数据结构第五章PPT学习教案

1、会计学1数据结构第五章数据结构第五章2数组：数组： 由一组名字相同、下标不同的变量构成由一组名字相同、下标不同的变量构成注意：注意： 本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高级语言中的数组是顺序结构；而本章所讨论的数组与高级语言中的数组有所区别：高级语言中的数组是顺序结构；而本章的数组既可以是顺序的，也可以是链式结构本章的数组既可以是顺序的，也可以是链式结构，用户可根据需要选择。，用户可根据需要选择。答：答：对的对的。因为：。因为： 数组中各元素具有数组中各元素具有统一的类型统一的类型； 数组元素的下标一般具有数组元素的下标一般具有固定的上界和下界固定的上界和下界，即数组一旦被定义，它的

2、维数和维界就不再改变。，即数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。数组的数组的基本操作比较简单基本操作比较简单，除了结构的初始化和销毁之外，只有存取元素和修改元素值的操作。，除了结构的初始化和销毁之外，只有存取元素和修改元素值的操作。讨论：讨论：“数组的处理比其它复杂的结构要简单数组的处理比其它复杂的结构要简单”，对吗？，对吗？第1页/共36页3一维数组的特点：一维数组的特点：1 1个下标，个下标，a ai i 是是a ai+1i+1的直接前驱的直接前驱2 2个下标，个下标，每个元素每个元素ai,j受到两个关系（行关系和列关系）的约束：受到两个关系（行关系和列关系）的约束：一个一个mn的二维

3、数组可以看成是的二维数组可以看成是m行的一维数组，或者行的一维数组，或者n列的一维数组。列的一维数组。N N维数组的特点：维数组的特点：n n个下标，个下标，每个元素受到每个元素受到n n个关系约束个关系约束一个一个n维数组可以看成是维数组可以看成是由若干个由若干个n1维数组组成的线性表。维数组组成的线性表。 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Amn=第2页/共36页4n_ARRAY = (D, R)其中： Ri = | aj1,j2,jijn , aj1,j2,ji+1jn D 数据关系：数据关系：R = R1 ,R2，. Rn 数据对象：数据对象：D

4、= aj1,j2jn| ji为数组元素的第为数组元素的第i 维下标维下标 ，aj1,j2jn Elemset数组的抽象数据类型定义数组的抽象数据类型定义略略，参见教材参见教材P90P90构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素基本操作：基本操作：第3页/共36页5问题：问题：计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维的，怎样存放？计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维的，怎样存放？解决办法：解决办法：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存入存储器中。事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存入存储器中。

5、例如：例如：在二维数组中，我们既可以规定按在二维数组中，我们既可以规定按行行存储，也可以规定按存储，也可以规定按列列存储存储。注意：注意：若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便有规律可寻，可形成地址计算公式；若规定好了次序，则数组中任意一个元素的存放地址便有规律可寻，可形成地址计算公式；约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同；约定的次序不同，则计算元素地址的公式也有所不同；C C和和PASCALPASCAL中一般采用行优先顺序；中一般采用行优先顺序；FORTRANFORTRAN采用列优先。采用列优先。第4页/共36页6无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出任一

6、元素的地址（无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址（这样数组中的任一元素便可以随机存取！这样数组中的任一元素便可以随机存取！) )二维数组二维数组列优先列优先存储的通式为：存储的通式为：LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)*L ac1,c2 ac1,d2 aij ad1,c2 ad1,d2 Amn=单个元单个元素长度素长度aij之前的行之前的行数数数组基址数组基址总列数，即总列数，即第第2 2维长度维长度aij本行前面的本行前面的元素个数元素个数开始结点的存放地址（即基地址）开始结点的存放地址（即基地址）维数和每维

7、的上、下界；维数和每维的上、下界；每个数组元素所占用的单元数每个数组元素所占用的单元数则则行优先行优先存储时的地址公式为：存储时的地址公式为：LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)*L第5页/共36页7例例1软考题软考题：一个二维数组一个二维数组A，行下标的范围是，行下标的范围是1到到6，列，列下标的范围是下标的范围是0到到7，每个数组元素用相邻的，每个数组元素用相邻的6个字节存储，存个字节存储，存储器按字节编址。那么，这个数组的体积是储器按字节编址。那么，这个数组的体积是 个字节。个字节。 288例例3：00年计算机系考研题年计算机系考研题设数

