第4章 静定杆系结构内力分析02

1、 4.2 梁的内力计算和内力图1 一、静定梁的形式一、静定梁的形式 二、梁的内力计算二、梁的内力计算 三、梁的内力图三、梁的内力图 梁是建筑结构中最常见的一种结构形式，在竖向荷载作梁是建筑结构中最常见的一种结构形式，在竖向荷载作用下以弯曲变形为主。用下以弯曲变形为主。2梁的特点：梁的特点：荷载垂直于杆件轴线的横向荷载，变形以挠曲为主。荷载垂直于杆件轴线的横向荷载，变形以挠曲为主。起横向连接作用，是间接传力构件。起横向连接作用，是间接传力构件。 简支梁的变形图简支梁的变形图 悬臂梁的变形图悬臂梁的变形图 4.2 梁的内力计算和内力图一、静定梁的形式3 | 简支梁简支梁AHARBRABABABAH

2、ARBRARAHAMABCABDEFDFCE| 外伸梁外伸梁 | 多跨静定梁多跨静定梁 | 悬臂梁悬臂梁先附属，后主体先附属，后主体二、梁的内力4截面法求梁的内力截面法求梁的内力(1)(1)计算梁的支座反力计算梁的支座反力(2) (2) 截取截面并选取隔离体截取截面并选取隔离体( (3) 3) 绘受力图绘受力图(4) (4) 列平衡方程，求解未知内力。列平衡方程，求解未知内力。例例4-1 试求图示伸臂梁截面试求图示伸臂梁截面C的弯矩的弯矩Mc、截面截面A的剪力的剪力FQA左左、 FQA右右DD2kN/m6kNACFByBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/mDD2kN/m6kNACFB

3、yBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/m【解解】 (1)求支座反力求支座反力 A0M2B1622242yFB2yFkN（） 0yF 由由则则解得解得由由AB226yyFF则则A8yFkN（） 解得解得0 xF由由解得解得A0 xFDD2kN/m6kNACFByBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/mCBFQC右MNCFC2kNA2kN/mDFFNAQA左MABCA6kN2kNAFNAMQA右FCBFQC右MNCFC2kNA2kN/mDFFNAQA左MABCA6kN2kNAFNAMQA右FCBFQC右MNCFC2kNA2kN/mDFFNAQA左MABCA6kN2kNAFNAMQ

4、A右F(2)用截面法求指定截面的内力用截面法求指定截面的内力求截面求截面C的弯矩的弯矩 0CM24( )CByMFkN m0yF 224QAFkN 左0yF 624QAFkN右求求A左截面的剪力左截面的剪力 求求A右截面的剪力右截面的剪力 由由解得解得由由解得解得由由解得解得应用截面法计算指定截面内力的技巧应用截面法计算指定截面内力的技巧 (1)(1)选取受力较为简单的部分作为隔离体，以简化选取受力较为简单的部分作为隔离体，以简化计算计算; ;(2)(2)隔离体的受力必须完整，即应将隔离体受到的隔离体的受力必须完整，即应将隔离体受到的外荷载、支座反力和截开截面的内力这三种力全部外荷载、支座反力

5、和截开截面的内力这三种力全部绘制在受力图中；绘制在受力图中；(3)(3)应熟练掌握平衡方程的列法，尽量避免求解联应熟练掌握平衡方程的列法，尽量避免求解联立方程组。立方程组。4.2.3 内力图及其与荷载的关系内力图及其与荷载的关系工程师通常采用内力方程或工程师通常采用内力方程或内力图表示杆件的内力沿杆内力图表示杆件的内力沿杆轴线的变化规律。轴线的变化规律。 内力图一般以杆件轴线为基内力图一般以杆件轴线为基线，以垂直于基线的竖标表线，以垂直于基线的竖标表示对应位置处梁截面的内力示对应位置处梁截面的内力值。正的剪力和轴力一般绘值。正的剪力和轴力一般绘于基线上方并注明正负，弯于基线上方并注明正负，弯矩

