第一章 概率论的基本概念(第1 -- 6节)

1、第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计（点估计，区间估计）参数估计（点估计，区间估计）第八章第八章 假设检验假设检验 （均值、方差的检验；分布拟合检验）（均值、方差的检验；分布拟合检验）第九章第九章 一元线性回归分析一元线性回归分析预备知识：预备知识： 排列与组合排列与组合54321! 5,321!. 1 例如例如阶乘

2、阶乘nn排列排列. 2种排法种排法个排列共有个排列共有个选个选从从选排列选排列knknAknnknAa )!(!)(knAknnknnnn )!(!)1()2)(1(种排法种排法个，排列共有个，排列共有个中选个中选或或全排列全排列nnnAnnnAPb !)(放放回回）每每次次取取一一个个，取取后后不不（ 1回回）每次取一个，取后放）每次取一个，取后放（2种排列法种排列法个排列共有个排列共有个中取个中取knkn（不放回有序抽样）（不放回有序抽样）（放回有序抽样）（放回有序抽样）组合组合. 3种取法种取法个共有个共有个不同的元素选个不同的元素选)!( !knknkAknCknkn （不放回无序抽样

3、）（不放回无序抽样）举例：举例： 求排列或组合数求排列或组合数例例1 班级共有班级共有42个学生分三组，每组个学生分三组，每组14人，现人，现在每组中任意取在每组中任意取3人。人。 (1)3人来自第一组人来自第一组 ； （2）3人来自同一组；人来自同一组；（3）3人均来自不同组；人均来自不同组；解：解：23121314)!314( ! 3!14)1(3141 Cm31431431431423)2(CCCCm 3114114114314)3( CCCm(加法原理加法原理 “或或”)(乘法原理乘法原理 “且且”)(一种试验一种试验)例例2 某产品共某产品共30件，内含正品件，内含正品23件，次品件

4、，次品7件，件， 从中任取从中任取5件。件。（1）此）此5件中恰好有件中恰好有2件次品；件次品；（2）每取一件看后放回，再取下一件求前二次为）每取一件看后放回，再取下一件求前二次为次品，后三次为正品的可能数；次品，后三次为正品的可能数；（3）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次为）每取一件看后不放回，再取下一件求前二次为次品，后三次为正品的可能数；次品，后三次为正品的可能数；解：解：（1）（不放回无序）（不放回无序）273231CCm （2）（放回有序）（放回有序）322237 m（3）（不放回有序）（不放回有序）323273AAm (三种试验三种试验)例例3 有有10本书放在书架上本书放在

5、书架上,(1)某指定的三本书放在一起；某指定的三本书放在一起；(2)上述书是上述书是5本中文，本中文，5本外文且恰好相间排放；本外文且恰好相间排放；解：解：(1) 三本书作为一个元素，共三本书作为一个元素，共8个元素做全排列个元素做全排列(2)! 3! 8 m一本中文，一本外文为一个元素共一本中文，一本外文为一个元素共5个元素；个元素；5个元素可以任意调换；个元素可以任意调换；第一本书可以是中文或外文；第一本书可以是中文或外文；! 5! 52 m例例4 某城市电话号码升为某城市电话号码升为6位数位数(1)共有多少个号码共有多少个号码(2)第一位是第一位是6或或8的有多少个号码的有多少个号码(3

6、)末位数是末位数是8，首位数是，首位数是6有多少个号码有多少个号码(4)末位数是末位数是8的有多少个号码的有多少个号码(5)号码均不重复有多少个号码号码均不重复有多少个号码)(106允许重复允许重复5551021010 44101101 5510110 457899 不能为不能为0在自然界和人类社会中存在着两类不同在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象，的现象， 一类是一类是确定性现象，确定性现象，另一类是另一类是不确不确定性现象（随机现象）。定性现象（随机现象）。在一定条件下一定会发生或一在一定条件下一定会发生或一定不会发生的现象；定不会发生的现象；在相同条件下可能发生也可在相同条件下可能

7、发生也可能不发生能不发生, 事先无法确切知道其结果的现象。事先无法确切知道其结果的现象。 为了研究随机现象，就要对客观事物进行为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，观察的过程称为观察，观察的过程称为（）。）。(1) 在相同的条件下试验可重复进行；在相同的条件下试验可重复进行；(2) 每次试验的结果具有多种可能性每次试验的结果具有多种可能性, 且在试验之且在试验之前，试验的所有可能结果是可以明确知道的；前，试验的所有可能结果是可以明确知道的；(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现但在一次试验之前却不

