非线性分析作业

1、学院：材料科学与工程学院 专业：材料工程姓名：飞 学号：1125作业：找出几个所在专业研究领域的重要而且有研究价值的非线性问题及其模型，要求写出相应的模型方程及其所涉及的变量参数涵义，并列举出研究该模型的主要研究现状。（不少于3种）举例1：材料力学领域的非线性问题非线性本构和非线性本构复合材料1.1 研究非线性本构模型的意义从力学的角度来看，C/SiC复合材料属于准脆性的各向异性材料。以碳纤维、热解碳界面和SiC基体三种典型组分构成的C/SiC复合材料为例，相对于脆性的单质陶瓷，该材料具有较好的韧性。主要原因是在机械载荷作用下，材料内部存在如前所述的基体开裂、界面脱粘和滑移、纤维断裂和拔出等多

2、种能量耗散机制。虽然这些细观损伤模式有别于金属的屈服机理，但是材料表现出类似的弹塑性-损伤力学行为。图1-1为C/SiC复合材料在沿轴向拉伸加卸载条件下的典型应力-应变曲线，从图中可看出：材料的线弹性极限较低，通常为20MPa左右；当应力水平超过弹性极限之后，材料的弹性模量（E0）开始减小，同时产生类似于不可回复的残余应变，卸载-重加载过程中应力-应变曲线形成迟滞环，且迟滞环的宽度随卸载点应力的增大而不断增大。该材料的剪切应力-应变关系也有类似的特征。由此易知，在对C/SiC复合材料的应力-应变关系进行分析描述时，传统的线弹性本构模型已经不再胜任；而如果仅在线弹性范围内使用该材料，则不能充分发

3、挥出材料的力学性能，安全裕度过大，与航空航天器追求减重的目标不符。因此需要充分了解该材料的非线性力学行为，特别是其内部的损伤机理与特性，并为其建立合适的非线性本构模型。图1-1 C/SiC复合材料的典型拉伸加/卸载应力-应变曲线建立非线性本构模型的一个重要作用是辅助C/SiC复合材料的结构优化设计。如前所述，目前C/SiC复合材料已经开始逐步在航空航天器结构上使用，轻质、可重复使用等特性有助于提高飞行器的性能，并降低寿命周期内的使用和维护成本，但是这类材料仍然存在造价高的缺点。例如，德国DLR为X-38 V201飞行器提供的全C/SiC复合材料襟翼的尺寸约为1.4m1.6m，重68公斤，造价高

4、达2千万美元。这是由材料制备工艺的特点决定的。以较为成熟的等温CVI工艺为例，该工艺具有能够制备出高纯度的基体、可用于一定厚度构件的近尺寸成型等诸多优点，但是为防止沉积的基体太快地封堵预制体孔隙通道，需要在相对缓慢的沉积速率下进行，因此材料的制备周期长，通常需要几周或数百小时的时间，而且化学反应过程中生成的HCl等副产物对设备有腐蚀作用，导致制备成本偏高，限制了材料的推广应用。因此，为C/SiC复合材料建立合适的本构模型，在结构设计阶段将本构模型与商业有限元软件结合，准确计算和结构在不同受载条件下的应力状态并预测其承载能力，有助于结构的优化设计，同时省去或减少大量的试件制备和测试过程，从而降低

5、热结构的研发成本。国内已经对C/SiC的损伤机理和本构模型开展了一些研究工作。潘文革等人对二维和三维编织C/SiC复合材料在单轴拉伸载荷下的损伤演化进行了试验研究，通过分析声发射事件数和相对能量等参数，发现两种材料的拉伸损伤过程大致分为初始损伤阶段、过渡阶段、损伤加速和快速断裂阶段；杨成鹏等人对二维编织C/SiC复合材料单轴拉伸非线性力学行为进行了试验研究，通过循环加卸载试验方法，获得了材料的残余应变和卸载模量随拉伸应力的变化关系，并建立了基于剪滞理论的细观损伤力学模型；陶永强等人将二维编织结构简化成正交铺层和纤维束波动部分的组合，采用了Curtin和Ahn提出的基体随机开裂、纤维随机断裂的统

