结构动力学哈工大版课后习题解答

1、第一章单自由度系统1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；(2) 利用牛顿第二定律证=工F，得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行受力分析和动量距分析；(2) 利用动量距定理,得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的

2、固有频率。3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤： 设系统的广义坐标为久 写岀系统对于坐标&的动能T和势能的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-V ；dt d0 d0(2)由格朗日方程?(竺)-戛二0,得到系统的运动微分方程；(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能丁和势能U 的表达式；进一步写岀机械能守恒定理的表达式T+U二Const(2)将能量守恒定理7VUN?如、对时间求导得零，即心化0,进

3、一步得到系统的运动微分方程；(3)求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。求解步骤：(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值九、4+1。4(2)由对数衰减率定义5 = 111(-宀)，进一步推导有因为较小，所以有方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。(1) 通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图:单自由度系统的幅频曲线(2) 分析以上幅频曲线图，得到：仇严0暦/ =辰/4；于是斫=(1-2彳)斫;进一步亦

4、=(1 + 2G；最后彳=( -)/2乞=M/2 ；13叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频(相频)曲线法和功率法。 方法一：幅频(相频)曲线法当单自由度系统在正弦激励尸0 sin曲作用下其稳态响应为：a = 4sin(e/-a),其中：4 -F。_xsl小m_亦)+ 4n2co2 (1-2)+ 2Zy2a = aictan(26? /(1 -沪)(2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上査的相关差数，由上述(1), (2)式求得阻尼比了。方法二：功率法：(1) 单自由度系统在sin cot作用下的振动过程中,在一个同期内,弹性力作

5、功为叱.=0、阻尼力做功为W =、激振力做作功为wf = -龙Fo sin a ;(2) 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,即：Wc + W(l+Wf =0 ;于是7T Fq sina= 0迸一步得：4 =尸。sin a/cco ；(3) 当 a)n = co 时，sina = l,则4心=凡/2Q得卩心=1/2, 歹=2/0m藏。1.4求图1-35中标出参数的系统的固有频率。简支梁刚度为*图 1-33(a)则固有频率为：CO =48E/31 1 1 厂斤+石,(a)此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为沐 攀；等效刚度为k则有(4SEI + kfn，(b)此系统

6、相当于两个弹簧并联，等效刚度为：精品1/ /图 1-33 (b)（c）系统的等效刚度,3E/, 3EI则系统的固有频率为k + 3EIco =图 1-33( c)（d）由动量距定理工加。（尸得：（丄/&.丄/+&.人丄/）二丄加叨2 2 2 2 2得：Q+仏& = o ,2m1.5求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.解：以0为广义坐标，则 系统的动能为T =厂虫物+ 丁轮子=-（加）（丘） +-/00p .f P=X +X4g 4gP2g系统的势能为:拉格朗日函数为=匕物+ U弹费=;L 二 TU;由拉格朗日方程$（爱）- =0得at ex ox则

7、,所以：系统的固有频率为1.6求图1-35所示系统的固有频率。P x+kx = Pg图中膝于半径为R,质長为M,作纯滚动。弹簧刚度为K oX解：膝于作平面运动，其动能T二T孚动+T捷功oT=-IJ r 3 rT = Mx2 + Mx1 = Mv2 ;2 44而势能系统机械能3 1T + U = -Mx2 +-tCx2 =C；4 2由（T + U）=Q得系统运动微分方程dt Mx+ Kx = 0 ；2得系统的固有频率1Kr丽；1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。巳知齿轮A的质量为半径为，齿轮B的质量为叫，半径为电杆AC的扭转刚度为K.杆BP的扭转刚度为Tb,解：由齿轮转速之间的关系少右八=

8、3丹得角速度 = ;a转角Pb= % ；rB系统的动能为：T = TA +TB =JAaA +*厶少C系统的势能为:A八* K“J + *+ K应)=；2(图 1-36系统的机械能为T + U =-(fnA+mB )/4 22 + 2 Ka+K由f (t + uXo得系统运动微分方程 a t*(“74 +叫)才0/1 +因此系统的固有频率为:r =(mA+mB)rA218巳知图1 3 7所示振动系统中，匀质杆长为/,质量为两弹簧刚度皆为K,阻尼系数为C,求当初始条件0Q=0O= 0时(1 ) f(t) = F sin cot 的稳态解；(2)几)=犯”的解;解：利用动量矩定理建立系统运动微分方

