圆锥曲线的性质

1、2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)设椭圆设椭圆 =1(ab0)=1(ab0)上任意一点上任意一点P(x,y),P(x,y),则当则当x=0 x=0时时,|OP|,|OP|有最有最小值小值_,_,这时这时,P,P在短轴端点处在短轴端点处; ;当当x=x=a a时时,|OP|,|OP|有最大值有最大值_,_,这时这时,P,P在在长轴端点处长轴端点处. .(2)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形, ,其中其中a a是斜边长是斜边长,a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .(3)(3)已知过焦

2、点已知过焦点F F1 1的弦的弦AB,AB,则则ABFABF2 2的周长为的周长为_._.(4)(4)若若P P为椭圆上任一点为椭圆上任一点,F,F为其焦点为其焦点, ,则则a-c|PF|a+c.a-c|PF|a+c.2222xyabb ba a4a4a二、椭圆二、椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax1、范围：、范围：, 122 ax得：得：122 by -axa, -byb 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab2.(20142.(2014福州模拟福州模拟) )若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 的中心的中心

3、和左焦点，点和左焦点，点P P为椭圆上的任意一点，则为椭圆上的任意一点，则 的最大值为的最大值为 ( ) ( )A.2 B.3 A.2 B.3 C.6 C.6 D.8D.822xy143OP FP 【解析】【解析】选选C.C.由椭圆方程得由椭圆方程得F(-1,0)F(-1,0)，设，设P(xP(x0 0，y y0 0) )，则则 =(x=(x0 0，y y0 0) )(x(x0 0+1+1，y y0 0)=x)=x0 02 2+x+x0 0+y+y0 02 2. .因为因为P P为椭圆上一点，所以为椭圆上一点，所以所以所以= =因为因为-2x-2x0 022，所以所以 的最大值在的最大值在x

4、x0 0=2=2时取得，且最大值等于时取得，且最大值等于6.6.OP FP 2200 xy1.4322000 xOPFP xx3(1)4 22000 x1x3x22.44 OP FP 4、椭圆的离心率椭圆的离心率ace 离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就就越小，椭圆就越扁越扁因为因为 a c 0，所以，所以0ebabceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b

5、,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前2.2.求椭圆离心率的方法求椭圆离心率的方法(1)(1)直接求出直接求出a a，c c的值，利用离心率公式直接求解的值，利用离心率公式直接求解. .(2)(2)列出含有列出含有a a，b b，c c的齐次方程的齐次方程( (或不等式或不等式) )，借助于，借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b b，转化为含有，转化为含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解. .提醒提醒: :当椭圆焦点位置不明确时，可设为当椭圆焦点位置不明确时，可设为 (m(m0,n0,n0,0,mn)mn

6、)，也可设为，也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A=1(A0,B0,B0,0,且且AB).AB).22xy1mn【变式训练】【变式训练】如图如图, ,椭圆椭圆C: (ab0)C: (ab0)的左焦点为的左焦点为F F1 1, ,上顶点上顶点为为B B2 2, ,右顶点为右顶点为A A2 2, ,过点过点A A2 2作作x x轴的垂线交直线轴的垂线交直线F F1 1B B2 2于点于点P,P,若若|PA|PA2 2|=3b,|=3b,则则椭圆椭圆C C的离心率为的离心率为. .2222xy1ab【解析】【解析】由题意知由题意知答案答案: :21212BOFObc11,e.PAFA3b

7、a c32，所以所以125、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴e22222221ababaace6 6已知焦点在已知焦点在x x轴上的双曲线的渐近线方程是轴上的双曲线的渐近线方程是y y4x4x，则该，则该双曲线的离心率为双曲线的离心率为_【解析】【解析】因为焦点在因为焦点在x x轴上的双曲线的渐近线方程是轴上的双曲线的渐近线方程是y y4x4x，

8、所以所以b b4a4a，c c2 217a17a2 2，答案：答案：e17.172.(20142.(2014长春模拟长春模拟) )过双曲线过双曲线 的左焦点的左焦点F(F(c,0)(cc,0)(c0)0)作圆作圆 的切线，切点为的切线，切点为E E，延长，延长FEFE交交双曲线右支于点双曲线右支于点P P，若，若 则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为( )( )2222xy1(a 0 b 0)ab ， 222axy4 OF OP 2OE ，1010A. 2 B. C. D. 1052【解析】【解析】选选C.C.设双曲线的右焦点为设双曲线的右焦点为A A，则，则 故故 即即|OE|OE| |AP

9、|.|AP|.所以所以E E是是PFPF的中点，所的中点，所以以|AP|AP|2|OE|2|OE| 所以所以|PF|PF|3a.3a.在在RtRtAPFAPF中，中，a a2 2(3a)(3a)2 2(2c)(2c)2 2，即，即10a10a2 24c4c2 2，所以，所以 即离心率为即离心率为 选选C.C.OFOA ，OF OP OP OA AP 2OE ，12a2a.2 25e2 ，5e 2102，【易错误区【易错误区2020】求双曲线离心率的易错点求双曲线离心率的易错点【典例】【典例】(2014(2014天津模拟天津模拟) )已知双曲线已知双曲线的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 则该