6、绘于杆件受拉一侧。矩绘于杆件受拉一侧。 DACB图(kNm)M44DACB图(kNm)M4442图(kNm)BCADQF42图(kNm)BCADQF4424DD2kN/m6kNACFByBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/m【例例】 求作图示悬臂梁的内力图。求作图示悬臂梁的内力图。( )QFxF【解解】1 1、建立坐标系、建立坐标系以水平向左为以水平向左为x x轴正向，如图轴正向，如图( )(M xF x上侧受拉）2 2、选取隔离体，写出内、选取隔离体，写出内力方程力方程3 3、根据内力方程画内力、根据内力方程画内力图图M(x)FQ(x)M(x)xFFLFQ(x)xFLFAB【解解】

7、1 1、取隔离体，写出内、取隔离体，写出内力方程力方程2 2、根据方程画内力图、根据方程画内力图( )QFxqx 21( )( )2M xqx qM(x)FQ(x)FQ(x)xM(x)x22qLLqqL【例例】 求作图示悬臂梁在均布荷载下的内力图。求作图示悬臂梁在均布荷载下的内力图。x可见，杆件内力图的形可见，杆件内力图的形状特征与外荷载的性质状特征与外荷载的性质及其作用位置相关，且及其作用位置相关，且具有一定规律。具有一定规律。 M图图FQ图图剪力图上某点切线的斜率剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷等于相应截面处的分布荷载集度。在均布荷载区段，载集度。在均布荷载区段，剪力图为一条斜

8、直线。剪力图为一条斜直线。弯矩图上某点切线的斜率弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面的剪力值，等于相应截面的剪力值，而弯矩图的曲率则等于相而弯矩图的曲率则等于相应截面处分布荷载的集度。应截面处分布荷载的集度。在均布荷载区段，弯矩图在均布荷载区段，弯矩图为抛物线，弯矩图的凸出为抛物线，弯矩图的凸出方向与由分布荷载的方向方向与由分布荷载的方向一致。一致。内力图与荷载的关系内力图与荷载的关系M图图FQ图图在无荷载段，剪力图斜率为在无荷载段，剪力图斜率为0，是平行于杆轴的直线；是平行于杆轴的直线；在集中力作用处，剪力图有突在集中力作用处，剪力图有突变，其突变值等于集中力的数变，其突变值等于集中力的数值值

9、在无荷载段，弯矩图为斜直线；在无荷载段，弯矩图为斜直线；在集中力作用处，弯矩图无突变，在集中力作用处，弯矩图无突变，但有转折，突出方向与荷载方向但有转折，突出方向与荷载方向一致。一致。M图图FQ图图在集中力偶作用处，弯矩值在集中力偶作用处，弯矩值（图）有突变，其突变值等（图）有突变，其突变值等于集中力偶的数值，而剪力于集中力偶的数值，而剪力值（图）没有变化。值（图）没有变化。 悬臂梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图悬臂梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图M图图FQ图图无荷载无荷载水平直线水平直线+斜直线斜直线或或集中力集中力FCC处有突变处有突变FC处尖角与处尖角与F方向一致方向一致在剪力突变在

10、剪力突变的截面的截面集中力偶集中力偶MCC处无变化处无变化C处有突变两侧处有突变两侧弯矩图平行弯矩图平行M在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面荷载荷载情况情况剪力图剪力图特征特征弯矩图弯矩图特征特征最大弯矩最大弯矩截面截面剪力图与弯矩图的特征剪力图与弯矩图的特征在在FQ=0的截面的截面斜直线斜直线q0抛物线抛物线下下凸凸上上凸凸【例例4-2】 试求作图示伸臂梁的弯矩试求作图示伸臂梁的弯矩图和剪力图。图和剪力图。DD2kN/m6kNACFByBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/m【解解】 (1) 求支座反力求支座反力 (2) 作弯矩图作弯矩图根据内力图的上述特征，可简化内力图的作图过

