Xx 1212( ) () , . (,)( )( ,( ),nnTnnvxxx xxxXnXxXXXxvxB nF x 设设表表示示中中不不超超过过 于于的的个个数数 它它表表示

6、示的的是是总总体体作作 次次重重复复独独立立观观测测时时，事事件件出出现现的的次次数数，也也就就是是样样本本观观测测中中不不超超过过 的的个个数数，因因而而因因此此111()( )()( )( ) = ( ) ( )knXiini kni kFxP XxXP XxP v xiP v xn 11 =( ) ( )niin ini kC F xF x 1011( )! =()d ()()!()!F xkn kntttknk 利利用用分分部部积积分分因此因此111!( ) =( )( )( )()!()!kkn kXnfxF xF xf xknk （ ）11121( )( )( )( )( )( )

7、nXXfxnF xf x 最最小小次次序序统统计计量量的的分分布布密密度度为为11()( )( )( )( )( )nnnXXfxn F xf x 最最大大次次序序统统计计量量的的分分布布密密度度为为说明说明例例1(p30例例1.18)120 1( ) , ,(,),.nkXXXXXX 设设总总体体服服从从区区间间上上的的均均匀匀分分布布为为总总体体 的的样样本本 试试求求的的分分布布解解1010,( ),Xxf x 总总体体 的的分分布布密密度度为为其其他他000111,( ),XxF xxxx 的的分分布布函函数数为为111!( ) =( )( )( )()!()!kkn kXnfxF x

8、F xf xknk （ ）11011! =( )(), .()!()!kn knxxxknk定理定理1.20 ( )(Xf x设设总总体体 的的分分布布密密度度为为或或分分布布函函数数1212( )( ),(,)nTnF xXXXXXXX（ ）（ ）为为为为来来自自总总体体 的的样样本本，则则次次序序统统计计量量的的联联合合分分布布密密度度为为121120!(), (,), niininnfyyyyf yyy 其其他他，证明省略证明省略例例2(p30例例1.19)120 , ,(,),.nXXXXX 设设总总体体服服从从区区间间上上的的均均匀匀分分布布为为总总体体 的的样样本本 试试求求样样本

9、本的的联联合合分分布布解解100,( ),Xxf x 总总体体 的的分分布布密密度度为为其其他他121200!, ,(,), nnnnyyyf yyy 样样本本的的联联合合分分布布为为其其他他，定理定理1.21 ( )(Xf x设设总总体体 的的分分布布密密度度为为或或分分布布函函数数121( )( ),(,)nTnF xXXXXXX（ ）为为为为来来自自总总体体 的的样样本本，则则次次序序统统计计量量的的联联合合分分布布密密度度为为1210( )()(,)()( )( )( ) ( ),( , ), nnXXn nF yF xf x f yxyfx y 其其他他，证证根据分布函数的定义可得根

10、据分布函数的定义可得11( )()(,)( )( )( , ),nXXnFx yP Xx Xy以下分两种情形讨论：以下分两种情形讨论：1 ( )xy 当当时时，11( )()(,)( )( )( )( , ),nXXnnFx yP Xx XyP Xy11( )( )( ),( )nnniiP XyXyP XyF y 2( )xy 当当时时，11( )()(,)( )( )( , ),nXXnFx yP Xx Xy1111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),nnnnnXyXx XyXx XyXx XyxXyxXy又又由由于于因而因而1( )()(,)( )( , )( )(

11、)nnnXXF yFx yF yF x所以所以1( )()(,)( , )( )( )( )nnnXXFx yF yF yF x于是可以得到其联合分布密度为于是可以得到其联合分布密度为112210( )()( )()(,)(,)( , )( , )()( )( )( ) ( ), nnXXXXnFx yfx yx yn nF yF xf x f yxy 其其他他，二、样本中位数和样本极差二、样本中位数和样本极差1212( )( )( ),)(,)TnTnXXXXXX 设设( (为为样样本本的的次次序序统统计计量量，样样本本的的中中位位数数定定义义为为1212212()()() , nnnXnX

12、XXn ，为为奇奇数数，为为偶偶数数，1、样本中位数、样本中位数定义定义其观测值为其观测值为1212212()()() , nnnxnxxxn ，为为奇奇数数，为为偶偶数数， 2、样本中位数的意义、样本中位数的意义 样本中位数主要用来描述样本位置的特征，样本中位数主要用来描述样本位置的特征，具有和样本均值类似的含义，但它不受样本异常值具有和样本均值类似的含义，但它不受样本异常值的影响，同时也容易计算，也可以作为总体均值的的影响，同时也容易计算，也可以作为总体均值的估计估计. 缺点是分布不容易计算，因而在理论讨论时，缺点是分布不容易计算，因而在理论讨论时，带来一定困难带来一定困难.3、样本极差、

13、样本极差1212( )( )( ),)(,)TnTnXXXXXX 设设( (为为样样本本的的次次序序统统计计量量，样样本本的的极极差差定定义义为为定义定义111( )( )maxminniii ni nRXXXX 其观测值为其观测值为111( )( )maxminniii ni nrxxxx 4、样本极差的意义、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以作为总体均方差的估计作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛在实际中应用比较广泛.例例3(p32例例1.20) 从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为6的样本，的样本，测得样本值为测得样本值为32, 65, 28, 35, 30, 29试求试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、以及样本标准差。以及