赵凯华电磁学第三版第一章静电场

1、集中精力！集中精力！ （建议：学前、课程结束后各读一遍）（建议：学前、课程结束后各读一遍）RailGuns are by far the most spectacular type of electromagnetic accelerators ever developed. They hold the record for fastest object accelerated of a significant mass, for the 16km/s firing 电流值：百万安培3 3）电磁现象的普遍性）电磁现象的普遍性 (b) 电磁作用力电磁作用力是是四种四种基本相互作用的基本相互作用的

2、一种：一种： 四种基本相互作用：四种基本相互作用： 电磁，电磁，引力，强相互作用，弱相互作用引力，强相互作用，弱相互作用(a) 各种宏观各种宏观接触力（接触力（如摩擦力、弹力等如摩擦力、弹力等） 的的微观本质微观本质是电、磁作用力；是电、磁作用力；（c）无线电、热、光、无线电、热、光、X X射线、伽马射线射线、伽马射线 都是都是电磁辐射电磁辐射独立的电学、磁学独立的电学、磁学 孤立的静电孤立的静电 孤立的静磁孤立的静磁动电（电流）动电（电流）动磁动磁or变磁变磁 o o 产生电？产生电？生物电、电池生物电、电池的发现的发现麦克斯韦麦克斯韦电磁理论电磁理论，物理学的，物理学的第第二次二次综合，开

3、创电气时代综合，开创电气时代电流电流磁磁效应效应电磁感应现象电磁感应现象4 4）作业作业（P18-19）：）：1.14、5、9、10每两周交一次！每两周交一次！问题问题所有物质摩擦都可起电，有多少种所有物质摩擦都可起电，有多少种 类电？类电？2) 只存在两种电荷只存在两种电荷 如何证明？如何证明？1.1两种电荷两种电荷只有只有两种力两种力只有只有两种电荷两种电荷 3 3）两种电荷定义）两种电荷定义: : 正、负电荷正、负电荷 4 4）电量）电量: : 定义定义：电荷的多少：电荷的多少 测量方法测量方法：验电器（静电测量，如何测量：验电器（静电测量，如何测量 流动流动的电荷量？）的电荷量？） 电

4、量量子化：电量量子化： 1906-19171906-1917年，密立根用液年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变化不连续。化不连续。 电荷守恒定律的表述电荷守恒定律的表述： 在一个和外界在一个和外界没有没有电荷电荷交换交换的系统内，正负的系统内，正负电荷的电荷的代数和代数和在在任何物理任何物理过程中过程中保持不变保持不变。电荷守恒定律是物理学中电荷守恒定律是物理学中普遍的普遍的基本定律基本定律1.2 1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 (law of conservation of charge)(law of conservation

5、 of charge)cQi数学表达数学表达：（1 1）摩擦起电过程：电子）摩擦起电过程：电子得、失；得、失；（2 2）静电感应：电荷）静电感应：电荷重新分配。重新分配。电荷守恒电荷守恒定律定律具体表现具体表现 1.31.3导体、绝缘体、半导体导体、绝缘体、半导体 按照传导、转移电荷的能力，将物体进行分类。按照传导、转移电荷的能力，将物体进行分类。导体导体： 能把电荷从产生地方能把电荷从产生地方迅速迅速地地转移或传导转移或传导到到 其它地方。一般导体金属、石墨、电解液其它地方。一般导体金属、石墨、电解液绝缘体绝缘体：电荷被原子、分子束缚，运动范围小、其上的：电荷被原子、分子束缚，运动范围小、其

6、上的电荷能长久存在。例：电脑的开机电荷能长久存在。例：电脑的开机加电加电模式。模式。半导体半导体：转移电荷的能力：转移电荷的能力介于介于上述两种物质之间上述两种物质之间精确的定义精确的定义: :由电导率由电导率划分划分 导体导体：10108 810106 6西门子西门子米；米； 半导体半导体：10105 51010-6-6西门子西门子 米；米； 绝缘体绝缘体：1010-8-81010-18-18西门子西门子米米1.41.4物质的电结构物质的电结构-揭示电性质的物质基础揭示电性质的物质基础 物质结构物质结构：分子、原子：分子、原子 （原子核（原子核+ +电子）电子） 基本电荷基本电荷：电子、质子