6、计分布理论以及体积平均方法，预测了二维编织C/SiC复合材料的应力-应变关系。此外，宋迎东和李龙彪等人采用细观力学方法，对单向C/SiC复合材料的拉伸应力-应变关系，包括卸载-重加载过程中的迟滞行为进行了系统的理论研究。细观模型的主要缺点在于，当考虑剪切、拉剪或压剪等复杂应力状态对细观损伤发展的影响时，模型将变得非常复杂，目前大部分的相关文献中均只针对简单应力状态下材料的力学行为进行了试验分析或理论建模。此外，刘明爽等人研究了二维C/SiC复合材料在动态压缩载荷下的力学性质，发现材料的动态压缩应力-应变关系是非线性的，动态压缩强度和弹性模量随应变率增大而升高，压缩强度服从韦布尔分布，并依此建立

7、了一个一维的考虑损伤和应变率的宏观本构模型。尽管如此，国内在C/SiC复合材料的本构模型研究领域的文献仍然较少，目前尚无完善的宏观损伤（或非线性）本构模型。国外在此领域的研究现状将在下节中详细介绍。Kumar在文献中指出：CMCs在工业领域的广泛使用仍然面临许多挑战，一方面目前仍然缺乏对多轴应力状态、构件几何形状、环境、温度及温度梯度和加工缺陷等因素对CMCs的损伤和失效机理的影响的认识；另一方面在复杂CMCs结构设计中，仍然缺少强健、有效的分析预测工具。本文将以 CVI 工艺制备的二维平纹编织（以下简称二维）C/SiC 复合材料为研究对象，首先将对该材料在简单和复杂应力状态下的力学行为进行试

8、验分析，以进一步了解并掌握材料的非线性应变-应变关系和损伤特性；然后为该材料建立非线性的宏观本构模型，并力求将理论模型与有限元软件结合，以实现其工程应用。1.2 非线性本构模型应力-应变的研究进展参考Lynch 等人的试验方法，在标距段的沿试件轴向和编织物方向粘贴两个0/90应变花SG1 和SG2，以同时测量轴向应力x作用下x-y整体坐标系下的正应变（x和y）和材料局部坐标系下的正应变（1和2）。平面应力状态下，应变分量之间满足以下坐标转换公式： 式中：m =cos ，n =sin ，为偏轴角度；xy和 12为两个不同坐标系下的工程剪应变。 从上式可求解出 12和 xy的表达式：在两组应变花测

9、得正应变 x、y、1和 2后，工程剪应变可由以上两式计算得到。 类似地，整体和材料坐标系下的应力分量 x, y, xy和 1, 2, 12之间有如下关系：在轴向拉伸或压缩状态下（x 0，y = 0，xy = 0），如不考虑试验机夹持端的横向约束引起的局部应力非均匀分布，可从上式求得材料局部坐标系下的面内应力状态：从上式可知，除0正轴向试件外，三组偏轴试件在轴向拉伸和压缩应力作用下均处于比例加载的平面应力状态，如图1-2所示。其中，15偏轴试件中材料主方向上应力分量的比值|1| : |2|: |12| 3.73: 0.27: 1，30偏轴试件的比值为|1| : |2|: |12| 1.73: 0

10、.58: 1，45偏轴试件的比值为|1| : |2|: |12| 1: 1: 1。可以看出：随偏轴角度（0, 45）增大，剪应力分量与法向应力分量之和的比值（|12|/|1+2|）增大，且2/1也增大。(a) 偏轴拉伸 (b) 偏轴压缩图1-2偏轴拉伸和压缩加载条件下材料主方向上的应力状态示意图为获取材料的应力-应变关系曲线，以及不同应力水平下的非弹性应变和损伤信息，采用了载荷幅值逐渐增大的加载-卸载-重加载试验方法（以下简称加卸载试验方法）。除0正轴向试件的压缩试验外（该试验条件下应力-应变曲线通常近似为线弹性），对正轴向和三组偏轴向直条形试件进行了拉伸和压缩加卸载试验；另外，还对 0、30