11、程：根据内力图的上述特征，可简化内力图的作图过程：DACB图(kNm)M44DACB图(kNm)M44DACB图(kNm)M44DACB图(kNm)M44关键截面为关键截面为A、B、C、D 截面截面先采用截面法求出杆件上某些特殊截面的内力，如均布荷载作用的先采用截面法求出杆件上某些特殊截面的内力，如均布荷载作用的始末截面、集中力或集中力偶作用截面、中间支座截面等，称为关始末截面、集中力或集中力偶作用截面、中间支座截面等，称为关键截面，再利用内力图特征直接绘制内力图。键截面，再利用内力图特征直接绘制内力图。 CB段段 0BMAC段段 4CMkN mDA段：段：0DM4AMkN m(3) 作剪力图

12、作剪力图 DD2kN/m6kNACFByBAyFFAx2m2m2mBCA6kN2kN/mCBFQC右MNCFC2kNCBFQC左MNCFC2kN6kNCBFQC右MNCFC2kNCBFQC左MNCFC2kN6kN42图(kNm)BCADQF42图(kNm)BCADQF442442图(kNm)BCADQF42图(kNm)BCADQF4424DA段：段：0QDF 4QAFkN 左4QAFkN右， AC段：段： 4QCFkN左2QCFkN 右， CB段：段：2QBFkN 【例例4-4】4.2.4 分段叠加法分段叠加法ByFAxFFAyD2kN/m10kNACB3m3m3mE2m3kNm复杂荷载情形下

13、，可进一步利用简支梁受简单荷载复杂荷载情形下，可进一步利用简支梁受简单荷载作用的内力图特性简化内力图作图过程。作用的内力图特性简化内力图作图过程。 叠加法作简支梁的弯矩图叠加法作简支梁的弯矩图在力偶荷载在力偶荷载 Mi 和和 Mj 作用下的作用下的弯矩弯矩图。图。 在均布荷载作用下的在均布荷载作用下的M图。图。 叠加得到实际弯矩图叠加得到实际弯矩图qlMiMjijMiijMjiMMjM +Mj2iqlMiMjijMiijMjiMMjM +Mj2i2ql8iqjMMi8jql2ij+jMMi2dbace2ql8iqjMMi8jql2ij+jMMi2dbace2) 分段叠加法作任意直杆段的弯矩图分

14、段叠加法作任意直杆段的弯矩图作此梁中杆段作此梁中杆段AB的的M图。图。 截取截取AB杆段。杆段。等价简支梁。等价简支梁。用叠加法作用叠加法作AB段段的的M图。图。可见，若杆件任一区段两端弯矩可见，若杆件任一区段两端弯矩已知，则可利用简支梁弯矩图的已知，则可利用简支梁弯矩图的叠加法作出该区段的弯矩图，称叠加法作出该区段的弯矩图，称此方法为分段叠加法。此方法为分段叠加法。 简支梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图简支梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图M图图FQ图图悬臂梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图悬臂梁在单一荷载作用下的弯矩图和剪力图M图图FQ图图【例例4-3】ByFAxFFAyD2kN/m10

15、kNACB3m3m3mE2m3kNmCADDACBEFQ图(kNm)M图(kNm)315152.25828EBCADDACBEFQ图(kNm)M图(kNm)315152.25828EB【例例4-4】(1) (1) 求支座反力。求支座反力。(2) (2) 确定控制截面并将梁分段，计算各控制截面的弯矩确定控制截面并将梁分段，计算各控制截面的弯矩和和 剪力值。剪力值。 控制截面通常取在均布荷载的起点和终点、集中控制截面通常取在均布荷载的起点和终点、集中力和支反力作用点等处。力和支反力作用点等处。(3) (3) 逐段用区段叠加法作逐段用区段叠加法作M M 图。图。(4) (4) 利用各控制截面的剪力值