8、能肯定这次试验会出现哪一个结果。哪一个结果。人们经过长期实践并深入研究后，发现人们经过长期实践并深入研究后，发现随机现象虽然具有不确定性，但在大量重复随机现象虽然具有不确定性，但在大量重复试验下，它的结果却呈现出某种规律性。试验下，它的结果却呈现出某种规律性。这种在大量重复试验中所呈现的规律性，这种在大量重复试验中所呈现的规律性，称为称为。概率论和数理统计是数学的一个分支，概率论和数理统计是数学的一个分支，它研究的对象是随机现象的统计规律性。即它研究的对象是随机现象的统计规律性。即在相同的条件下，通过大量重复的试验来分在相同的条件下，通过大量重复的试验来分析研究随机现象出现的数量规律。析研究随

9、机现象出现的数量规律。实验者实验者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 丰丰404020480.5069K K. .皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K K. .皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.4998对于一个试验，尽管各次试验的结果对于一个试验，尽管各次试验的结果在试验之前无法预知，但试验的所有可能在试验之前无法预知，但试验的所有可能结果所组成的集合是已知的。结果所组成的集合是已知的。我们将随机试验我们将随机试验 E 的所有可能的结果的所有可能的结果所组成的集合称为所组成的集合称为 E 的的， 记为记为 S .

10、样本空间的元素，称为样本空间的元素，称为。 例如例如,试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间 . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三

11、次, ,THE2出现出现2个样本点个样本点8个样本点个样本点试验试验E1:抛一枚硬币抛一枚硬币, 观察正面观察正面H、反面、反面T出现的情况。出现的情况。样本空间样本空间S1: ,:1THS试验试验E2:将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现的次数。观察正面出现的次数。样本空间样本空间S2: 3, 2, 1, 0:2S试验试验E3:记录某城市记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。唤次数。样本空间样本空间S3: , 3, 2, 1, 0:3S试验试验E4:在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, 测试它的寿命。测试它的寿命。样本空间样本空

12、间S4: 0|:4 ttS上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点:(1) 试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为.试验试验E的样本空间的样本空间S的子集称为的子集称为E的的，简称，简称。在每次试验中在每次试验中, 当且仅当这一子集中的当且仅当这一子集中的一个样本点

13、出现时，称这一一个样本点出现时，称这一。 特别地，由一个样本点组成的单点集，特别地，由一个样本点组成的单点集，称为称为。每一基本事件对应着试验每一基本事件对应着试验的一个可能结果。的一个可能结果。如试验如试验E1有两个基本事件：有两个基本事件：H和和T记为记为,CBA如试验如试验E3有无数个基本事件：有无数个基本事件：,2,1,0样本空间样本空间S作为自身的子集，包含了所有作为自身的子集，包含了所有的样本点，其对应的事件就是必然事件。的样本点，其对应的事件就是必然事件。空集空集 作为样本空间作为样本空间S的子集，它不包的子集，它不包含任何样本点，其对应的事件就是不可含任何样本点，其对应的事件就

14、是不可能事件。能事件。 例：例： 设设 表示表示“掷骰子出现掷骰子出现 i 点点”这一基本事件，这一基本事件，i 则样本空间为则样本空间为,654321 S且且,531 A 表示表示“掷骰子出现奇数点掷骰子出现奇数点” 这这一事件；一事件； 而而,65 B表示表示“掷骰子出现的点掷骰子出现的点数大于或等于数大于或等于5点点”这一事件。这一事件。设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，而，而), 2 , 1(, kABAk是是S的子集。的子集。1. 如果事件如果事件A发生必然导致发生必然导致B发生，即属于发生，即属于A的的 每一个样本点也属于每一个样本点也属于B，则称，则称。(或称或称，)记为

15、记为AB 或或.BA SBABA 则则且且ABBA.SA 对任意事件对任意事件A2. “事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”这一事件称为这一事件称为 。 记为记为.BASBA它是由属于它是由属于A或属于或属于B的所有样本点组成的的所有样本点组成的集合。集合。即：即：.|BxAxxBA 或或 此定义可推广到有限个或无限个事件。此定义可推广到有限个或无限个事件。即：即：n个事件的和事件个事件的和事件nAAA21无限可列个事件的和事件无限可列个事件的和事件21AAniiA1 1iiA3. “事件事件A与与B同时发生同时发生”这一事件称为这一事件称为。 记为记为.BASBA它是由既属于它是由

