第三章 人寿保险趸缴纯保费的厘定

1、第三章 人寿保险趸缴纯保费的厘定第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、 人寿保险简介1、什么是人寿保险（1） 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。（2） 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。2、人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1） 以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。（2） 以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。（3） 以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：非

2、延期保险和延期保险。（4） 以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。3、人寿保险的性质（1） 保障的长期性：寿险的保障期通常比较长。这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的影响。（2） 保险赔付金额和赔付时间的不确定性：人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保障期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保障期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时间相关的某个数额的赔偿金。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一

3、个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。（3） 被保障人群的大数性：对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估计的。但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。二、 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘

4、定趸缴纯保费的数额。所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。记：保单生效到赔付的时间：从赔付时刻回溯至保单生效时的利息贴现，称为贴现函数。：赔付时刻赔付的金额，或者说是被保险人的受益金额，称为受益函数。：受益赔付额回溯到保单生效时的现时值，称为现时随机变量，它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数的随机变量，简记为 ，有按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于 。第二节 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定一、 死亡即刻

5、赔付的含义1、 死亡即刻陪付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。2、 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻陪付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。二、 主要险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定1、 年定期寿险（1）定义：保险人只对被保险人在投保后的 年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为 年死亡保险。（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期寿险（3）基本函数关系（4） 年定期寿险死亡即刻陪付趸缴

6、纯保费（ ）的厘定（5）现值随机变量的方差记则2、终身寿险（1）定义：保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的终身寿险（3）基本函数关系（4）终身寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费（ ）的厘定（5）现值随机变量的方差记则3、延期 年的终身寿险（1） 定义：保险人只对被保险人在投保 年后发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种。（2） （2）假定： 的人投保保额为1单位元数的延期 年的终身寿险（3）基本函数关系（4）延期 年的终身寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（ ）的厘定（5）现值随机变量的方差记则4、 年定期生存险（1）定义：

7、被保险人投保后生存至 年期满时，保险人在第 年末支付保险金的险种。（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期生存险（3）基本函数关系（4） 年定期生存险趸缴纯保费（ ）的厘定（5）现值随机变量的方差5、 年定期两全险（1）定义：被保险人投保后如果在 年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至 年期满，保险人在第 年末支付保险金的保险。所以 年定期两全险实际上等价于 年生存保险加上 年定期寿险的组合。（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的 年定期两全险（3）基本函数关系（4） 年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（ ）的厘定记年定期寿险现值随机变量为 ， 年定

8、期生存险现值随机变量为 ， 年定期两全险现值随机变量为 ，已知则有即（5）现值随机变量的方差因为所以又因为所以 年定期两全保险现值随机变量的方差等价于6、延期 年的 年定期两全险（1）定义：被保险人在投保后的前 年的死亡不获赔偿，从第 年开始为期 年的定期两全险。显然它相当于延期 年的 年定期寿险和延期 年的 年定期生存险的组合（2）假定： 的人投保保额为1单位元数的延期 年的 年定期两全险（3）基本函数关系（4）延期 年的 年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（ ）的厘定记延期 年的 年定期寿险现值随机变量为 ，延期 年的 年定期生存险现值随机变量为 ，延期 年的 年定期两全险现值随机变量为

9、，有即从延期 年的定期两全保险的定义还可以直接推出它的趸缴纯保费等于（5）现值随机变量的方差因为且所以延期 年的 年定期两全保险现值随机变量的方差等价于7、递增终身寿险（1）定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的递增线性函数。（2）假定： 的人投保初始保额为1单位元数的递增终身寿险，如果保险赔偿金一年递增一次，即受益函数为： ，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为 如果保险赔偿金一年递增 次，即受益函数为 ，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为 如果保险赔偿金一年递增无穷次（连续递增），即受益函数为 ，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为 （3） 基本函数关系的现值随机变量为的

10、现值随机变量为的现值随机变量为（4） 递增终身人寿保险死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定的厘定的厘定的厘定8、递减 年定期寿险（1）定义：递减定期寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的递减线性函数。（2）假定： 的人投保初始保额为1单位元数的递减定期寿险，如果保险赔偿金一年递减一次，即受益函数为： ，记这种递减定期寿险趸缴纯保费为 如果保险赔偿金一年递减 次，即受益函数为 ，记这种递减定期寿险趸缴纯保费为 如果保险赔偿金一年递减无穷次（连续递增），即受益函数为 ，记这种减定期寿险趸缴纯保费为 （3）基本函数关系的现值随机变量为的现值随机变量为的现值随机变量为（4）递减定期寿险死亡

11、即刻赔付趸缴纯保费的厘定的厘定的厘定的厘定第三节 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定一、死亡年末赔付的含义1、 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。2、由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定净净净趸缴保费时通常先假定的理赔方式。二、主要险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定1、 年定期寿险（1）基本函数关系记 为被保险人整