16、及剪力图的形状特征，逐利用各控制截面的剪力值及剪力图的形状特征，逐段作段作F FQ Q 图。图。分段叠加法求作梁杆内力图的步骤：分段叠加法求作梁杆内力图的步骤：4.2.5 斜简支梁斜简支梁 斜简支梁常见于房屋建筑中的楼梯梁和坡屋面梁。斜简支梁常见于房屋建筑中的楼梯梁和坡屋面梁。 1）内力特点）内力特点斜梁内力有弯矩斜梁内力有弯矩M、剪力、剪力FQ以及轴力以及轴力FN。2) 荷载简化荷载简化 cos恒活恒活qqqqqdsq活活q恒恒q lldxq活活 FNA FQA 反力反力FyA FyAFyBFyBABB恒恒 qA8/2ql/2qlFQ图2qlM图BABBql28AAql2coscos2qlq

17、lsin22qlsinFQ图M图NF 图FN图000QQNQcossinKKKKKKMMFFFF ，二、梁的内力29| 1 1、截面法求梁的内力、截面法求梁的内力 求图求图a示示m-m截面上的内力截面上的内力画出受力图如图画出受力图如图b所示，对所示，对于左半部分于左半部分0Y0ARVAVR0omMAMRdV 剪力（剪力（N或或kN）M 弯矩（弯矩（N m或或kNm）ARBRmmPARVMABVMO（a）（b）dlaBRP0AH ARd0二、梁的内力30| 2 2、弯矩、剪力正负的规定、弯矩、剪力正负的规定（1 1）剪力剪力V V 对所留下部分体内任意一点有对所留下部分体内任意一点有顺时针转动

18、趋势为正顺时针转动趋势为正，反之为负反之为负。 剪力正负号的规定剪力正负号的规定leftV 外力外力rightV 外力外力left外力外力 V right外力外力 V 二、梁的内力31| 2 2、弯矩、剪力正负的规定、弯矩、剪力正负的规定 （2）弯矩）弯矩M 以梁段弯曲向下凸，即以梁段弯曲向下凸，即梁段下部纤维受拉为正梁段下部纤维受拉为正， 反之为负反之为负。 弯矩正负号的规定弯矩正负号的规定+M leftrightM rightleft二、梁的内力32| 例例1 1 一外伸梁如图一外伸梁如图a a所示，试求截面所示，试求截面1-11-1、2-22-2上的剪上的剪力和弯矩。力和弯矩。解解: :

19、（1 1）计算支座反力）计算支座反力 14kNAR 得得： 0Bm由由 3 89kNBR 得得： 0Am由由 0ARBR11220kNF AB2m3m3m1m1.5m2213kNF (a)3206AR03 23206BR二、梁的内力33（2 2）求截面）求截面 1-11-1上的内力上的内力 111kNV 0Y由由 1415kN mM 1( 10 1-1)CmC是是截截面面由由的的形形心心 3 3ARBR11220kNF AB2m3m3m1m1.5m2213kNF (a)301V01M14 113kNF 1V1M14kN14kNAR 9kNBR 二、梁的内力34（3 3）求截面）求截面2-22-

20、2上的内力上的内力 29kN ()V 得得： 负负剪剪力力 0Y由由 9213.5kN mM 得得： 20 ( 22-2)CmC由由 是是截截面面的的形形心心9 1.5ARBR11220kNF AB2m3m3m1m1.5m2213kNF (a)2V02M09kN2V2M二、梁的内力35从方程求解结果，我们可以得到以下结论：从方程求解结果，我们可以得到以下结论： （1 1）梁的任一横截面上的）梁的任一横截面上的 剪力剪力等于等于该截面一侧所该截面一侧所有外力在截面方向分力的有外力在截面方向分力的代数和代数和。当外力使该梁段绕截面形当外力使该梁段绕截面形心有心有顺时针转动趋势时为顺时针转动趋势时为

21、正正，反之为负。，反之为负。（2 2）梁的任一横截面上的）梁的任一横截面上的弯矩弯矩等于等于该截面一侧所有该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代外力对截面形心力矩的代数和数和。 当外力矩（包括外力偶）当外力矩（包括外力偶）使梁段使梁段下侧受拉、上侧受下侧受拉、上侧受压时为正压时为正，反之为负。，反之为负。 二、梁的内力36| 例例1 1 一外伸梁如图一外伸梁如图a a所示，试求截面所示，试求截面1-11-1、2-22-2上的剪上的剪力和弯矩。力和弯矩。 ARBR11220kNF AB2m3m3m1m1.5m2213kNF (a)3 1M 14kNAR 9kNBR 2V2M 1V 1411kN3