9、程/Y6C申%而 J = f rdm = f r 牛 dr =;1222得ml20+3cl20+6kl20 = 6lf(t)；化简得m tn ml求f(t) = Fsin cot的稳态解；将/（0 = Fsui6y/代入方程得0 + Q + 0 = F sin cotm m ml/a 3c. 6 6尸za令 2/? = ;A = 得mmml0 + 2n0+(o0 = h sin cot设方程（3）的稳态解为x= Asin(ef-a)-mar) +9cM将（4）式代入方程（3）可以求得:3ca)a = arctg ；r = arctg co； _ or6k - mar(2)求/(/)(/)的解;

10、将/(0 = (0代入方程(1)得O + 0+ O = S(?c早图 1-38Vo=&的主动隔振系统的运动微分方程为：inx+Cx+Kx=0 ；TX C K c或 X+ X+ x = 0;m m或 x + 2nx+a)tl2x = 0;系统的运动方程是对于初始条件的响应:1 2 +p0+y/rv0 卜+5丿x = Ae,n sin(ed f + 0)；(p = circtgi0+ynx05=0X=sin(Qd /);1.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c巳知。路面波动情 况可以用正弦函数y二hsin(at)表示。求：(1)建立汽车上下振动的数学模型；(2)汽车振动

11、 的稳态解。解：(1)建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程: y加y =-心-儿)-心-久)其中：y表示路面波动情况；y】表示汽车上下波动位移。 将其整理为：my + cy + ky = kyY + cyk(1)将y = hsm(at)代入得my + cy + ky = achcos(cit) + khsin(at)(2)汽车振动的稳态解：设稳态响应为：y = 4 sm(e/ - a)代入系统运动微分方程(1)可解得:mccoW皿莎話7而);111 若电磁激振力可写为F(/) = Hsm2y0/ ,求将其作用在参数为m、k、c的弹簧振于上 的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里

12、叶级数展开：a 二F(t) = + 工( cos(icot) + bi siii(/7yf)2 z=i2 7*其中：cr = F(t)cos(jcot)dt;bi = I F(/)sin(?曲)dfy* jo7* Jo因为F(O = /fsin2(tyoO是偶函数,所以也=0。于是(0 = y-ycos(2eyor)而Hx(t)= 一 4 sni(2yor 一 a + 龙/ 2)；式中HA- /；(-4叨 + 16心0-2ncoci = arctan 一；;-4%-cr k口一 -2mm12若流体的阻尼力可写为Fd = -/zv3，求其等效粘性阻尼。 解：(1)流体的阻尼力为Fd = -反 3

13、 ；(2)设位移为a = A cos(cd t-a),dx-xdt ;(3)流体的阻尼力的元功为dVd = Fddx = -(-hxxd t)；流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为:W = -bcoA CQScot - a) dt3=bcA47r4 粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：-亦虽取0 =叫,可得：3r令一才= 如”(6)等效粘性阻尼：第二章两自由度系统2.1求如图211所示系统的固有频率和固有振型，并画岀振型。 解：（1）系统的振动微分方程即 r mx. + 2kX -kx = 0 :I mx2 - kx、+ 2kx2 = 0 ;(2)系统的特征方程（1）根据微分方

14、程理论，设方程组（1）的解为:习 =Ak sin(o/ + a) ; x2 = A2 sin(e / + a)将表达式(2)代入方程组(1)得：(-mco2A】+ 2kAt 一kA2)sin(ot + a) = 0(rmco2A2 一肋i + 2kA2) siii(ty z + a) = 0(3)因为sin（初+ a）不可能总为零，所以只有前面的系数为零:(2斤一-Mz = 0 ;v -kAi +(2k-mG)2)A2 = 0 ;即2k-kA JAl =V0-kIk-mco20系统的频率方程若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即:2k-mco22k-mco2展开得nr c

15、d4 - mkco2 + 3R = 0 ；系统的固有频率为：coi = Jk/m ; cd2 y/3K/m ；(6)（4）系统的固有振型将,血2代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为:(7)系统各阶振型如图所示：其中S）是一阶振型,（b）是二阶振型。系统的第一主振动为f + 5);f = 4； J sin(d2 f + a】)=A2) sinX罗=sm(s t + al) = y(2)A2) sinf + aj2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。 解：（1）系统的动能T = *(2加府 +*()孑=+* 诟（2）系统的势能因为弹簧上端A、B两点的位