11、和 45试件进行了拉伸-压缩循环加卸载试验，以了解材料在压缩应力作用下可能存在的损伤钝化力学行为。 上述拉伸和压缩试验均在液压伺服试验机上完成。0正轴向试件的压缩试验选择量程为 50k N的液压伺服试验机（Model 8801, Instron Ltd., England），其余试验均选择量程为 10k N的液压伺服试验机（Model 8871, Instron Ltd., England），以提高载荷测量精度。试验中，轴向拉、压载荷通过试验机的载荷传感器实时测得，同时采用静态应变采集系统（DH3815N，东华公司，中国江苏）以 2Hz频率同步采集试件的应变。最后处理数据得到在不同加载状态下试

12、件轴向以及材料主方向上的宏观应力-应变曲线（x-x/y，1-1，2-2，12-12）。通过简单加载试验，依次获得了0正轴向试件的拉伸、压缩和剪切应力-应变曲线，典型曲线如 图1-3所示。从图1-3a中拉伸应力-应变曲线的形态分析可知，材料表现出显著的非线性和韧性断裂力学行为。材料在初始承载阶段保持线弹性，超过约为 20MPa的拉伸应力（该应力值通常称之为基体开裂应力或比例极限）后，加卸载曲线显示材料的切线模量和卸载模量不断减小，卸载后可观测到类似于金属塑性应变的非弹性应变，且卸载-重加载过程中形成迟滞环；随拉伸或剪切应力增大，迟滞环的宽度和卸载后的非弹性应变数值逐渐增大。由此可知，刚度退化和非

13、弹性应变累积是材料的拉伸应力-应变曲线产生非线性的直接原因。另外，从图中对比可知，单调加载曲线对加卸载曲线近似形成包络，表明卸载、重加载至原卸载点应力的过程中并未产生明显的新的损伤。图中两组曲线的强度差异主要与试验数据的分散性较大有关。(a) 拉伸 (b) 压缩(c) 剪切图1-3 三种简单加载状态下的典型单调加载和加卸载应力-应变曲线在简单压缩加载条件下，二维C/SiC复合材料表现出准脆性材料的力学行为。与非线性拉伸应力-应变关系曲线截然不同，图1-3b显示材料的压缩应力-应变关系在失效前近似保持为线弹性，且一般情况下压缩强度要高于拉伸强度，反映出材料的力学行为具有显著的单边特征。 从图1-

14、3c中可以看出，面内剪切应力-应变曲线表现出与图1-3a中曲线类似的非线性特征。不同剪应力水平下的加卸载曲线显示，随加载峰值应力增大，材料的剪切卸载模量逐渐减小，非弹性应变则逐渐增大，这是单调剪切加载时应力-应变曲线表现出非线性的原因。材料的剪切断裂应变数值较大，表现出良好的韧性断裂特征。为表征材料的损伤状态，根据图1-3中拉伸和剪切加卸载应力-应变曲线的形态，并忽略卸载和重加载过程中迟滞效应的影响，以卸载模量相对初始模量的折减程度作为材料损伤状态的度量（如图1-4所示），其中卸载模量取卸载点和迟滞环曲线与坐标轴交点连线的斜率。在材料的局部坐标系下，定义一组标量型损伤变量di (i = 1,

15、2, 6)：式中：E1、E2和 G12均为工程弹性模量，上标0和d分别表示初始和损伤状态。 同时，将应变分量1,2 和12分解为弹性应变和非弹性应变之和：式中：上标e和p分别代表应变的弹性和非弹性部分。图1-4材料的拉伸或剪切加卸载应力-应变曲线分析示意图1.2.1 复杂应力状态下的应力-应变曲线从式中可知，偏轴拉伸或压缩加载时材料主方向上的三个应力分量1、2和12均不为0，编织纤维束处于相对复杂的平面应力状态（或称双轴应力状态）。上节中所讨论的简单拉伸、压缩和纯剪切应力状态属于平面应力状态的特殊情况。根据试件的偏轴角度不同，本节中将对比分析不同的平面应力状态下，二维C/Si C复合材料在整体