16、既属于A又属于又属于B的所有公共样本点的所有公共样本点组成的集合。组成的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且或或 AB . 此定义可推广到有限个或无限个事件。此定义可推广到有限个或无限个事件。即：即：n个事件的积事件个事件的积事件nAAA21无限可列个事件的积事件无限可列个事件的积事件21AAniiA1 1iiA4. “事件事件A发生而发生而B不发生不发生”这一事件称为这一事件称为。记为记为.BA SBA它是由属于它是由属于A但不属于但不属于B的那些样本点组成的那些样本点组成的集合。的集合。即：即：.|BxAxxBA 且且SBA通常把两个通常把两个互不相容的事件互不相容的事件A与与B的和事件

17、的和事件5. 如果事件如果事件A与与B在一次试验中不可能同时发在一次试验中不可能同时发生，即生，即 则称则称，或，或。, AB记为记为A+B。如果如果n个事件个事件nAAA,21中任意两个事件中任意两个事件都不可能同时发生，即都不可能同时发生，即)(jiAAji 则称这则称这n个事件是两两互不相容的个事件是两两互不相容的。或简称这或简称这n个事件是互不相容的个事件是互不相容的。如对一个试验而言，它的各个基本事如对一个试验而言，它的各个基本事件之间是件之间是互不相容的。互不相容的。SA若事件若事件A与与B互为对立事件，则在一次试验中，事互为对立事件，则在一次试验中，事件件A与与B必有一个发生，且

18、只有一个发生。必有一个发生，且只有一个发生。事件事件A的逆事件记为的逆事件记为6. 若若 且且 则称则称；又称；又称。, ABSBA A.ASA 它是由样本空间它是由样本空间S中所有不属于中所有不属于A的那些样本的那些样本点组成的集合。点组成的集合。A设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S, 而而CBA,是是S的子集。的子集。(1) 交换律交换律;ABBA (2) 结合律结合律;)()(CBACBA (3) 分配律分配律);()()(CABACBA (4) 德德.摩根律摩根律;BABA 另外一些常用的运算规律另外一些常用的运算规律;AA ;SAA ; AA.BABA .ABBA .)()(C

19、BACBA ).()()(CABACBA .BABA 例例1：设一个工人生产了四个零件，又：设一个工人生产了四个零件，又 Ai 表示事件表示事件“他生产的第他生产的第i个零件是正品个零件是正品”( i=1,2,3,4)。试用诸。试用诸Ai 表示下列各事件。表示下列各事件。(1)没有一个产品是次品；没有一个产品是次品；(2)至少有一个产品是次品；至少有一个产品是次品；(3)只有一个产品是正品；只有一个产品是正品；(4)至少有三个产品不是次品。至少有三个产品不是次品。4321)1(AAAA4321)2(AAAA4321)3(AAAA即最多只有一个是次品即最多只有一个是次品4321)4(AAAA43

20、21AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA例例2： 一名射手连续向某个目标射击三次，事件一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第表示该射手第i次射击时击中目标次射击时击中目标( i=1,2,3)。试用文。试用文字叙述下列事件。字叙述下列事件。21)1(AA 前两次中至少有一次击中。前两次中至少有一次击中。2)2(A第二次未击中。第二次未击中。321)3(AAA三次中至少有一次击中。三次中至少有一次击中。321)4(AAA三次都击中。三次都击中。23)5(AA第三次击中但第二次未击中。第三次击中但第二次未击中。32

21、)6(AA 后二次中至少有一次未击中。后二次中至少有一次未击中。事件间的关系与运算小结事件间的关系与运算小结；中除去中除去同时发生；同时发生；与与中至少有一个发生；中至少有一个发生；，BABABAABBABA )(,)(时时不不发发生生不不能能同同时时发发生生也也不不能能同同对对立立且且时时都都不不发发生生不不能能同同时时发发生生但但允允许许同同互互不不相相容容与与互互斥斥即即，BASBAABBABAAB SAABABAAABABABAAB ;互斥分解：互斥分解： BAABABAABA包含关系：包含关系： AAAAASSSABAAAB; 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n次试验，在

22、这次试验，在这n 次试验次试验中，事件中，事件A发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的发生的。比值比值nnA称为事件称为事件A发生的发生的， 记为记为)(Afn显然，频率具有下述基本性质：显然，频率具有下述基本性质：(1) 有界性有界性 ;1)(0 Afn(2) 规范性规范性 ;1)( Sfn(3) 有限可加性有限可加性 若若kAAA,21是两两互不相容是两两互不相容的事件，则的事件，则)()()(11knnknAfAfAAf 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定有稳定性性.即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.频率也称为概率