8、组设数组a160, 170的的基地址为基地址为2048，每个元素占，每个元素占2个存储单元，若以列序为主个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素序顺序存储，则元素a32,58的存储地址为的存储地址为 。8950LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)*L得：得：LOC(a32,58)=2048+(58-1)*(60-1+1)+32-1)*28950答：请注意审题！答：请注意审题！利用列优先通式：利用列优先通式：答：答： Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7- 0 +1)*6=48*6=288第6页/共36页8niii1jC其中其中Cn=

9、L, Ci-1=biCi， 1in一个元一个元素长度素长度数组基址数组基址前面若干元素占用前面若干元素占用的地址字节总数的地址字节总数第第i i维长度维长度与所存元素个数有关的系与所存元素个数有关的系数，可用递推法求出数，可用递推法求出教材已给出教材已给出低维低维优先的地址计算公式，优先的地址计算公式，见见P93P93（5-25-2）式式该式称为该式称为n n维数组的映像函数维数组的映像函数：容易看出，数组元素的存储位置是其下标的线性函数，一旦确定了数组的各维的长度，则Ci就是常数！第7页/共36页9讨论：讨论：1. 什么是压缩存储？什么是压缩存储？若多个数据元素的若多个数据元素的值都相同值都

10、相同，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。2. 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。3. 什么样的矩阵具备以上压缩条件？什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。4. 什么叫什么叫稀疏矩阵？稀疏矩阵？矩阵中非零元素的个数较少（一般小于矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%5%）重点介绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。重点介

11、绍稀疏矩阵的压缩和相应的操作。第8页/共36页10问题：问题：如果只存储如果只存储稀疏矩阵中的非零元素，那这些元素的稀疏矩阵中的非零元素，那这些元素的位置信息位置信息该如何表示？该如何表示？解决思路：解决思路：对每个非零元素对每个非零元素增开增开若干存储单元，例如存放其所若干存储单元，例如存放其所在的行号和列号，便可准确反映该元素所在位置。在的行号和列号，便可准确反映该元素所在位置。实现方法：实现方法：将每个非零元素用一个三元组将每个非零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示）来表示，则每个，则每个稀疏矩阵可用一个稀疏矩阵可用一个三元组表三元组表来表示。来表示。二、二、稀疏矩阵的操作稀疏矩阵

12、的操作第9页/共36页11行下标行下标列下标列下标元素值元素值例例2 2：写出右图所示稀疏写出右图所示稀疏矩阵的压缩存储形式。矩阵的压缩存储形式。0 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 0( ( 1,2,12)( 1,2,12) ，(1,3,9)(1,3,9)， (3,1,-3)(3,1,-3)， (3,5,14)(3,5,14)， (4,3,24)(4,3,24)， (5,2,18) (5,2,18) ，(6,1,15)(6,1,15)， (6,4,-7)(6,4,-7) )法法1 1：

13、用线性表表示：用线性表表示：0 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 0第10页/共36页12法法2 2：用三元组矩阵表示：用三元组矩阵表示：0 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 0121213931-3351443245218611564-7注意：注意：为更可靠描述，通常再加一行为更可靠描述，通常再加一行“总体总体”信息：即信息：即总行数、总列数、非零元素总个数总行数、总列数、非零元

14、素总个数668ijvalue稀疏矩阵压缩存储的稀疏矩阵压缩存储的缺点缺点：将失去随机存取功能将失去随机存取功能 ！第11页/共36页1376531211202NUM( i)6543POS( i )21i0 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 0-7461516182524341453-3139311221866vji0123456783用途：用途：通过三元组通过三元组高效访问稀疏矩阵高效访问稀疏矩阵中任一非零元素。中任一非零元素。规律：规律：POS(1)1 POS(i)POS(i-1)+N

15、UM(i-1)第12页/共36页14 #define MAXSIZE 125000 #define MAXSIZE 125000 /设非零元素最大个数设非零元素最大个数125000125000 typedef struct typedef struct int i; int i; /元素行号元素行号 int j; int j; /元素列号元素列号 ElemType e; ElemType e; /元素值元素值 TripleTriple; ; typedef structtypedef struct TripleTriple dataMAXSIZE+1; dataMAXSIZE+1; /三元组表