16、和局部坐标系下应力-应变曲线非线性特征和损伤发展规律。1.2.2 偏轴拉伸试验结果与分析15、30和 45偏轴试件在轴向单调拉伸和加卸载条件下的典型应力-应变曲线如 图1-5所示。与图 1-5a中0正轴向试件的拉伸结果相比，相似之处在于偏轴拉伸试件同样表现出显著的非线性应力-应变关系特征，包括损伤演化和非弹性应变的累积；同时单调加载曲线仍然近似地对加卸载曲线形成包络。尽管如此，随偏轴角度增大，这些曲线之间仍然存在一些重要的差异。 (a) =15 (b) =30(c) =45图1-5 三组偏轴角度试件的典型轴向拉伸（单调加载和加卸载）应力-应变曲线通过应变测量方法，同时获得了三组不同偏轴角度试件

17、在材料局部坐标系下的应力-应变曲线，如图1-6所示。从图中可以看出，偏轴拉伸载荷作用下，材料主方向上的正应力和剪应力-应变曲线均表现出显著的非线性特征。与简单拉伸和纯剪切应力-应变曲线（见图1-3）相比，主要的差别是偏轴拉伸试件的比例极限降低，且损伤的发展和非弹性应变的累积速率明显加快。特别是 图1-6b中材料2方向上的正应力-应变关系曲线显示，15和 30偏轴试件在非常低的拉伸应力2水平下，拉伸卸载模量即产生明显退化，且卸载后可观察到显著的非弹性应变。 (a) 1-1 (b) 2-2(c) |12|-|12|图1-6 三组偏轴角度拉伸试件材料主方向的典型加卸载应力-应变曲线举例2：材料加工领

18、域的非线性问题漆包线热处理系统的非线性建模和自适应控制1.非线性建模漆包线热处理过程分两个阶段.第一阶段从开工到系统进人工作点附近的稳定状态,系统特性呈现非线性。第二阶段是系统在工作点附近的小范围内变动,它的状态可用线性模型表示,文1给出了系统结构和处理了第二阶段的建模与控制.本文是文1的继续,讨论第一阶段的建模与控制器设计。为便于实现,将每对线圈和测温点看成一个独立的迥路,考虑到周围迥路的影响,假定数学模型有如下形式: （1）其中x1表示被研究迥路的输出温度,x2是温度变化率,x3是周围环境的平均温度,它取所研究迥路上、下两个测温点温度的平均值.参数ai，i(1,5)用实验得到的数据加以估计

19、。u(t)，z(t)(0tT)表示实验得到的输人、输出数据，y(t)是模型输出.模型中参数选择要使下面纯量性能指标J取极小: （2）将J对参数ai求偏导得 （3）为了求，在(1)式两边对ai求偏导数,记 （4）则有参数估计的计算步骤为1) 取初始估计ai，i(1,5)。2) 由方程(4)求解zij。3) 由(3)式求。4) 修改初始估计,新的估计，c*是非负常数,可用多种方法确定,如二次插值.5) 判别的绝对值是足够小，若成立，迭代结束，否则返回。按以上步骤求得2自适应控制器设计为减少计算量,选择对模型最灵敏的参数,由上节获得的数值可知,a1对模型最灵敏,其次是a3,因此将a1,a3选为自适应

20、参数.为了能应用文3的结果,需要将模型(l)修改成线性地依赖于参数. （5）其中，方程(5)中,当1=a1，2=a3时即化为模型(1).将a1,a2,a4,5取为上节中的估计值,则当1，2和a1，a3偏离不大时,数学模型(l)和(5)非常接近.模型(5)中的向量场了f(x),g(x)线性地依赖于未知参数,可以表示为 （6）显然这个系统是可以完全线性化的.进一步其中Lfh(x)表示h(x)关于f的李导数.由于x3是被加热线圈上下两层的平均温度,在实际情形x3205,所以对一切xR2，Lfh(x)0，即模型（6）有严格相对阶2;满足文3定理3.3的要求,因此有如下自适应算法:l)控制律。其中分别是