16、移c z/. +uU, + Itu A = 21 -： =所以系统的势能为V冲）卡（十r2 2 2 2K +u2 2U2mL图 2-12W1 I=手(5f - 2“2 + “ 1)；系统的Lagrange函数L = T-V = muf + mii2 - (5z/f 一2出2 +；)(4)系统的运动微分方程dLdldui)du j=0 （上由Lagrange方程务可得5 Kr 2mii i + Ku. - = 02 1 2 -K Kmuy 一 一 Ku x + u = 0l - 21 2 -5K2K“JA 0Hr0 (5)系统的特征方程设系统的运动微分方程的解为 = A sin(0/ + a)

17、,u2 = A2 siii(6?/ + a)代入系统的运动微分方程得系统的特征方程r( .,5J一2-2mco2 + |A. - =0 ;2 J 1 2 .K一 mar + 2丿A2=0 ;K_T.K 一 “y + 2)(6)系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零 2mar + K2K_T-mco2 + 壬)4m2co4 - JKmco2 +2K2 = 0 ;解得，系统的固有频率co. = 0.6 = 1.1V m系统的固有振型将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的固有振型W2图 2-13k(8)系统的主振动 ul) = AUJ sin(% +

18、aj= AU) sin(0.64/r + a);V m纠=A* sin(t + a.) = O.28AU) sin(0.6 / t + a.)V rn=sin( / + q)= A2) sm(1.18 j / + q);=40 sing z + a.) = -1.67A|2) sin(l18Z + a.) V m2.3均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑(0 2-13),杆的质量为m,两弹簧的刚度分别为2K和K。(1) 写出用杆端铅直位移U1和U2表示的运动方程；(2) 写出它的两个固有频率；(3) 画出它的两个固有振型；解：均质杆的运动微分方程以均质杆的静平衡位置为坐标原点，均质杆的质心C 的

19、位移为uc =y(i+2)；均质杆绕质心C的转角为 = sin t耳上*耳丄; 均质杆的运动微分方程nuic = -K(2 +u2) J 理=KiL-KL=- K “ + uz)mb“ f KL=Ku.L-讥12 L 12 (1)即叫+叭+4陆+ 2K0jmil + nui2 一 12K + 6Ku2 = 0(2) 系统的特征方程设运动微分方程(1)的解为5 = A sin(初+ q)、u2 =A2 sin(cot + a)，代入方程-mco2Al-ma)2A2 + 4K& + 2KA2 = 0 =0mar -12K6K -ma)2A0（4） 系统的频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件

20、是其系数行列式为零4K 一加2K 一加。mco -12K 6K 即解得nr co4 - 2Kmco2 +24K =0 ;系统的两个固有频率 = 1.612 ; ty2 = 3.066;（5）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的两阶固有振型殍严 74卩严）（6）系统的两阶主振动ul)=人 sin(/ + aj= Al) sin(l612f+ q) f sin( t + al) = 2.33A sin(1.612/ + aj37sin / + q) = A2) sin(3066/ + q)iA2) = A2) sing t + aj = 一 1.814严 sm(

21、3.066/ + aj2.4确定图2-14所不系统的固有频率和固有撮型，并旦出固有振型。解：(1)系统运动微分方程f2“L=2K(”2 -;即 niii2 = _2K(“2；2/hWj +2Kuk 2Ku2 = 0 ;mii2 - 2KKh ! + 2Ku 2 = 0 ;(1)图 2-14（2）系统特征方程设运动微分方程（1）的解为5 = A sin(0/ + a)u2 = A2 sin(e/ + a),代入方程(1) (K 一曲2=0 +ml3ml3e.L 43 J4即(4)系统特征方程mgL20JmgL002 J设运动微分方程(1)的解为q = A sin(/ + a)和02 =A2 si