10、双曲线的离心率为则该双曲线的离心率为_. . 22xy1(mn 0)mn 4yx3，【类题试解】【类题试解】双曲线的两条渐近线的夹角为双曲线的两条渐近线的夹角为6060，则双曲线的，则双曲线的离心率为离心率为_._.【解析】【解析】渐近线斜率是渐近线斜率是 而夹角是而夹角是6060. .因为两直线关于因为两直线关于x x轴对称，所以和轴对称，所以和x x轴夹角是轴夹角是3030或或6060. .即即 或或 若若 若若 b b2 2=3a=3a2 2，c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=4a=4a2 2，e e2 2=4=4，e=2.e=2.答案：答案：2 2或或ba ，b3tan 30a

11、3，btan 603a，222222b3a3bcab4ba3，222c42 3ee.a33，b3a，2 33【解析】【解析】答案：答案：【误区警示】【误区警示】【规避策略】【规避策略】小小 结结xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象 xyo2 2(2014(2014烟台模拟烟台模拟) )已知双曲线已知双曲线 的左顶点为的左顶点为

12、A A1 1，右，右焦点为焦点为F F2 2，P P为双曲线右支上一点，则为双曲线右支上一点，则 的最小值为的最小值为( )( )A A2 B2 B C C1 1 D D0 022yx13 12PA PF 8116【解析】【解析】选选A.A.设点设点P(xP(x，y)y)，其中，其中x1.x1.依题意得依题意得A A1 1( (1,0)1,0)，F F2 2(2,0)(2,0)，则有，则有 y y2 23(x3(x2 21)1)， ( (1 1x x，y)y)(2(2x x，y)y)(x(x1)(x1)(x2)2)y y2 2x x2 23(x3(x2 21)1)x x2 24x4x2 2x

13、x5 5 其中其中x1.x1.因此，当因此，当x x1 1时，时， 取得最小值取得最小值2 2，选，选A.A.22yx13 ，12PA PF 21814(x)816 ，12PA PF 2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)双曲线为等轴双曲线双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的离心率e=_e=_双曲线的两条渐双曲线的两条渐近线互相近线互相_._.(2)(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系: :当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时, ,渐近渐近线斜率为线斜率为 , ,当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时, ,渐近线斜率为渐近线斜

14、率为 . .(3)(3)渐近线与离心率：渐近线与离心率： =1(a0,b0)=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为的一条渐近线的斜率为 =_.=_.(4)(4)若若P P为双曲线上一点为双曲线上一点,F,F为其对应焦点为其对应焦点, ,则则|PF|_c-a.|PF|_c-a.2垂直垂直baab2222xyabba2e1例题例题1:求双曲线求双曲线14416922xy的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率,渐近线方程。渐近线方程。渐近线方程有两种形式渐近线方程有两种形式,xy34:故所求渐近线方程为说明说明:求渐近线方程最简捷的办法求渐近线方程最简捷的办法是令常数

15、项为零再分解因式是令常数项为零再分解因式解解:0)43)(43 (016922xyxyyx得令5 5(2014(2014天津模拟天津模拟) )双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为_._.【解析】【解析】因为双曲线方程为：因为双曲线方程为： 所以其渐近线方程所以其渐近线方程为：为： 即即4x+3y=04x+3y=0或或4x-3y=0.4x-3y=0.答案：答案：4x+3y=04x+3y=0或或4x-3y=04x-3y=022xy191622xy1,9164yx,3双曲线的方程的设法双曲线的方程的设法(1)(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其方程可设当已知双曲线的焦点不明确而又无

16、法确定时，其方程可设为为AxAx2 2+By+By2 2=1(AB=1(AB0),0),这种形式在解题时更简便这种形式在解题时更简便. .(2)(2)当已知双曲线的渐近线方程当已知双曲线的渐近线方程bxbxay=0,ay=0,求双曲线方程时，可求双曲线方程时，可设双曲线方程为设双曲线方程为b b2 2x x2 2-a-a2 2y y2 2=(0).=(0).(3)(3)与双曲线与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为有相同的渐近线的双曲线方程可设为2222xy1ab2222xy0 .ab 【变式训练】【变式训练】(2014(2014宝鸡模拟宝鸡模拟) )双曲线双曲线mxmx2 2y y2 2

