线面垂直、面面垂直

1、线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么 这条直线和这个平面垂直（2）判定定理：如果直线I和平面 内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直 线I垂直于平面 .（线面垂直 线线垂直）（3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条 直线也垂直于这条斜线在平面内的射影. 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直， 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.（4）线面垂直的证明例1已知正方体ABCD A1B1C1D1，求证：AC 面AB1D1 .例2如图1所示，

2、ABCD为正方形，SA丄平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交 SB SC, SD于 E，F，G .求证：AE SB，AG SD .例 3 已知 ABC 中 ACB 90, SA 面 ABC,DAD SC,求证：AD 面 SBC.例4在正方体ABCD AiB1C1D1中，M为CG的中点，AC交BD于点0 ,求证:A0 平面MBD .练习1在正方体ABCD ABGDi中.(1) 求证：AC 平面BDiBD.(2) 求证：BD1 平面ACB1.练习2在三棱锥A BCD中，BC AC , AD BD，作BE CD , E为垂足，作 AH BE于H.求证：AH 平面BCD.练习3在四棱锥P ABC

3、D中，PA 底面ABCD，AB AD，AC CD， ABC 60，PA AB BC，E 是 PC 的中点(1) 求证：CD AE .(2) 求证：PD 面 ABE.面面垂直(1) 二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为I，两个面分别为，,二面角记作为 I .(2) 二面角的平面角定义：在二面角I 棱I上取一点0,在半平面 和 内， 从点0分别作垂直于棱I的射线0A,0B，射线组成 A0B.则 A0B叫做二面角的平 面角二面角的取值范围为0 ,180.(3) 面面垂直定义： 若两个平面的二面角为直二面角 (平面角是直

4、角的二面角)， 则这两个平面互相垂直.(4) 面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直.(5) 面面垂直的正面即：面面垂直线面垂直 线线垂直.ACB 90例1如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，e是AA的中点.(1)求证：AC/平面 BDE ;(2)求证：平面 AAC 平面BDE .例2如图，直三棱柱 ABC AB1C1中，侧棱垂直于底面,1 AC BC 一 AA，D是棱AA1的中点，求证：平面 BDG平面BDC 2练习如图，过S引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC，且ASB ASC 60 , BSC 90，求证：平面 ABC丄平面 BSC.三立体几何高考证明例1

5、 （2013江苏）如图，在三棱锥SAB BC , AS AB，过 A 作 AF SA, SC的中点求证：ABC中，平面 SAB 平面SBC ,SB，垂足为F，点E, G分别是棱(1) 平面EFG/平面ABC ;(2) BC SA BC例2 （2012江苏）如图，在直三棱柱ABC ABG中，AQ , D ,E分别是棱BC，CCl上的点（点D不同于点C），且AD DE，F为BlCl的中点.求证：(1) 平面 ADE 平面 BCC1B1 ;BCiC(2) 直线A.F /平面ADE .例3如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四四边形，DAB 60 ,AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD(2)设PDAD1，求棱锥D PBC的高练习1如图，几何体E ABCD是四棱锥V ABD为正三角形CB CD,EC BD.(I )求证：BE DE ;(II)若/ BCD 120 ，M为线段AE的中点，求证：DM /平面BEC .练习2 (2011天津)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是平行四边形,ADC 45，AD AC 1，O 为