12、值剩余寿命，则（2） 年定期寿险死亡年末陪付趸缴纯保费（ ）的厘定等式两边同乘以 ，得这一等式显示了保单发行时 个 岁的被保险人的净趸缴保费总和与按死亡预期流出的资金量现时值之间的平衡关系。（3）现值随机变量的方差记则（4）比较显然，和死亡即刻赔付情况下趸缴纯保费的计算模型相比，这两个精算模型的构造思想、计算步骤都一样，唯一不同的就是一个连续（ ），一个离散（ ）；一个的期望是求积分得到（ ），一个的期望是求累加和得到（ ）。2、其它险种场合显然，其它险种场合的情况和定期寿险场合一样。我们容易得到如下结果：险种净趸缴保费终身寿险延期 年终身寿险年两全保险延期 年 年两全保险递增终身寿险（一年递

13、增一次）递减 年定期寿险（一年递减一次）三、 死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定下）以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则同理可以验证，在如下两个条件：（1） （2） 只依赖于剩余寿命的整数部分，即 则有换言之，满足如上两个条件，死亡即刻赔付即为死亡年末赔付的 倍。第四节 递归方程公式一：理解： 的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于 在第一年死亡的情况下1单位的赔付额，或生存满一年的情况下净趸缴保费 。公式二：理解： 个 岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当

14、年去世的被保险人提供额外的 。公式三：理解：年龄为 的被保险人在活到 岁时的净趸缴保费与当初 岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。公式四：理解： 的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。第五节 计算基数一、 什么是计算基数定义：在保险精算学中，有些保费的计算过程往往很繁琐，为简化计算步骤，引入一些换算函数，这些换算函数是一些根据假定条件事先算好的中间量，也称为计算基数，一般的保费计算都可以表示成这些计算基数的函数形式。二、 常用计算基数三、 用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费1如对于所有x0， 为常数，证明 。2设 ，x0。（1）通过分布积分证明 . (

15、2) 用（1）中的表达式证明对所有x0, 3证明 。4证明由（2.2.10）与(2.2.11)给出的2个单位受益余额n年期两全保险现值的方差表达式是相等的。5设z1与z2由方程（2.2.8）定义。（1）证明 .(2) 建立 最小时两全保险的期限所满足的隐式方程。（3）给出 众的最小值的公式。（4）当死亡效力 为常数时，化简(2)中的方程与（3）中的公式。6设死亡由 所描述，利息效力 。（1）计算 。（2）对于保单生效起时间t死亡时受益金额为 的25年期人寿保险，决定40岁投保人的趸缴保费。7按 的de moivre生存函数，计算i=0.10时的（1） 。（2）以上（1）中所表示的保险在保单签发

16、时的现值方差。8设 ，且 。计算(1) x岁生效的终身人寿保险的净趸缴保费与受益现时值方差。（2） 9（1）证明 是(x)的剩余寿命t的矩母函数在 的取值（2）然后证明：当t服从参数与的分布时， 。10设对所有t0， ,导出（1） ； （2） 的表达式。11设 ，且i=0.05。求（1） . (2) 12证明：对于mn, . 并解释这一结果.13 设ax=0.25, ax+20=0.40, ,计算(1) (2) .14 (1) 描述净趸缴保费符号为 的保险受益。(2) 将(1)中的净趸缴保费用表2.2.1与2.3.1中给出的符号表示。15考虑以长度为 年的时段衡量的时间尺度。对于在死亡发生底那

17、个m分之一年时段末赔付1个单位的终身保险，设k是自保单生效起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整m分之一年时段数。（1）这类保险的现值函数是什么？（2）建立与（2.4.1）类似的上述保险的净趸缴保费 。（3）在1年中死亡均匀分布的假设下，证明： = .16在整数年龄间死亡效力为常数的假设下，证明（2.4.1）可写成 ，其中 。17用类似于推导（2.5.6）的方法（第一种方法），证明 18按以下步骤解微分方程（2.5.6）：（1）用积分因子 得出 = dx .(2) 用积分因子 得出 .19证明： 建立这个等式时用到什么假设？20证明并解释 .21.对于在65岁之前死亡提供2个单位受益而在65

18、岁之后死亡提供1个单位受益的双倍保障至65岁的保单，用计算机表示净趸缴保费。假定受益金在死亡年末支付。22.一种在0岁投保的死亡即刻赔付保单其分段受益金列于下表年龄死亡受益01000120002400036000480005-201000021及以后50000用计算基数写出净趸缴保费。23.在死亡均匀分布的假设下，用 , 及 表示以下净趸缴保费：（1） . （2） . （3） .综合题24、（1）回答死亡效力增加一个常数与利息效力增加同一个常数是否对 产生相同影响。（2）证明：如果单个死亡概率 增加到 +c，那么 将增加.25、一种x岁人n年期的修正生存保险当被保险人在n年期限内死亡时退还净趸缴保费。当受益金额为1000时，该保险的净趸缴保费700。如果保费不退还，则净趸缴保费只需650。（1）计算以上x岁人的n年期修正生存保险当受益金额为1000并且在期间死亡时保费100k退还时的净趸缴保费。（2）对于（1）中的修正生存保险