23、的统计定频率也称为概率的统计定义。义。实验者实验者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 丰丰404020480.5069K K. .皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K K. .皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.4998 设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间。是它的样本空间。对于对于E的每一事件的每一事件A赋于一个实数，记为赋于一个实数，记为),(AP称为事件称为事件A的的。如果集合函数如果集合函数)( P满足下列条件：满足下列条件：(1) 非负性：非负性：对于每一个事件对于每一个事件A，有，有; 0)(

24、 AP(2) 规范性：规范性：对于必然事件对于必然事件S，有，有; 1)( SP(3) 可列可加性：可列可加性：设设,21AA是两两互不相容的是两两互不相容的事件，即事件，即 )()()(2121APAPAAP), 2 , 1,;( jijiAAji 则有则有概率的统计定义概率的统计定义(频率频率)具有应用价值但在理论上有缺陷具有应用价值但在理论上有缺陷在第五章中，我们将证明：在第五章中，我们将证明：。接近于概率接近于概率在一定意义下在一定意义下时，频率时，频率当当)()(APAfnn 0)( P概率的有限可加性概率的有限可加性若若nAAA,21是两两互不相容的事件，则有是两两互不相容的事件，

25、则有)()()(11nnAPAPAAP 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率. .概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 例如，了解发生意外人身事故的可能性例如，了解发生意外人身事故的可能性大小大小,确定保险金额确定保险金额. . 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置

26、服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度. .);()()(,APBPABPBA 则则设设从而有从而有).()(APBP 对任一事件对任一事件A，有，有. 1)( AP对任一事件对任一事件A，有，有).(1)(APAP （逆事件的概率）（逆事件的概率）（加法公式）（加法公式）对任意两个事件对任意两个事件A，B 有有).()()()(ABPBPAPBAP 若若A，B互斥，则互斥，则).()()(BPAPBAP 加法公式可推广到有限个事件上去。加法公式可推广到有限个事件上去。如对任意三个事件如对任意三个事件A，B，C，

27、有，有 )(CBAP)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP ).(ABCP 例例1：设事件：设事件A，B的概率分别为的概率分别为 与与31.21求在下列三种情况下求在下列三种情况下)(ABP的值。的值。.81)()3(;2)1( ABPBABA）（互斥；互斥；与与互斥互斥与与BA)1(AB BAB ;21)()( BPABPBA ）（2;61)()()()( APBPABPABPABABA )3( )(ABA)()()()(ABPAPABAPBAP )()()()(ABPBPAPBAP 而而.83)()()( ABPBPABP例例2：设：设A, B, C是三事件，且是三事件，

28、且,41)()()( CPBPAP.81)(, 0)()( ACPBCPABP求求A, B, C至少有一个至少有一个发生的概率。发生的概率。ABABC 0)()(3 ABPABCP知知由性质由性质0)( ABCPA, B, C至少有一个发生的概率至少有一个发生的概率)(CBAP)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP 00810414141 .85 3. 4.)()2();()1(,)(,)(,)(BAPBAPCBAPbBPaAP求求已知已知 解：解：)()()()()()1(ABPaABPAPBAPBAP cABPBPAPBAP )()()()(cbaABP )(c

29、BAPBAPBAP 1)(1)()()2()(2)()()(ABPBPAPBABAP 证明证明解：解：)()()(,BAPBAPBABAPBABA )()(ABPBAP)()()()(ABPBPABPAP )(2)()(ABPBPAP 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果且所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即且所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 的出现机会的出现机会.e1, e2, ，eN , 常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能概型等可能概型”.N1如掷硬币、如掷硬币、骰子、骰子、 摸球等。摸球等。e1, e2, ，eN 试验结果试验结果

30、你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？ 因为抽取时这些球是完因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认全平等的，我们没有理由认为为10个球中的某一个会比另个球中的某一个会比另一个更容易取得一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为将球编号为

31、110 .把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球. 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说基本或者说基本事件事件)出现的可能性相同出现的可能性相同 .S=1,2,10 ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间 如如i =21012 ip 对古典概率试验，假定样本空间对古典概率试验，假定样本空间S所含的基本所含的基本事件总数为事件总数为n，事件，事件A所包含的基本事件总数为所包含的基本事件总数为k。则则nkAP )(SAmm

32、SA 中基本事件的总数中基本事件的总数包含的基本事件数包含的基本事件数nePeeeSin1)(,21 ，若若keeA 1 iiinknePAP1)()(由于等可能及基本事件是互不相容的由于等可能及基本事件是互不相容的例例1：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去，：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去， 问各册从左到右或从右到左恰成问各册从左到右或从右到左恰成1、2、3、4的的 顺序的概率是多少？顺序的概率是多少？! 42 P.121 例例2：100个产品中有个产品中有3个次品，任取个次品，任取5只，求其次品只，求其次品 数分别为数分别为0，1，2，3的概率？的概率？设设 Ai 表示取出的产