7、：电子、质子 由由物质电结构物质电结构可以解释：可以解释： a)a)带电；带电； b)b)摩擦带电；摩擦带电；c)c)静电感应；静电感应； d)d)各类物质的导电模型各类物质的导电模型 导体：导体： 电荷在其中可以自由移动（电荷在其中可以自由移动（自由电荷）自由电荷） 绝缘体：绝缘体：电荷只能在原子分子尺度内电荷只能在原子分子尺度内微小微小 位移位移，是束缚电荷，自由电子，是束缚电荷，自由电子少少 半导体：半导体：导电粒子为空穴、电子导电粒子为空穴、电子, ,分分P P型型N N型型 ：可计算可计算 )(M 可知可知 FlM)(lF：可测可测 1.5 库仑定律库仑定律( Coulomb Law

8、)文字表述：文字表述：在在真空真空中，中， 两个两个静止点电荷静止点电荷之间的相互作用之间的相互作用力的力的大小大小，与它们的电量的乘积成，与它们的电量的乘积成正比正比，与它们，与它们之间距离的之间距离的平方成反比平方成反比；作用力的；作用力的方向方向沿着它沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。 实验结论实验结论：库仑定律库仑定律（1 1）只有在真空中，库仑定律才成立？）只有在真空中，库仑定律才成立？（2 2）作用力如何产生？）作用力如何产生？ 库仑的物理图像：库仑的物理图像：电荷电荷电荷电荷，正确？，正确？（3 3）库仑实验没有得到了作用力方向，而

9、是根据）库仑实验没有得到了作用力方向，而是根据 对称性分析对称性分析得到得到。得到得到。22112rqqKFrrqqKF22112 r1qq2数学表述数学表述1qq2r r: :电荷电荷2 2 受电荷受电荷1 1的力的力r：从电荷从电荷1 1指向电荷指向电荷2 212FrrqqKF22121 电荷电荷1 1 受受 电荷电荷2 2 的力的力: : 库仑定律中库仑定律中K 的取值的取值 一般情况下，类似物理问题的处理方式有两种：一般情况下，类似物理问题的处理方式有两种：1)1)如果关系式中除如果关系式中除K以外，其它物理量的单位以外，其它物理量的单位已已 经经确定确定, , 那么由实验确定那么由实

10、验确定 K 值值 K 是具有量纲的量是具有量纲的量 如：万有引力定律中的引力常量如：万有引力定律中的引力常量G 就是有量纲就是有量纲 的物理量的物理量G=G=k km m1 1m m2 2/r/r2 2 2) 2) 如果关系式中还有别的如果关系式中还有别的量尚未确定量尚未确定单位单位 则令：则令： K=1=1( (如牛顿第二定律中的如牛顿第二定律中的K) )a=F/ma=F/m第二种第二种 高斯制中高斯制中电量的单位尚未确定电量的单位尚未确定 令令 K = 1 1 库仑定律的库仑定律的常用形式常用形式令令014K 有有理理化化KmN c 9 10922/SI212028.85 10cm N 库

11、仑定律的库仑定律的k值确定值确定 ( (两种方法两种方法) ) 第一种第一种 国际单位制中国际单位制中122q qfr 真空介电常量真空介电常量 要求今后使用该要求今后使用该表达式！表达式！目前使用率低目前使用率低 1)1)库仑定律库仑定律是基本是基本实验实验规律规律 由由宏观宏观实验条件得到；实验条件得到； 微观（单个电子、离子等）微观（单个电子、离子等）亦适用亦适用2)2)点电荷：点电荷： 理想模型理想模型3 3）电力叠加原理）电力叠加原理iiFF 12204q qFrr 1qq2r r施力施力 受力受力12qq? ?讨论讨论库仑定律库仑定律矢量公式矢量公式2 2 电场电场 电场强度电场强