22、3 14 15kN m9kN 9 1.5 13.5kN m（3 3）求截面）求截面2-22-2上的内力上的内力 （2 2）求截面）求截面 1-11-1上的内力上的内力 解解: :（1 1）计算支座反力）计算支座反力二、梁的内力37集中力作用处剪力有突变，集中力作用处剪力有突变，集中力偶作用处弯矩有突变。集中力偶作用处弯矩有突变。求求A左截面左截面（ Al 或或 A-）和和A右截面右截面(Ar 或或A+ )上的内力上的内力 ARBR220kNF AB2m3m3m1m1.5m13kNF (a)6kN m13kNAR 10kNBR lAV 3kN 3 2 6kN m lAV 10kN3 lAM 3

23、2 0rAM 61338 梁的内力计算梁的内力计算作业：作业：P P55 55 2-2 d2-2 d、e e；2-3 b2-3 b1 1、截面法求梁的内力：截、取、代、平、截面法求梁的内力：截、取、代、平2 2、剪力和弯矩的正负、剪力和弯矩的正负 剪力剪力V：顺为正，逆为负：顺为正，逆为负 弯矩弯矩M：下拉为正，上拉为负：下拉为正，上拉为负3 3、直接计算剪力和弯矩、直接计算剪力和弯矩 剪力剪力V= =所有外力沿截面方向分力的代数和所有外力沿截面方向分力的代数和 弯矩弯矩M= =所有外力对截面形心力矩的代数和所有外力对截面形心力矩的代数和三、梁的内力图剪力图和弯矩图39一般情况下，一般情况下，

24、梁的不同截面，内力不同梁的不同截面，内力不同。 剪力图：剪力图： 表示剪力沿梁长的变化情况的图形。表示剪力沿梁长的变化情况的图形。弯矩图：弯矩图： 表示弯矩沿梁长的变化情况的图形。表示弯矩沿梁长的变化情况的图形。方法：方法： （1 1）根据内力方程，描点作图）根据内力方程，描点作图 （2 2）根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图）根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图 | 例例2 2 试作图试作图a a所示悬臂梁在集中荷载作用下的剪力图所示悬臂梁在集中荷载作用下的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解解: :（1 1）列弯矩、剪力随截面）列弯矩、剪力随截面位置变化规律方程。位置变化规律方程。

25、1、根据内力方程，描点绘图40 ABFl(a)xVxM(b)(c)建立坐标系：建立坐标系： x轴与梁的轴线重合轴与梁的轴线重合 坐标原点在梁的左端点坐标原点在梁的左端点 纵坐标分别表示纵坐标分别表示V、M内力图中用梁的轴线作为基线内力图中用梁的轴线作为基线弯矩以下侧受拉为正弯矩以下侧受拉为正剪力图剪力图 ：与基线平行的直线。：与基线平行的直线。1、根据内力方程，描点绘图41ABFl(a)xV（2 2）描点作剪力图、弯矩图）描点作剪力图、弯矩图 xMFlF00M lMFl0 x xl弯矩图弯矩图 ：斜直线，两点确定。：斜直线，两点确定。（c）M图图（b）V图图( )V x( )M xF F x

26、剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程取坐标为取坐标为x的任一截面的任一截面m-m，mmx1、根据内力方程，描点绘图42ABFl(a)FlF（c）M图图（b）V图图mmx1、根据内力方程，描点绘图43| 例例3 3 试作图试作图a a所示简支梁在均布荷载作用下的剪力图所示简支梁在均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。和弯矩图。解解: :（1 1）计算支座反力）计算支座反力 2AqlR 2BqlR （2 2）列出剪力方程、弯矩方程）列出剪力方程、弯矩方程q qmm( )V x( )M xARqx2qlqx222qlqxx2AxRxqx ARBRA AB Bxl l(a)(a)1、根据内力方程，描点绘图44剪