16、，以行为主序存入一维向量三元组表，以行为主序存入一维向量 data data 中中 int mu; int mu; /矩阵总行数矩阵总行数 int nu; int nu; /矩阵总列数矩阵总列数 int tu; int tu; /矩阵中非零元素总个数矩阵中非零元素总个数 TsMatrixTsMatrix; ; 三元组表的顺序存储表示三元组表的顺序存储表示（见教材（见教材P98P98）：）：/一个结点的结构定义一个结点的结构定义/整个三元组表的定义整个三元组表的定义第13页/共36页150 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0-3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0

17、0 0 015 0 0 -7 0 00 0 3 0 0 1512 0 0 0 18 0 9 0 0 24 0 00 0 0 0 0 -70 0 14 0 0 00 0 0 0 0 0(1, 2, 12)(1, 3, 9 )(3, 1, -3)(3, 5, 14)(4, 3, 24)(5, 2, 18)(6, 1, 15)(6, 4, -7)(1, 3, -3)(1, 6, 15)(2, 1, 12)(2, 5, 18)(3, 1, 9)(3, 4, 24)(4, 6, -7)(5, 3, 14)三三元元组组表表a.data三三元元组组表表b.data转置后转置后MT（以转置运算为例）（以转置运

18、算为例）目的：目的：第14页/共36页16答：答：肯定不正确！肯定不正确！除了：除了： （1 1）每个元素的行下标和列下标互换（即三元组中的）每个元素的行下标和列下标互换（即三元组中的i i和和j j互换互换）；）；还应该：还应该：（2 2）T T的总行数的总行数mumu和总列数和总列数nunu与与M M值不同值不同（互换）；互换）； （3 3）重排重排三元组内元素顺序三元组内元素顺序，使转置后的三元组也按行（或列）为主序有规律的排列。，使转置后的三元组也按行（或列）为主序有规律的排列。上述（上述（1 1）和（）和（2 2）容易实现，难点在）容易实现，难点在（3 3）。 若采用三元组压缩技术存

19、储稀疏矩阵，只要把每个元素的若采用三元组压缩技术存储稀疏矩阵，只要把每个元素的行下标和列下标互换行下标和列下标互换，就完成了对该矩阵的转置运算，这种说法正确吗？，就完成了对该矩阵的转置运算，这种说法正确吗？ 有两种实现方法有两种实现方法压缩转置压缩转置( (压缩压缩) )快速转置快速转置提问：提问：第15页/共36页17思路：思路：反复扫描反复扫描a.dataa.data中的中的列序列序，从小到大依次进行转，从小到大依次进行转置。置。三三元元组组表表a.data三三元元组组表表b.data(1, 3, -3)(1, 6, 15)(2, 1, 12) (2, 5, 18)(3, 1, 9) (3

20、, 4, 24) (4, 6, -7) (5, 3, 14)(1, 2, 12)(1, 3, 9 )(3, 1, -3)(3, 5, 14)(4, 3, 24)(5, 2, 18)(6, 1, 15)(6, 4, -7)11 22col q1234 p1234第16页/共36页18Status TransPoseSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T)T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu; if (T.tu) q=1; for(col=1; col=M.nu; col+) for(p=1; p=M.tu; p+) if (M.datap.j=c

21、ol) T.dataq.i=M.datap.j; T.dataq.j=M.datap.i; T.dataq.value=M.datap.value; q+; return OK; /TranposeSMatrix;压缩转置算法描述压缩转置算法描述：（见教材（见教材P99）/用三元组表存放稀疏矩阵用三元组表存放稀疏矩阵M M，求，求M M的转置矩阵的转置矩阵T T/q q是转置矩阵是转置矩阵T T的结点编号的结点编号/colcol是扫描是扫描M M三元表列序的变量三元表列序的变量/p是是M M三元表中结点编号三元表中结点编号第17页/共36页191 1、主要时间消耗主要时间消耗在查找在查找M.d