33、品中有表示取出的产品中有i个次品。个次品。)3 , 2 , 1 , 0( i )(iAPC5100 Ci3Ci 597)3 , 2 , 1 , 0( i古典概型大致可归为三类，它们具有典型的意义古典概型大致可归为三类，它们具有典型的意义（1）抽球问题）抽球问题（2）分房问题）分房问题（3）随机取数问题）随机取数问题个黑球的概率个黑球的概率个白球，个白球，求取得的球恰好是求取得的球恰好是个，个，个黑球，任取个黑球，任取白球，白球，箱子中有个箱子中有个yxyxba )1(yxbaybxaCCCp 解：解：白球的概率白球的概率求最后取得的球恰好是求最后取得的球恰好是球取出不放回球取出不放回每每个个任

34、连接地取任连接地取个黑球个黑球白球白球箱子中有个箱子中有个,1, kba1)!1(! kbakbaCkCakp解：解：,)!1(C,11个排列个排列对应对应种取法，每种取法种取法，每种取法但有序列，有但有序列，有个个看成一把抓看成一把抓 kkkba种选法种选法所需白球有所需白球有a各种抽球问题各种抽球问题,黑白球可换成甲乙物黑白球可换成甲乙物;合格不合格等合格不合格等E:每每x+y个球构成一基本事件个球构成一基本事件E:每每K+1个排列好的球构成一基本事件个排列好的球构成一基本事件间间房房，其其中中各各有有一一人人。：恰恰有有间间房房中中各各有有一一人人。：某某指指定定求求下下列列各各事事件件

35、的的概概率率房房间间中中的的每每一一间间中中个个分分配配到到率率个个人人，每每人人以以相相同同的的概概有有nnnBA.N)N(nN1)2( .,NE人人共共间间房房间间中中之之一一去去把把一一人人分分配配到到解解：nnNn!P(A) 间，间，第二人可进第二人可进间间第一人可进第一人可进间房间房对于固定的某对于固定的某间的任何一间间的任何一间每人均可进入每人均可进入1,N nnnnnNNCnBP!)( (n间房自间房自N间房中选出间房中选出)可把人看成质点、旅客、信；房看成格子、车站、信封等可把人看成质点、旅客、信；房看成格子、车站、信封等例如：概率论中有一个历史上颇为有名的问题：要求例如：概率

36、论中有一个历史上颇为有名的问题：要求 参加某次集会的参加某次集会的n个人个人 没有两个人生没有两个人生 日相同的概率？日相同的概率？ P Cn365)365( n分析：分析： 每个人的生日都以同样的概率每个人的生日都以同样的概率 落在一年落在一年的的365天中。天中。3651现要求现要求n个人中没有两个人生日相同，即个人中没有两个人生日相同，即n个个人生日均不相同。人生日均不相同。n365!n.365)1365(364365nn nP100.88200.593040500.290.110.03例例5：一袋中装有：一袋中装有n-1只黑球和只黑球和1只白球。每次从袋中只白球。每次从袋中 随机摸出随

37、机摸出1球，并换入黑球，这样反复进行。问球，并换入黑球，这样反复进行。问 第第k次摸球时摸到黑球的概率是多少？次摸球时摸到黑球的概率是多少？ )(AP若以若以A表示第表示第k次摸球摸到黑球这一事件次摸球摸到黑球这一事件则则 表示第表示第k次摸球摸到白球这一事件次摸球摸到白球这一事件A因袋中白球只有因袋中白球只有1只，而每次摸到白球总是换入只，而每次摸到白球总是换入1只黑球。故为了在第只黑球。故为了在第k次摸到白球，则前面的次摸到白球，则前面的 k-1次摸球一定不能摸到白球。因此次摸球一定不能摸到白球。因此A 等价于这等价于这一事件，在前面一事件，在前面k-1次摸球时都摸到黑球，而第次摸球时都摸

38、到黑球，而第k次摸出白球。次摸出白球。kn1)1(1 knnnk1)11(1 )(1)(APAP nnk1)11(11 以以 A、B、C 分别表示事件分别表示事件“取到的两只球都是白取到的两只球都是白球球”、“取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球”、“取到的两只球取到的两只球中至少有一只白球中至少有一只白球”。则则 )(AP56 34 4 . 0 )(BP56 12 067. 0 )()()(BPAPBAP 467. 0 )()(BPCP )(1BP 933. 0 例例6：P10例例2 解（解（b）不放回抽样）不放回抽样课内练习题课内练习题1 .共有共有n张奖券，只有一张中奖张奖券，只有一