21、1，2的估计，yM是希望输出值，表示它的i阶导数a1,a2使下面的传递函数稳定2)参数修改律.记为新的参数向量，的估计为，则参数修改律为 （9）其中表示拉普拉斯逆变换.命题1.由式(6)(9)组成的闭环系统满足，并且状态x和参数估计有界。利用上述结果,三个迥路互相祸合的仿真结果见图1.系统初始状态为，。希望输出值为定值,分别是yM1=400，yM2=390，yM3=380。举例3：凝聚态物理学领域的非线性问题Graphene 的非线性弹性研究3.1 非线性弹性理论基础的研究意义当晶体中点x=( x1, x2, x3)由于形变到点x=( x1, x2, x3)，我们定义 Jacobian 形变梯

22、度矩阵Lagrangian 应变定义为Lagrangian 应变可以很方便的表述弹性体随应变的变化行为。在非线性理论下，系统的内能U (ij,S)和Helmholtz自由能F(ij,T)随应变的变化关系可以展开为 Lagrangian 应变的Taylor级数，分别为这里 T 是系统的温度，S 是熵，V0表示没有形变时晶格的体积。相应的等熵和等温二阶弹性常数和三阶弹性常数分别定义为内能和自由能的二阶导数和三阶导数。二阶和三阶等熵弹性常数为同样，二阶和三阶等温弹性常数为注意到对于二阶和三阶弹性常数我们都定义在系统的平衡态，即非形变态，这时 =0。本文只考虑零温非线性弹性理论，所有计算中都是在 T=

23、0K 时进行的，由于F = U TS所以C S = C T在下面的讨论中，我们不再区分等温和等熵弹性常数。上面我们可以看出二阶弹性常数Cijkl 和三阶弹性常数Cijklmn分别为4阶张量和6阶张量。为讨论方便起见，在下面的讨论中采用Voigt符号。Lagrangian应变是对称张量，在Voigt符号11 1, 22 2,33 3, 23 4,13 5,12 6下表示为这样，在 T=0K 时，能量与应变的关系可以表示为这里 ( ) 定义为应变能密度。上面介绍了对于任意对称性晶体非线性弹性理论。在弹性常数的具体计算中，我们必须知道给定晶体的独立的弹性常数，这可以通过晶体的对称性确定。对二阶和三阶

24、弹性常数，晶体对称性要求下面的变换成立这里Q是晶体对称群的变换矩阵。此外，通过上式，计算弹性常数必须获得在应变态下单位体积的能量的变化即应变能密度 () ，这可以通过计算应变态相对于非应变态的能量的增量来得到。为了确定应变态下晶格的原胞，Lagrangian形变梯度矩阵J ij施加在非形变晶格量ri上，从而得到应变态下的晶格矢量ri，有注意，（1.12）式给出的是 Lagrangian 应变与应变能密度的关系。如果要确定应变态下的原胞，我们还必须得到给定 Lagrangian 应变下的 Lagrangian 形变梯度矩阵J，这可以通过反解（1.2）式得给出，一般情况下，给定，形变梯度矩阵J并不

25、是唯一的，各种不同解的J之间相差一个刚性转动，但这并不影响应变能密度 ( ) 的值，因为刚性转动下能量是不变量。为了计算方便，我们通常在计算二阶和三阶弹性常数时定义 Lagrangian 应变为单参数函数 ( )，我们可以把应变能密度表示为因此，只要我们确定了上式中平方项和立方项的系数，便容易计算出二阶和三阶弹性常数。通过计算不同 Lagrangian 应变的应变能密度，再通过最小二乘法拟合得到应变能密度与参数 的关系。3.2 Graphene的非线性弹性研究进展2008 年，Lee 等人通过用原子力显微镜（AFM）探针向自由悬挂的单原子层graphene施加压力的实验发现，在graphene