17、1 1的虚轴长是的虚轴长是实轴长的实轴长的2 2倍，则倍，则m m等于等于( )( )【解析】【解析】选选A.A.双曲线方程双曲线方程mxmx2 2y y2 21 1化为标准形式化为标准形式 则有则有a a2 21 1，b b2 2所以所以2a2a2,2b2,2b所以所以2 22 2 所以所以11A B4 C 4 D.4422xy11m，1.m12m ，12m ，1m.4【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014遵义模拟遵义模拟) )与曲线与曲线 共焦点，且与曲线共焦点，且与曲线 共渐近线的双曲线方程为共渐近线的双曲线方程为( )( )22xy1244922x/p>

18、22yxxyA.1 B.1169169yxxyC.1 D.1916916【解析】【解析】选选A.A.因为因为 的焦点坐标为的焦点坐标为(0(0，5),5),又双曲线与曲线又双曲线与曲线 共渐近线，共渐近线，所以设双曲线方程为所以设双曲线方程为且有且有64+36=564+36=52 2，所以，所以 即所求双曲线方程为即所求双曲线方程为22xy1244922xy1366422yx0 ,64 36 1,422yx1.1692.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记抛物线焦点弦的几个常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设设ABAB是过抛物线是过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0

19、)焦点焦点F F的弦的弦, ,若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则(1)x(1)x1 1x x2 2=_,y=_,y1 1y y2 2=_.=_.(2)(2)弦长弦长|AB|=_= (|AB|=_= (为弦为弦ABAB的倾斜角的倾斜角).).(3)(3)以弦以弦ABAB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. .(4)(4)通径通径: :过焦点垂直于对称轴的弦过焦点垂直于对称轴的弦, ,长等于长等于2p.2p.2p4-p-p2 2x x1 1+x+x2 2+p+p22psin (2014(2014天津模拟天津模拟) )设抛物线设抛物线x x

20、2 2=4y=4y的焦点为的焦点为F F，经过点，经过点P(1,4)P(1,4)的直线的直线l与抛物线相交于与抛物线相交于A A，B B两点，点两点，点P P为线段为线段ABAB的中点，则的中点，则 的值为的值为_._.|AF| |BF| 【解析】【解析】如图，设如图，设A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则=|AA=|AA1 1|+|BB|+|BB1 1| |=y=y1 1+1+y+1+y2 2+1+1=y=y1 1+y+y2 2+2=8+2=10.+2=8+2=10.答案：答案：1010|AF| |BF| 2.(20142.(2014潍坊模拟潍

21、坊模拟) )已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y y轴，轴，抛物线上一点抛物线上一点Q(-3Q(-3，m)m)到焦点的距离是到焦点的距离是5 5，则抛物线的方程为，则抛物线的方程为_._.【解析】【解析】设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=ay(a0)=ay(a0)，则准线为，则准线为因为因为Q(-3,m)Q(-3,m)在抛物线上，所以在抛物线上，所以9=am.9=am.而点而点Q Q到焦点的距离等于点到焦点的距离等于点Q Q到准线的距离，到准线的距离，所以所以 将将 代入，得代入，得 解得解得,a=,a=2 2，或或a=a=1818，所以所求抛物线的方程为

22、所以所求抛物线的方程为x x2 2= =2y2y，或，或x x2 2= =18y.18y.答案：答案：x x2 2= =2y2y或或x x2 2= =18y18yay.4a|m ()| 5.4 9ma9a| 5a4 ，【通关题组】【通关题组】1.(20141.(2014杭州模拟杭州模拟) )如图所示，过抛物线如图所示，过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F F的直线的直线l交抛物线于点交抛物线于点A A，B B，交其准线于点，交其准线于点C C，若，若|BC|=2|BF|BC|=2|BF|，|AF|=3|AF|=3，则此抛物线的方程为，则此抛物线的方程为( )( )

23、A. B.yA. B.y2 2=9x=9xC. D.yC. D.y2 2=3x=3x23yx229yx2【解析】【解析】选选D.D.如图所示，分别过点如图所示，分别过点A A，B B作作AAAA1 1，BBBB1 1与准线垂直，垂足分别为与准线垂直，垂足分别为A A1 1,B,B1 1，由已知条件，由已知条件|BC|=2|BF|BC|=2|BF|，得，得|BC|=2|BB|BC|=2|BB1 1| |，所以，所以BCBBCB1 1=30=30，于，于是可得直线是可得直线ABAB的倾斜角为的倾斜角为6060. .方法一：又由方法一：又由|AF|=3|AF|=3得得|AF|=|AA|AF|=|AA1 1|=3= |=3= 于是可得于是可得|CF|=|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3|AC|-|AF|=6-3=3，所以，所以|BF|= =1|BF|= =1，所以，所以|AB|=4.|AB|=4.直线直线ABAB的方程为的方程为 代入代入y y2 2=2px=2px得得 因为因为|AB|=|AF|+|BF|=|AA|AB|=|AF|+|BF|=|AA1 1|+|BB|+|BB1 1|=|= 所以所以 即得抛物线方程为即得抛物线方程为y y2