22、atap.j=colM.datap.j=col的元素的元素，由两重循，由两重循环完成环完成: : for(col=1; col=M.nuM.nu; col+) 循环次数循环次数nunu for(p=1; p=M.tuM.tu; p+) 循环次数循环次数tutu所以该算法的时间复杂度为所以该算法的时间复杂度为O(O(nunu* *tutu) ) - -即即M M的列数与的列数与M M中非零元素的个数之中非零元素的个数之积积最恶劣情况：最恶劣情况：M M中全是非零元素，此时中全是非零元素，此时tu=mutu=mu* *nunu， 时间复杂度为时间复杂度为 O(O(nunu2 2* *mumu )

23、)注：注：若若M M中基本上是非零元素时，即使用非压缩传统转置算中基本上是非零元素时，即使用非压缩传统转置算法的时间复杂度也不过是法的时间复杂度也不过是O(O(nunu* *mumu) ) （程序见（程序见教材教材P99P99）结论：结论：压缩转置算法不能滥用。压缩转置算法不能滥用。前提：前提：仅适用于非零元素个数很少（即仅适用于非零元素个数很少（即tutumumu* *nunu）的情况。）的情况。压缩转置算法的效率分析压缩转置算法的效率分析：第18页/共36页20思路：经过一次扫描能否确定每个元素转置后的位置思路：经过一次扫描能否确定每个元素转置后的位置三三元元组组表表a.data三三元元组

24、组表表b.data(2, 1, 12)(3, 1, 9)(1, 2, 12)(1, 3, 9 )(3, 1, -3)(3, 5, 14)(4, 3, 24)(5, 2, 18)(6, 1, 15)(6, 4, -7)col q1234 p1234第19页/共36页210 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0-3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 00 0 3 0 0 1512 0 0 0 18 0 9 0 0 24 0 00 0 0 0 0 -70 0 14 0 0 00 0 0 0 0 0转置后转置后MT(1, 2, 12)(1

25、, 3, 9 )(3, 1, -3)(3, 5, 14)(4, 3, 24)(5, 2, 18)(6, 1, 15)(6, 4, -7)第20页/共36页第21页/共36页23col123456numcol222110cpotcol1规律：规律： cpot(1)1cpotcol cpotcol-1 + numcol-10 12 9 0 0 00 0 0 0 0 0-3 0 0 0 14 00 0 24 0 0 00 18 0 0 0 015 0 0 -7 0 0M 3 5 7 8 8col 1 2 3 4 5 6第22页/共36页 0000280000000091039000000006000

26、017000110150022000A76 a0 0 3 22a1 0 6 15a2 1 1 11a3 1 5 17a4 2 3 -6a5 3 5 39a6 4 0 91a7 5 2 28b0 0 4 91b1 1 1 11b2 2 5 28b3 3 0 22b4 3 2 -6b5 5 1 17b6 5 3 39b7 6 0 15C0 c1 c2 c3 c4 c5 c6=1 =2 =3 =4 =6 =6 =8 n0 n1 n2 n3 n4 n5 n6=1 =1 =1 =2 =0 =2 =1第23页/共36页25Status FastTransposeSMatrix（TSMatirx M, TS

27、Matirx &T） T.mu = M.nu ;T .nu = M.mu ; T.tu = M.tu ; if ( T.tu ) for(col = 1; col =M.nu; col+) numcol =0; for( i = 1; i =M.tu; i +) col =M.data i .j ; +num col ; cpos 1 =1; for(col = 2; col =M.nu; col+) cposcol =cposcol-1+num col-1 ; for( p =1; p =M.tu ; p + ) col =M.data p . j ; q =cpos col ; T.dat

28、aq.i = M.datap. j; T.dataq.j = M.datap. i; T.dataq. value = M.datap. value; /for /ifreturn OK; /FastTranposeSMatrix;快速转置算法描述快速转置算法描述：/M/M用顺序存储表示，求用顺序存储表示，求M M的转置矩阵的转置矩阵T T/先统计每列非零元素个数先统计每列非零元素个数/再生成每列首元位置辅助向量再生成每列首元位置辅助向量表表/p/p指向指向a.dataa.data，循环次数为非，循环次数为非0 0元素总个数元素总个数tutu/查辅助向量表得查辅助向量表得q q，即，即T T中