26、样品微粒开始碎裂前，它们每100 纳米距离上可承受的最大压力居然达到了大约2.9微牛，因此石墨烯具有很大的断裂强度，并且在应变小于 20%范围内都可以保持弹性形变。石墨烯是人类已知强度最高的物质，比钻石还坚硬，强度比世界上最好的钢铁还要高上 100倍。Lee 等人得实验测得 graphene 在单轴应变下施加应力与观察到的应变满足下面非线性标量关系 = E+ D2其中 E 为二维单层石墨的 Young 氏模量，D 为有效非线性（三阶）弹性模量。在Lee 等人的实验中，他们测得E = 34040Nm-1，D = 690 120Nm-1。Young 氏模量 E 的值在实验和理论上已经得到广泛研究，

27、并与先前的理论和实验结果相符合，但是D的值需要在理论上进一步研究。最近，一些理论研究结果也表明石墨烯为母体的材料中存在非线性的弹性象。Liu 等人和 Xiao 等人分别用从头计算方法和分子动力学方法研究了扶手型和钜齿型碳纳米管的非线性弹性，但他们并没有把结果结合有限应变连续弹性理论。Lu 和 Huang 基于原子尺度并结合非线性连续弹性理论模拟了单层石墨烯在单轴应变下的力学行为。Bu 等人用分子动力学模拟了graphene纳米带在拉升应变下的力学性质，结果表明graphene纳米带展示出了非线性弹性行为。Cadelano等人用紧束缚原子模型模拟了graphene的非线性弹性性质，并计算出有效三

28、阶弹性模量 D 的值为-583Nm-1。虽然Cadelano等人的结果与实验值在一定程度上是符合的，但是他们获得 Possion 比的值为0.31，而大量实验和理论结果都表明graphene的Possion比在0.160.19之间。分子动力学模拟会产生由于原子间势的选取带来的误差。因此，选取基于密度泛函理论的第一性原理方法来研究graphene 的非线性弹性行为具有重要意义。由非线性弹性理论的基本知识知道要完全表述描述石墨烯的非线性弹性行为，必须获得完备的二阶和三阶弹性常数。下面讨论中我们首先通过石墨烯的对称群确定独立的二阶和三阶弹性常数以及与非零分量的关系，然后确定需要施加的 Lagrang

29、ian 应变，最后通过第一性原理计算出相应应变下的应变能密度并计算出独立的二阶和三阶弹性常数。Graphene 中独立的二阶和三阶弹性常数图 3.1 二维 Graphene 原子排列结构。原胞基矢量为1a 和2a ，一个原胞内包含两 个碳原子分别为 A 和 B。我们以 x 方向为扶手型方向，y 方向为锯齿型方向建立坐标系。图 3.1 给出了 graphene 的晶格结构。在如图所建立的坐标系中，原胞基矢量取为其中a =| a1 | =| a2 |为graphene单层的晶格常数，注意这时没有施加应变，graphene的原胞没有变化。在本章的研究中，我们只考虑平面内的弹性应变，即不考虑graph

30、ene 的弯曲效应对应变能密度的影响，所以与竖直方向有关的分量全部为零，即可以获得这里 I , J = 1,6。图3.1可以看出，二维六角蜂窝格子具有6hD 对称性。取合适的对称性操作算符T ，通过矩阵乘法，便可以得到石墨烯其余非零独立的二阶和三阶弹性常数。非零的二阶弹性常数CIJ 为非零的三阶弹性常数CIJK为从（3.5）和（3.6）式可以看出，若只考虑平面内应变，graphene 独立的二阶弹性常数有两个即C11 和C12 ，独立的三阶弹性常数有三个C111 ，C112 和C222 。若要获得完备的二阶和三阶弹性常数，施加独立应变的个数必须大于或者等于独立的三阶弹性常数的个数。根据上面两式，选取如下形式的三个单参数平面应变：这里 为刻画应变大小的参数zig代表 zigzag 方向单轴应变，arm 代表armchair 方向单轴应变，eq均匀膨胀平衡轴应变。相应的应变能密度