平面向量数量积及其坐标表示

1、必更啊歸喇叵Tt则ZAOB = 0叫a与的夹角其范围是0, 7T,一、向量的救量张的足乂(1)向量的夹角定义:设两个非零向量a和方，作OA=/ OB=b,与/共起点当9=0。时，h与b同向当0=90寸，当& = 180。时，k与b反向a与b垂直，记作a丄b（2）数量积的定义:其中：心6,aZ?=lallblcos&娓办口厉勺夹角范围是0 0(a + b) = (a + b)2意=a2 +2a b + b2(2)(a + b)a=0 或 b=0 X反之，a=0i= a -b =0 貞命题(2) a -b =a -cb =c X反之，b=c = ab=a-c真命题(d方)C = Q(方C)X11I

2、LL2、若 I a 1= 1,1Z? 1= 2, c = ar b且c a则向量 a与左的夹角为(120)A.向量的救量张的辔质：设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 肋a与e的夹角，贝9ea = a e 二 a cos(9这三个尤其重要哦！a丄bo ab = 0 判定垂直铀与b同向时a b =|a|b当a与b反向Ht-b = -|a|bH = a nl/lol = a/a A 、Q特别地，a a =ab2=丽计算夹角计算模ab1、已知方是非零的平面向量且满足(a 一 2b)丄a,(b - 2a)丄b，贝!|a与方的夹角题。)2、已知a、b均为单位向量，它们的夹 角是60 9 那

3、么 I ci +3b I ()3、已知平面上三点A、B、kBC =4,CA则 AB BC +的值等于二至问：若C满足 AB =3=5,e CA + CA e AB平面向量数量积的坐标表示问题展示：已知。二（西川）力二（兀22），怎样用乃的坐标表示方厅呢？请同学们看下 列问题.设x轴上单位向量为 请计算下列式子：小_o,Y轴上单位向量为jP H VJ9 J = JL# H 0 Jl = 已知：（? = xJ+= xJ + y2j,那么如何推导出脚坐标公式？ 解：歸=（兀+财）（兀2+诂）H2H pH Hp2=坷幻 +兀心2 J + W J + JiJzJ这就是向量数量积的坐标表示。由此我 们得到

4、:两个向量的数量积等于它们对坐 标的乘积之和。探讨合作:非零向量。二（心开）0二（兀22），它们的 夹角&，如何用坐标表示cos。若才丄万你又能 得到什么结论?结论：(l)cos 0 =x1x2 + y1y22+歹2(20 丄 u 兀1 兀2 + V2 = 0_ 9： (2% 丄00X1*2+川2=0 与 d lib OX 丿2 一 兀 2丿1 = 0的区别。公式：（2）a 丄为 oq.为= 0=Q 丄 b U XrX2 + 开了2 = 03肓羞J例题分析例设 = (5,-7)方=(-6,-4),求乩旷.解：不万二 5x(-6) + (-7)x(-4)二-2N万的夹角有多大?例1、已知a =

5、(3,2) 0 = (1, 1),求向量 。与厉勺夹角的余弦值。练习：已知A (1,2) ,B( 253 ) 5C( -255 )，求证 Ape是直角三角形.证明:A3 = (2-1,3-2) = (1,1)呢=(-2-2,5-3) = (-4,2)想一想：还 有其他证明 .方法吗亠AC (2 1,5 2) = (3,3)/. A5-AC = lx(-3) + lx3 = 0 。所以ABC是直角三角形1.若hA色b.Ecd656565652、已知:=(cosa，sina),才二(cos#，sin0)=(cosa + cos0，sina + sin 0)(cosa-cos0,sina sin 0) = cos2 a-cos2 y + sin2 cr-sin2 0.(+/)丄(PF)3、设a =(m+l) i 一 3j, b=i+(m -l)j, 且(a + b)丄(a求实数m 的值。定义：给定斜率为:的直线则向量 m = Cl,