22、n(初+ a)，代入方程(1)1 匕 zj m 匕 XL a (0. +8、+ mgq = 0414-2 1m匕心 zjLe、+3 + mg 3 = 03 2 L mis .人 ml?A 门(insor )Aco A, = 02414-ml： . x z L 血人 八A + (mg血.= 0423L mC -ml?-(加 g-6T)24_Q-4hl0ml? rL ml? A.10_4(吨了-卡一盯)(3)系统频率方程系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零z L mb(mg24ml ray=0;4z L ml (mg -Lrco4 一 14g6/ +12g? = 0 ;23解得系

23、统的两个固有频率(4) 系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得 系统的两阶固有振型+1+1113-13/112.6两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中 =*叫；K=k2 ;证明该系统的k2k x 固有频率和固有振型为：住;吉=2;解：系统振动微分方程(2)系统特征方程设方程组的解为代入方程组(1)式得,“. + 任內 + kl2x2 = 0 m2x2 + ki2x + k22x2 = 0 J(xL = sin(劲 + a)= A2 sm(/y/ + a)系统特征方程(人1 -)人 + kl2A2 = 0hi A + (一 Q7 J 人=0(3)系统频率方

24、程因为誇虑系统振动的情况，所以要求方程(2)有非零解，而方程(2)有非零解的充要条件 是其系数行列式等于零：Ku即(k22 -a)2m2) -J21 = 0(4)系统固有频率根据巳知条件k22=kl+k2=3ki)W1=|/7/2, &=1m. =2代入(3)式得2m（5）系统固有振型:将系统固有频率 代入系统特征方程（2）得系统固有振型硏一心一卡=2;4屮 认1-人1 企_k T 1中_k门_ -k、（6） 系统的主振动:精品证毕。2. 7如图2J7所示的系统，设激振力为简谐形式，求系统的稳态响应。叫N1?k:OOoo图 2-17解:建立系统运动微分方程根据牛顿第二定律,分别对“和叫列出振动

25、微分方程叫戈 1 + kg + k2g -x2) = f(t)(M)m2x2 +k2(x2 -xj = 0即:/MjXj +(人 +k2)xk 一斤三兀2 =加0=sin cot)(1-2)求系统的稳态响应：设系统的稳态响应为X = sin(o/ q) x2 = A2 sin(o/_a J(1-3)%! = Cj sin(f)t + C2 costyr x2 = D sin e/ + Q cose/(1-4)将表达式(1-4)代入式(1-2),根据两个方程中包含sine/的系数和为零及包含cose/的 系数和为零，可得如下方程组：(一?12 +R +k2)Cl -kD = mco2e ;(一加

26、1。三 +人 + k2)C2 -k2D2 = 0;即一k)C +(一+k2)Dl = 0 ;一 k)Cj +22 = 0 ；求解方程组45)得：c2=d2=omare伙三-co2m2)C j =-mlm2co4 -mk2co2 m2klG)2 +klk2 -m2k2a2m(o2ekD、=；mn2a)4 加也2“，一叫+klk2 m2k2a2C2 = D2 = 0 ;(1-6)所以在公式 Xj = sin(初-aJo =A2 sin(ty/-a2)中有mareg JA】=m1/n24 一叫匕3 m2kld)2 +klk2 m2k2(o2mco2ekA2 =；七/?1/7/2ty4 -/?12(0

27、2 _乙*少2 +kYk2 -m2k2co2 Q = a? = 0 ；(17)2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(cot)作用于质長块M上，求使M不动的条件。解：(1)系统有两个自由度，选广义坐标为x，w(2)系统的动能1 .1.1.1兀T = - MX2 + - mX2 +?(/0)三2 加/大 0cos02 2 2 2 (3)系统的势能力KSftz彳伽WVW g M绅加心M2/2/、A i(4) Lagrange 函数图 2-18L = T-UL = (M+m)x2 + inl22 - mlxcos(/- kx2 - ingl + mglcos(/对Lagrange函数求导

28、g = (M + m)x -cos 0 ;(秽)=(A/ + m )x 一 m l(j)cos 0 ; g = -2kx ;oxdt oxdx= m lx(f sin 0 _ 】g/sin 0 ; 60冬=Micos0=加广0 加应 COS0 ;60dt 6060(6) Lagrange 方程d 一力 djFaL-ax弘一切 -=Fsm cot=0得(M + m)x - ml (ft cos(/+ 2kx = Fsmojtml 询一 mix c os0 mlxsm 0 + mgl sin 0 = 0 因为振动为微幅振动，所以cos/a l-0,sin0a 0(7) 解方程：设x= AsnidX