29、位置中位置/重要语句！重要语句！修改向量表中列坐标值，供修改向量表中列坐标值，供同一列同一列下一非零元素定位之用！下一非零元素定位之用！第24页/共36页261. 1. 与常规算法相比，附加了生成辅助向量表的工作。增开了与常规算法相比，附加了生成辅助向量表的工作。增开了2 2个长度为列长的数组个长度为列长的数组( (num 和和cpos ）。 传统转置：传统转置：O(muO(mu* *nu) nu) 压缩转置：压缩转置：O(muO(mu* *tu) tu) 压缩快速转置：压缩快速转置：O(nu+tu)O(nu+tu)牺牲空间效率换时间效率。牺牲空间效率换时间效率。快速转置算法的效率分析快速转置

30、算法的效率分析：2. 2. 从时间上，此算法用了从时间上，此算法用了4 4个并列的单循环，而且其中前个并列的单循环，而且其中前3 3个单循环都是用来产生辅助向量表的。个单循环都是用来产生辅助向量表的。 for(col = 1; col =M.nu; col+) 循环次数循环次数nu;nu; for( i = 1; i =M.tu; i +) 循环次数循环次数tu;tu; for(col = 2; col =M.nu; col+) 循环次数循环次数nu;nu; for( p =1; p =M.tu ; p + ) 循环次数循环次数tu;tu; 该算法的时间复杂度该算法的时间复杂度(nu(nu*

31、*2)+(tu2)+(tu* *2)=O(nu+tu2)=O(nu+tu）讨论：最恶劣情况是讨论：最恶劣情况是tu=nutu=nu* *mu(mu(即矩阵中全部是非零元素），即矩阵中全部是非零元素），而此时的时间复杂度也只是而此时的时间复杂度也只是O(muO(mu* *nu)nu)，并未超过传统转置算法的时间复杂度。，并未超过传统转置算法的时间复杂度。小结：小结：稀疏矩阵相乘的算法见教材稀疏矩阵相乘的算法见教材P101-103P101-103第25页/共36页27广义表是线性表的推广，也称为列表（广义表是线性表的推广，也称为列表（lists）记为：记为： LS = ( a1 , a2 , ，

32、an ) 广义表名广义表名 表头表头(Head） 表尾表尾 (Tail)1、定义：、定义： 第一个元素是表头，而其余元素组成的表称为表尾；第一个元素是表头，而其余元素组成的表称为表尾； 用小写字母表示原子类型，用大写字母表示列表。用小写字母表示原子类型，用大写字母表示列表。n n是表长是表长在广义表中约定：在广义表中约定：讨论：讨论：广义表与线性表的区别和联系？广义表与线性表的区别和联系？ 广义表中元素既可以是原子类型，也可以是列表广义表中元素既可以是原子类型，也可以是列表；当每个元素都为原子且类型相同时，就是线性表。当每个元素都为原子且类型相同时，就是线性表。第26页/共36页28一个直接前

33、驱和一个直接后继一个直接前驱和一个直接后继表中元素个数表中元素个数表中括号的重数表中括号的重数自己可以作为自己的子表自己可以作为自己的子表可以为其他广义表所共享可以为其他广义表所共享特别提示：任何一个非空表，表头可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表特别提示：任何一个非空表，表头可能是原子，也可能是列表；但表尾一定是列表。第27页/共36页29E=(a,E)=(a,(a,E)= (a,(a,(a,.)，E为递归表为递归表1）A =( )2）B = ( e ) 3）C =( a ,( b , c , d ) ) 4）D=( A , B ,C )5）E=(a, E)例例1：求下列广义表的长度。求下列广义表的长度。n=0，因为因为A是空表是空表n=1，表中元素，表中元素e是原子是原子n=2，a 为原子，为原子，(b,c,d)为子表为子表n=3，3个元素都是子表个元素都是子表n=2，a 为原子，为原子，E为子表为子表D=(A,B,C)=( ),(e),(a,(b,c,d)，共享表共享表第28页/共36页30ABDCeabcd A=( a , (b, A) )例例2 2：试用图形表示下列广义表试用图形表示下列广义表. .（设（设 代表原子，代表原子， 代表子表）代表子表） e D=(A,B,C)=( ( ),(e),( a, (b,c,d) )