39、张中奖.每人抽一张，求每人抽一张，求第第k个人中奖的概率个人中奖的概率p.(分放回和无放回分放回和无放回)答答:(放回放回)np1 (无放回无放回),1()2)(1( knnnnnS),1)1(1()2)(1( knnnnA的解释：的解释：An张张张张中中取取得得的的余余被被取取走走的的奖奖券券只只能能是是券券只只有有一一种种取取法法即即其其发发生生时时，第第个个人人取取到到奖奖当当11A knnnnpSA1 个人个人第第个人个人第第第四人第四人第三人第三人第二人第二人第一人第一人kkknnnnn)1()1()4( )3( )2( )1(1 3.某班某班42名学生分成名学生分成3组，每组组，每

40、组14人从中任意抽人从中任意抽出出3名参加体能测试。求下列事件的概率。名参加体能测试。求下列事件的概率。抽到的学生来自抽到的学生来自(1)第一组第一组(2)同一组同一组(3)不同组不同组114114114314314342)3(3)2()1! 3404142,342:CCCCCC事件样本点数事件样本点数；事件样本点数事件样本点数；事件样本点数事件样本点数（总样本点共有总样本点共有人人人抽出人抽出试验为试验为解解 0317. 03423141 CCp0951. 00317. 0333423142 CCp239. 03421141141143 CCCCp同一个随机试验。同一个随机试验。4.某种产品

41、共某种产品共30件件.正品正品23件件,次品次品7件件,从中取从中取5件件求下列事件的概率求下列事件的概率(1)同时任取同时任取5件中恰有件中恰有2件次品件次品(2)每次取一件不放回前每次取一件不放回前2件次品后件次品后3件正品件正品(3)每次取一件放回每次取一件放回,恰有恰有2件次品件次品不同的试验不同的试验27323530CCAC1 mn的数的数，的总数的总数）（261. 0 nmp25325C237A303 mn的数的数，的总数的总数）（27323530AAAA2 mn的数的数，的总数的总数）（0261. 0 nmp2453. 0 nmp5.总经理的五位秘书有两位精通英语，今遇其中总经理

42、的五位秘书有两位精通英语，今遇其中三位秘书三位秘书,求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1)A:其中恰有一位精通英语其中恰有一位精通英语(2) B:其中恰有二位精通英语其中恰有二位精通英语(3)C其有人精通英语其有人精通英语35C本本点点总总数数为为解解：（相相同同的的试试验验）样样;103)()2( ;53)()1(351322352312 CCCBPCCCAP BABAC3，）（109BPAPCP ）（）（）（二、几何概型二、几何概型古典古典概型须假定试验结果是有限的，这限制了他的概型须假定试验结果是有限的，这限制了他的适用范围。一个直接的推广是：保留等可能性允许适用范围。一个直接的推广

43、是：保留等可能性允许试验结果为无限个试验结果为无限个,称这种试验模型为几何概型。称这种试验模型为几何概型。则则有有内内，的的一一个个子子区区域域表表示示随随机机点点落落在在区区域域事事件件ASA AS)(P的度量的度量的度量的度量ASA例例1某汽车站从上午某汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一趟车分钟来一趟车一乘客在一乘客在7点到点到7.30之间随机候车之间随机候车,求求(1)A：等候不到：等候不到5分钟乘上车的概率分钟乘上车的概率(2)B：等候时间超过：等候时间超过10分钟才上车的概率分钟才上车的概率解：设解：设T为该乘客到达的时间为该乘客到达的时间 20:715:705:700:73

44、0:725:715:710:7,30:7007 TTSTTSTBA或或或或：则则10S10S30TBA ，的单位是分钟，则的单位是分钟，则31)()( BPAP所以所以例例2一质点落在三角形内的各点处是等可能的，求一质点落在三角形内的各点处是等可能的，求质点落在直线质点落在直线x=1/3左侧的概率左侧的概率113121 面积面积的度量的度量解：解A 32AS例例3一半径为一半径为r 的钱币随机落在边长为的钱币随机落在边长为L的正方形的正方形桌面上。设事件桌面上。设事件A=“钱币不与桌面的边相交钱币不与桌面的边相交”求求P（A） 2A22-LSL）（，解：解：r （）（