29、 , 0 = sin曲代入方程并整理得：-Aco2(M + m) + Bco+ 2Ak = F-co2Bml2 + Amico2 - mlAB2co2 + Bmgl = 0因为M不动，所以A二0。而B不能等于零，故，mgl 一 a)2nil2 = 0 ,解得2.9在图2J9所示的系统中，轴的弯曲刚度为EJ,圆盘质是:为它对其一条直径的转动惯 量为1FR2/4,其中R二L/4。设轴在它的静平衡位置时是水平的，且忽菇轴的质員。求系统 的运动微分方程和固有频率。解：（1）系统自由度、广义坐标：图2J9所示的系统自由度N=2,选Y.。为广义坐标。(2) 系统运动微分方程y =;0 = -al2my-a

30、22I0 ;(1)L2L=3EJ2EJ EJ(3)系统特征方程其中系数:L3y = A1 sin(ef + d )0 = A2 sin(o/ + a )代入方程(1)得sin(a)t + a)-allma)2Al sin(6? t + a)- al21 co2 A2 sin(cot + a) = 0; A2 sin(d r + of) - al2m co2 sin(6? t + a)- a221 co2 A2 sin(ef + a) = 0;整理得1-切加o-ai2Ico21-0.3EJ_2EJ0-ai2mco2 lr_Q-.L ,1-0ml?-L7I2EJ(4)系统固有频率特征方程(2)由非

31、零解的充分必要条件是其系数行列式等于零:mL33Vco2L2I 2CD2EJ2EJl-j2=0;旦L廿一輕”+i=o；192(內)- 48EJ解得:图 2-202.10 图 2-20 所示的是两自由度系统。其中= Pcos(Q/) , k=987,m=l, C=0.6284, C - 628,求系统的固有频率、振型和5的稳态响应。解：(1)系统自由度、广义坐标系统自由度22;广义坐标选ul和u2(2) 系统运动微分方程根据牛顿第二定律，写出mHl =-Ki(l + Ku2 w1)+C/(m2+ 打mii2 = -Ku2 -Cu2 +C( - J+KQq _) ；写成矩阵形式:+K + K -K

32、-K K + K尸 cos(G/)0(2)系统的固有频率和振型对于系统运动微分方程两边作拉氏变换得ns2 +(C + Cf)s +(K + Ki(5)一(Cs + K9)U.($)=,凡， 一 Cs + K r)U ($) + ns2 +(c + Cf)s +(K + K )7三(5) = 0 ;7S 2+ (C + r)s +(K + K，)- C$ + K，)J_onis 2Cfs + K9)ns2 +(C+Cf)s +(K + Kf) 解得j12 q-0.31土丿314，S34 心一0346士丿37.37;因此 q314、s q3737; 系统的固有振型，即各阶振幅比为：系统的第一主振动

33、为f = Al) sing t + al)= Al) sin( / + a】)； x屮=4严 sin( t + al) = 了4” sin( / + q)系统的第一主振动为f = A2) sin( / + q) = A2) sm( t + a2); f = 4卩 sin( / + q ) = y2)A2) sin( t + cx2)(3) ul的稳态响应由拉氏方程组解得S (s)=讪/+(*严仗+刈；1血 +(C + C；)s +(K + K，)+Cs + K)(F +Q 叮于是“+(C + C牛+(K + K，)2ns2 +(C + Cr)s +(K + Kr)pH52 +Cs + ks +

34、 JQ.)：1204。于+(O69Q)(1421Q2)+(O.75G )2 J(987-Q2)+(0.0.63Q )0.69Q0.75Q0.63Qa = arctan_ arctan_ arctan12040?1421-Q2987-Q2U1的稳态解为cos(C/ + a);2.11减小受简谐激振励单自由度系统的振幅的方法之一，是在该系统上附加一个“可调吸 掠器7吸振器由弹簧质長组成。这样原系统和吸振器就构成了一个两自由度系统，见图221.(1) 建立系统的运动方程；(2) 设系统的稳定响应为u1 (t) = U、cos(G/), u2 (t) = U2 cos(G/),试证明S(/厂口讪,g)