27、力图剪力图 ：一斜直线，：一斜直线， 两点确定。两点确定。（3 3）描点作剪力图、弯矩图）描点作剪力图、弯矩图 02qlV AB( )V x( )M x2qlqx222qlqxx2lqlV 弯矩图弯矩图 ：二次抛物线，三点确定。：二次抛物线，三点确定。00M 0lM 2/28lqlM2ql2qlAB28ql（c）M图图（b）V图图0()xA()xl B0 x / 2xlxlqmmARBRABxl(a)1、根据内力方程，描点绘图45（2）列出剪力方程、弯矩方程）列出剪力方程、弯矩方程 以力以力F的作用点的作用点C为界，分段列方程。为界，分段列方程。AC段段CB段段| 例例4 试作图试作图a所示简

28、支梁在集中荷载作用下的剪力图和弯矩图。所示简支梁在集中荷载作用下的剪力图和弯矩图。解解:（1）计算支座反力）计算支座反力 AFbRlBFaRlARBRABC(a)Fab1x2xl1()V x1()M xAR1Fbxl1ARxFbl2()V x2()M xBR 2()Falxl2()BRlxFal 1、根据内力方程，描点绘图（2）列出剪力方程、弯矩方程）列出剪力方程、弯矩方程AC段段CB段段1()V xAR/Fb l2()V xBR /Fa l AB（3）分段描点，作剪力图、弯矩图）分段描点，作剪力图、弯矩图10()xA/AVFb l/CVFb l1()xa C2()xa C/CVFa l /B

29、VFa l 2()xl B/Fb l/Fa lARBRABCF1x2xl(b) V图图(a)1、根据内力方程，描点绘图47（2）列出剪力方程、弯矩方程）列出剪力方程、弯矩方程AC段段CB段段1()M x1Fbxl1ARx2()M x2()Falxl2()BRlx（3 3）分段描点，作剪力图、弯矩图）分段描点，作剪力图、弯矩图(a)AB/Fab l(c) M图图10()xA0AM/CMFab l1()xa C2()xa C/CMFab l0BM2()xl BARBRABCF1x2xlAB/Fb l/Fa l(b) V图图如图如图a所示，梁上作用有任意分布荷载所示，梁上作用有任意分布荷载q(x)，

30、q(x)以向上为以向上为正，取梁中微段正，取梁中微段dx，脱离体如图，脱离体如图b。 2、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图480,Y得得由微段的平衡条件由微段的平衡条件( )d ( )V xV x( )d( )M xM xABV x（ ）( )M xO（a）（b）q(x)xdxq(x)dx( )( )dV xq xx ( )d ( )V xV x0整理得整理得d ( )( )dV xq xx0,OM得得由微段的平衡条件由微段的平衡条件( )( ) d( )dd / 2M xV xxq xxx( )d( )M xM x0略去二次微小量整理得略去二次微小量整理得d( )( )dM xV

31、xx2、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图49( )d ( )V xV x( )d( )M xM xABV x（ ）( )M xO（a）（b）q(x)xdxq(x)dxd ( )( )dV xq xxd( )( )dM xV xx剪力对剪力对x的一阶导数等于的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。梁上相应位置分布荷载的集度。弯矩对弯矩对x的一阶导数等于的一阶导数等于相应截面的剪力。相应截面的剪力。22d( )( )dM xq xx（1）（2）由（由（1）、（）、（2）可得）可得（3）（1）、（）、（2）、（）、（3）式就是弯矩、剪力、荷载集度之间）式就是弯矩、剪力、荷载集度之间 普遍存在的关系式。普遍存在的关系式。2、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图50( )0q x 根据上三式判别弯矩图、剪力图的形状。常见的两种情况根据上三式判别弯矩图、剪力图的形状。常见的两种情况（1）( )V x 常常数数d ( )( )dV xq xxd( )( )dM xV xx22d( )( )dM xq xx剪力图为与基线平行的直线剪力图为与基线平行的直线( )M xx为为 的的一一次次函函数数弯矩图为一斜