45、）（）（）P钱币的极限位置在钱币的极限位置在L-2r处处rL2 例例3（Buffon投针问题）投针问题）一组等距为一组等距为D的平行线的平行线将长为将长为L（L 0，则有，则有)(ABCP)(CABP )|()(ABCPABP )|()|()(ABCPABPAP 0)( BP若若)|()()(ABPAPABP )|()()(BAPBPABP 例例1 口袋里有口袋里有8个白球，个白球，5个红球，无放回抽取二次个红球，无放回抽取二次每次每次1球。求下列各事件的概率；球。求下列各事件的概率；(1)第二次才取得红球；第二次才取得红球；(2)二次内取得红球；二次内取得红球；解：解：2 , 1 iiAi次

46、取得红球”，次取得红球”，事件“第事件“第记记试验试验 ：“每次取每次取1个球，取后不放回，共取个球，取后不放回，共取2个个”)|()()()1(12121AAPAPAAP为两次均未取得红球，为两次均未取得红球，则则“两次内取得红球”，“两次内取得红球”，设设21)2(AAB 21212121AAAAAABAAB 或或（互不相容）（互不相容） )(1)(21AAPBP 1271381)|()(1121AAPAP156100或或)()()()(212121AAPAAPAAPBP 156100125138128135124135 例例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，

47、因而：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号他随意地拔号. 求求(1)他拔号不超过三次而接通所需电他拔号不超过三次而接通所需电话的概率话的概率. (2)若已知最后一个数字是奇数，那么此概若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？率是多少？)10, 2 , 1( iiAi次拨号正确次拨号正确表示第表示第设设(1)拔号不超过三次而接通的概率为拔号不超过三次而接通的概率为)(321211AAAAAAP)()()(321211AAAPAAPAP )(1AP )|()|()(213121AAAPAAPAP )|()(121AAPAP 101 91109 8198109 .103 例例2：某

48、人忘记了电话号码的最后一个数字，因而：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号他随意地拔号. 求他拔号不超过三次而接通所需电求他拔号不超过三次而接通所需电话的概率话的概率. 若已知最后一个数字是奇数，那么此概若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？率是多少？(2)若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过三次而接通的概率为三次而接通的概率为)(321211AAAAAAP)(1AP )|()|()(213121AAAPAAPAP )|()(121AAPAP 51 4154 314354 .53 例例3： 10张考签中有张考签中有4张难签，张难签，2

49、人参加抽签考试。不人参加抽签考试。不重复地抽取，每人一次，甲先，乙后。证明两人抽到重复地抽取，每人一次，甲先，乙后。证明两人抽到难签的概率相等。难签的概率相等。设设A，B分别表示甲，乙抽到难签分别表示甲，乙抽到难签 .104)( AP则则BAABB ,互斥互斥与与且且BAAB)()(BAABPBP )()(BAPABP )|()()|()(ABPAPABPAP 93104 94106 104 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，nBBB,21为为E的一组事件，若的一组事件，若 ;, 2 , 1,;)1(njijiBBji ;)2(21SBBBn 则称则称nBBB,21为样本空间为样本空

50、间S的一个的一个。若若nBBB,21为样本空间为样本空间S的一个的一个划分，划分，那么，对每次试验，那么，对每次试验， 事件事件nBBB,21中必有一个中必有一个且仅有一个发生。且仅有一个发生。例如，设试验例如，设试验E为为“掷一棵骰子观察其点数掷一棵骰子观察其点数”。它的样本空间为它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6.E的一组事件的一组事件B1=1,2,3, B2=4,5, B3=6是是S的的一个划分。一个划分。而事件组而事件组C1=1,2,3, C2=3,4, C3=5,6不是不是S的的划分。划分。设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件，的事件，nBBB,21为为S的

51、一个划分，的一个划分，), 1(0)(niBPi 且且则则).()|()()|()()|()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP 上式称为上式称为。(引起引起A发生有诸多因素，发生有诸多因素，A可被这些因素分解可被这些因素分解)ASA )(21nBBBA nABABAB21 ), 1(0)(niBPi 由假设由假设), 1,;()(njijiABABji 且且得到得到)()()()(21nABPABPABPAP )()|(11BPBAP )()|(22BPBAP ).()|(nnBPBAP 证毕证毕由此可得另一个重要的公式。由此可得另一个重要的公式。设试验设试验E的样本空间为的样本

52、空间为S，A为为E的事件，的事件，nBBB,21为为S的一个划分，的一个划分，), 1(0)(, 0)(niBPAPi 且且则则)., 2 , 1(,)()|()()|()|(1niBPBAPBPBAPABPnjjjiii 上式称为上式称为。(引起引起A发生有诸多因素发生有诸多因素,现现A发生了发生了,求是那种因素求是那种因素的概率的概率)例例1： 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求