35、=也1DQ)- D(Q)其中 D(Q) = (kY +k2 GhqXh -Qrm2)-k；(3) 将吸振器调到叫,证明当时，即原系统处于共振状态，匕的 响应振幅为零；(4) 若吸振器调到叫I叫=0.25时，画出人/戸和人匕/戸对频率比r = G/JkJ叫的 频幅图。解：(1)对每个质量进行受力分析，由牛顿第二定律得系统的运动微分方程/w1 坷=P cos(G/)-Rm +k2(ti2 - uj叫 u2 = k2(ul -u2)mL uk+ (h + k2)ul - k2u2 = p、cos) m2 u2-k2ui +k2u2 = 0(2)将系统的稳定响应代入运动微分方程组得伙+k2- )Ul

36、- k2U2 = Pi-k2Ul +(虬-m2Q.2)U2 = 0由Cramer法则,其中)(G) = (k +k2 一-Cl2m2)-k;（3）当kJ叫时,系统的频率方程为D（C） =& +k2 一7。-一 4一kr 一?q将ng 代入上式，显然满足方程，故此时系统处于共振状态。并且有设kjm、=kj叫、且卩=叫叫=025时,可得（1 + 0一尸）（1一尸）_01（1+0_斥）（1_厂）_0所以频幅图为1501U/p1jkq/Pi1I100500-5010000.522.5第三章多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。1AAAA-AA/Wm2,v3A/W7=

37、7/ / / /y解：（1）系统自由度、广义坐标图示系统自由度N二2,选灯、x2和x3为广义坐标；图3-10（2）系统运动微分方程根据牛顿第二定律，達立系统运动微分方程如下：加禺=-A：1x1 -X：2（x1 -x2）；叫攵2 =一勺）_3（入、-X3）-AT5X2 一 心兀2加3丘3 =_3（片3 _牙2）_4兀3；整理如下加+(K + K2)xi - AT2x2 = 0；m2x2 - Kg +(K三 +K$ +K + K6)x2 AT3x3 = 0;加3丘3 一 KX? +（心+心）心=0;写成矩阵形式00 .(K + KJK工0r0m20x2+-心心卜心+心+心）_心x2= =0 ；0(

38、K 3 + K4 )A.L（4）系统频率方程系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零, 即0（心+心+心+心一叫/ ）-K-心 =0;(K3 + Kj )展开得系统频率方程(K + K*)(K + K3 + K5 + K& ) ?)(X3 + KJ 匕)一 K；(K$ + KJ-蚀/)-K：(Ki + KJ-加/) = ();进一步计算得(K + K J )(K r + K 3 + K5 + K6)(K 3 + K4 ) )_ K (K, + KJ-蚀矿)-K (K + 心)_加6)=(K + K )(K r + K3 + K5 + K6)(K r + K3 + K5 + K

39、&) _ m = (K】+ K+)(3 + KJ K 2 (K3 + K4)一加)K 3 (K + KJ =(K + KJ(K3 + K4)K2 + K3 + K5 + K6)-(K1 + K2)(K2 + K3 + K5 + K6)nco2-(K3 + KJ(Kr + K3 + K5 + K+(K= + K$ + K5 + K一 q(K + K2)(Kz + K4)g)2 +(K + K2)m2mG)4 +(/f3 + K4)mlm2a)4屮”r匕。一K,(K3 + Kq)+K； K亍(K】+ Kr) + K亍屮36?=+(K + K2)m2n +(/f3 + AT4)/?17；?2 +(K

40、= +K3 + K5 + AT 6)/?1/z3)ty4 + (K；加 3 + K亍屮”3 “4 (K i + K* XK3 + K4 ) (K + Kr )(K+ K+ 區 +心)(心+心)(心+心+心+心)-灯(心+心)-灯(心+心)a6co6 +a4a)4 +a2co2 +aQ = 0 ;= 0 ;其中a6 =_,叫m3 ;a4 =(K + KJ叫叫 +(K$ + Ar4)/?1/7?2 +(/l2 + K, +K5 + K叫叫；6/ = K J 、+ ”?r (K + K )(X3 + K4 ) (K】+ Kr )(K - + K + K ;q = (K + Kj )(K$ + KJ(K 三 + 心 + K5 + 6) K；(心 + KJ- K； (A + KJ;求解方程(3)得系统固有频率 = （/n，yK,K2，K3，K4，K5，K6），（，= 123） ;（4）（5）系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型，