12、度 作业作业p31-33(6,9,13,14p31-33(6,9,13,14）2.1 2.1 电场电场 (electric field ！) 1.1.静电静电场的基本性质场的基本性质 对放其内的任何电荷都有对放其内的任何电荷都有作用力作用力 电场力电场力对移动的电荷可以对移动的电荷可以作功作功静电场：静电场：相对于相对于观察者观察者静止静止的电荷产生的电的电荷产生的电 场，是电磁场的一种场，是电磁场的一种特殊形式（最特殊形式（最单单 纯形式）纯形式）概念概念力的性质？力的性质？ 2. 2.电电作用力作用力的性质的性质-电荷间的作用力电荷间的作用力似似 乎是乎是“远距远距”作用作用远距作用：远距

13、作用：特点：相隔一段距离也能发生作特点：相隔一段距离也能发生作用用 不需要不需要时间时间，不需要，不需要物质传递物质传递 观察观察“例子例子”：电作用力、磁作用力（磁：电作用力、磁作用力（磁 铁）铁）、 万有引力（重力）万有引力（重力） 隔空打穴？隔空打穴？近距作用：近距作用：两个物体之间作用力需要物质传递两个物体之间作用力需要物质传递 例子例子：推力：推力现代物理学的观点：现代物理学的观点：不存在远距作用。即不存在远距作用。即所有所有 的作用都需要的作用都需要物质传递物质传递，均需，均需 要需要要需要作用时间。作用时间。讨论讨论问题问题如何解释电作用力的近距作用？如何解释电作用力的近距作用？

14、引入一种引入一种传递传递电磁作用的媒质电磁作用的媒质以太假说以太假说-不合理；不存在不合理；不存在 电磁场具有电磁场具有物质性物质性（电磁场理论电磁场理论）电磁场的电磁场的物质性物质性表现表现：a）电磁场能独立存在）电磁场能独立存在 b）电磁场具有能量动量电磁场具有能量动量 电荷动量电荷动量+ +电磁场动量电磁场动量=C（守恒）（守恒） 电作用力必须借助物质才能完成，物质何在？电作用力必须借助物质才能完成，物质何在？ 电荷电荷电场电场电荷电荷试探试探电荷电荷条件条件 电量充分地小电量充分地小 线度足够地小线度足够地小不影响原有电荷、不影响原有电荷、电场分布。电场分布。概念概念q0qPF 试探电

15、荷试探电荷q0放到场点放到场点P P处，处，比值比值2004Fqrqr 电荷电荷q q产生电场，求其产生电场，求其电电电电场强度场强度试探电荷试探电荷q q0 0受力受力0204qqFrr 与试探电荷有与试探电荷有关、关、不能代表不能代表电场的性质电场的性质与试探电荷无关：与试探电荷无关：仅与仅与q q、空间位置有关、空间位置有关，反映，反映场的性质场的性质变形变形200( 1)4Fqrqr 单位正电荷所受的力单位正电荷所受的力0FEq 定义定义是描述场中各点电场强弱的是描述场中各点电场强弱的物理量物理量即即: :电场强度电场强度为为矢量矢量：大小、方向与单位：大小、方向与单位正电荷所受电场力

16、的相同正电荷所受电场力的相同矢量场矢量场 FEq 国际单位制量纲国际单位制量纲31LMTI 单位单位NCVm或或量纲、单位量纲、单位qE空间每一点都对应空间每一点都对应一个电场强度矢量一个电场强度矢量 EE rE xyz 所有的矢量组成所有的矢量组成矢量场矢量场点电荷的场强公式点电荷的场强公式根据库仑定律和场强的定义根据库仑定律和场强的定义 球对称球对称！（图示见（图示见 下页）下页）0204qqFrr 由库仑定律由库仑定律0FEq 由场强定义由场强定义0qq rr 讨论讨论 r从源电荷指向场点从源电荷指向场点 场强方向：场强方向： 正电荷受力方向正电荷受力方向204qErr 由上述由上述两式