53、取到白球的概率。白球的概率。设设A表示表示“从甲袋中取出一个白球从甲袋中取出一个白球”，B表示表示“从乙袋中取出一个白球从乙袋中取出一个白球”，.个黑球”个黑球”表示“从甲袋中取出一表示“从甲袋中取出一则则 A所以所求概率为所以所求概率为)|()()|()()(ABPAPABPAPBP 4232 4131 .125 ),(ABBABSBAAS 例例2：发报台分别以概率：发报台分别以概率0.6和和0.4发出信号发出信号 及及 。由于通信系统受到干扰，当发出信号由于通信系统受到干扰，当发出信号 时，收报台时，收报台分别以概率分别以概率0.8及及0.2受到信号受到信号 及及 。又当发出信。又当发出信

54、号号 , 收报台分别以概率收报台分别以概率0.9及及0.1受到信号受到信号 及及 。求当收报台受到求当收报台受到 时，发报台确系发出信号时，发报台确系发出信号 的概的概率。率。”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ 设设A表示表示“发报台发出信号发报台发出信号 ”，”“ B表示表示“收报台收到信号收报台收到信号 ”，”“ 则所求的概率为则所求的概率为)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 8 . 06 . 0 1 . 04 . 08 . 06 . 0 923. 0 例例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好：对以往数据分析结果表明，当

55、机器调整得良好时，产品的合格率为时，产品的合格率为98%，而机器发生故障时，其合，而机器发生故障时，其合格率为格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？时，机器调整得良好的概率是多少？设设A表示事件表示事件“产品合格产品合格”，B表示事件表示事件“机器调整良好机器调整良好”。,98. 0)|( BAP已知已知,55. 0)|( BAP,95. 0)( BP,05. 0)( BP则所求的概率为则所求的概率为)|(ABP)()|()()

56、|()()|(BPBAPBPBAPBPBAP 97. 0 这就是说，当生产出第一件产品是合这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。这里，概率这里，概率 0.95是由以往的数据分析得到是由以往的数据分析得到的，叫做的，叫做。而在得到信息（即生。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即加以修正的概率（即0.97）叫做）叫做。有了后验概率我们就能对机器的情况有进有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。一步的了解。例例4：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验：

57、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以具有如下的效果：若以A表示事件表示事件 “试验反应为阳试验反应为阳性性”，以，以C表示事件表示事件“被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”，则有，则有 现在对自然人群进现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即即 试求试求 .95. 0)|(,95. 0)|( CAPCAP,005. 0)( CP).|(ACP,95. 0)|( CAP已知已知,05. 0)|(1)|( CAPCAP,005. 0)( CP,995. 0)(1)( CPCP由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()|()(

58、)|()()|()|(CPCAPCPCAPCPCAPACP 087. 0 ,087. 0)|( ACP表示试验结果呈阳性的被检查者确实患有癌症表示试验结果呈阳性的被检查者确实患有癌症的可能性并不大。的可能性并不大。我们还可计算得到：我们还可计算得到：,9997. 0)|( ACP表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可能性极大。能性极大。 我们知道，在一般情况下我们知道，在一般情况下),()|(BPABP 但在某些情况下，它们是相等的。但在某些情况下，它们是相等的。例如：例如： 一口袋中有一口袋中有8只红球和只红球和2只白球，从袋中连只白球，从袋中连续地

59、取两次球，每次取一只，然后放回。续地取两次球，每次取一只，然后放回。 若若A = “第一次取到红球第一次取到红球”，B = “第二次第二次取取到红球到红球”。则。则 .51102)()|( BPABP这里，这里，A的发生不影响的发生不影响B发生的概率。发生的概率。 从直观上从直观上讲，这很自然。在这种场合可以说，讲，这很自然。在这种场合可以说，A与与B出现出现与否有某种与否有某种“独立性独立性”。).()()(BPAPABP 显然，此时有显然，此时有设设A, B是两事件，如果满足等式是两事件，如果满足等式),()()(BPAPABP 则称事件则称事件A, B，简称，简称A, B。 易证，易证，

60、 , 0)(, 0)( BPAP若若 则则A, B相互独立相互独立与与A, B互不相容不能同时成立。互不相容不能同时成立。设设A, B是两事件，则有是两事件，则有);()|(,0)()1(BPABPBAAP 相互独立相互独立时，时，当当).()|(,0)()2(APBAPBABP 相互独立相互独立时，时，当当也是相互独立的。也是相互独立的。相互独立，则另外三对相互独立，则另外三对有一对有一对若四对事件若四对事件BABABABA,;,;,;,设设A, B, C是三个事件，如果满足下列四个等式是三个事件，如果满足下列四个等式),()()(BPAPABP ),()()(CPBPBCP ),()()(