17、得两式得2.2.电场强度的计算电场强度的计算xzyojA2004Fqrqr 球对称！球对称！静电场静电场基本基本特性特性的的原因原因！任意带电体的场强任意带电体的场强FEq 11iniiniiiFFqq iiEE （a a）如果带电体由如果带电体由 n n 个个点电荷点电荷组成组成1iniiFF iqqir 由静电力由静电力叠加原理叠加原理 由场强由场强 定义定义整理后得整理后得或或方法：方法： 电力叠加原理场强定义电力叠加原理场强定义 r2104i niiiqEr i问题问题如何求如何求 任意任意 带电体的场强？带电体的场强？ 204qqdqEdErr （dqdV d qd s dqdl d

18、E qdqPr dVdqdVdsdl 体体电荷电荷密度密度面面电荷电荷密度密度线线电荷电荷密度密度电荷密度电荷密度一般是位一般是位置的函数置的函数EEE 方法方法： 点电荷电场点电荷电场 叠加叠加q q l rr PE E 例例1 1 等量异号电荷的电场等量异号电荷的电场 电荷之间的距离为电荷之间的距离为 l。220044qqrrrr 30134Epr p rr EEE 220044qqrrrr 则这一对等量异号电荷则这一对等量异号电荷称为称为电偶极子电偶极子pql 电偶极矩电偶极矩: : 若从电荷连线的中点向场点若从电荷连线的中点向场点P画一位矢画一位矢r 若若lrr r q q l r P

19、在可视为电在可视为电偶极子时偶极子时推导：推导：220044qqErrrr 3304qrrErr q q l rr Pr 由图中由图中矢量关系矢量关系22llrrrr 222222,44llrrr lrrr l 平方平方2221/221/2(),()44llrrr lrrr l 3223322114lr lrrrr 32312r lrr 同理同理31r 32312r lrr 3304qrrErr 代入代入 320342qr lErrrrrr 30134Eprp rr 2rrlrrr pql 和和 32013()42rlEq rrq rrrr qqlrrPr（1 1）特殊情况特殊情况(a)(a)

20、连线上，正电荷连线上，正电荷右侧右侧一点一点 P P1 1 的场强的场强 r pp 3024pEr (b)(b)在中垂线上在中垂线上P P2 2点的点的 场强场强304pEr P P1 1讨论讨论qqlrrPr 30134Epr p rr 方向方向? ?P P2 2 方向方向? ?下页下页分析分析0r p pr pr ) pr (333q q l E E E 304pEr 相符相符例例2 2 割割dzdz 2cosdE 2204()dqdErz 22cosrrz ploldzdz zdE dE 22rz rc)c) 元电场积分：元电场积分：02coslrEEdE 包括上下对称电包括上下对称电荷

21、元的贡献，积分范围为荷元的贡献，积分范围为半根半根棒长棒长 2cosdE 222200223 / 20024()2()lledqrErzrzrdzrz 2eqd qd zd zl ploldzdz zdE dE 22rz r22 3/2222()dzzrzrrz 2222200022leerzlErrzrrl 22014qErrl 2eql zrtanzr 223 / 2002()lerdzErz 结果讨论结果讨论 ：l 22012elErrl 02eEr rl 02eEr 22012elErrl cos ,cossin ,sinxxxxdEdEdEdEdEdEdEdE xEE x Rxyzo

22、xr dqdE dE dq ,dq dq 204dqdErr 204dqdErr r 20cos4xqdqEEr 3 22204xqExR 20cos4qdqr 204qEx xR若若xEE x Rxyzoxrcosxr cos ,cossin ,sinxxxxdEdEdEdEdEdEdEdE 讨论讨论rddrrllrLrrLrd-受力平衡受力平衡 例例 电偶极子在电偶极子在均匀电场均匀电场中所受的力矩中所受的力矩 Eo2 L最大，最大，0,. L最小。最小。, 非稳定平衡非稳定平衡, ,0, 稳定平衡。稳定平衡。电场力使电场力使 减小，即电偶极矩减小，即电偶极矩 顺平行顺平行E p 高斯定理

23、高斯定理- -引言引言已掌握的知识、方法已掌握的知识、方法 电荷分布电荷分布电场分布电场分布场中电荷的受力、运动场中电荷的受力、运动 电学问题已经完全尽知？电学问题已经完全尽知？问题问题 （1）已知电场分布，反过来分析电荷分布）已知电场分布，反过来分析电荷分布电场与电荷之间电场与电荷之间的基本关系；的基本关系； （2）一般条件下，电荷运动）一般条件下，电荷运动电荷分布变化电荷分布变化电场分布变化电场分布变化电荷运动变化电荷运动变化电场分布变化：为方程问题，需要知道电场分电场分布变化：为方程问题，需要知道电场分布与电荷分布之间的关系。布与电荷分布之间的关系。如何由电场分布分析电荷分布？如何由电场

24、分布分析电荷分布？ （1）对场（矢量）的特点、性质进行分析）对场（矢量）的特点、性质进行分析 （2）对矢量进行数学计算）对矢量进行数学计算 电、磁矢量场的性质以及电磁矢量场的数学计算电、磁矢量场的性质以及电磁矢量场的数学计算（1）静电场）静电场 + + + +- -特性（结论）：静电场的电场矢量线在电荷处发射、汇聚特性（结论）：静电场的电场矢量线在电荷处发射、汇聚 矢量的数学计算：矢量的数学计算：通过通过一个闭合面的一个闭合面的通量通量（电场线的根数）（电场线的根数）高斯定理高斯定理 （2）恒定磁场）恒定磁场 特性（结论）：恒定磁场的磁场特性（结论）：恒定磁场的磁场 沿环路闭合回路环行沿环路闭

25、合回路环行矢 量 的 数 学 计 算 ： 计 算 沿 环 路 的 环 向 流 量 流矢 量 的 数 学 计 算 ： 计 算 沿 环 路 的 环 向 流 量 流 环路定理环路定理问题：静电场可以计算环向流量？恒定磁场计算通量？问题：静电场可以计算环向流量？恒定磁场计算通量？ 3 3 高斯定理高斯定理 作业作业p(49,50)4,7,12,14p(49,50)4,7,12,14一一. .电场线电场线 用一族空间曲线用一族空间曲线形象地描述形象地描述电场场强分布，电场场强分布， 通常把这些曲线称为电场线通常把这些曲线称为电场线( (electric field a a z z line) ) 为什么

26、要引入电场线？为什么要引入电场线？为什么要规定为什么要规定大小、方向？大小、方向？1.规定规定 （or电场线性质）电场线性质） 电场方向：电场方向：场线上场线上每一点每一点的切线方向；的切线方向； 电场大小：电场大小：在电场中任一点，取一在电场中任一点，取一垂直于垂直于该点场强方向的该点场强方向的面积元面积元，使通过，使通过单位面积单位面积的电场线的电场线数目数目，即电场线数密度，即电场线数密度，等于等于该该点场强的点场强的量值量值。 dSdE dS dS dS 由图可知由图可知, , 通过通过和和电场线的条数相同电场线的条数相同E dE dS 分析分析数学推导数学推导 ndSSd EdSd

27、EdScos n EdSd dS2.2.典型带电体系的电场线典型带电体系的电场线+ + + +- -+ +- -3.3.电场线的性质电场线的性质( (由典型由典型E线观察得到线观察得到) )1) 电场线电场线起始起始于于正电荷正电荷( (或无穷远处或无穷远处) )，1 )1 )终止终止于于负电荷负电荷，不会在没有电荷处，不会在没有电荷处中断中断；2) 带电体系中正负电荷带电体系中正负电荷相等相等时，正电荷发出的时，正电荷发出的电电场场线线全部集中全部集中到负电荷上去。到负电荷上去。3) 两条电场线两条电场线不会相交不会相交；1E 2E 性质性质（3）解释：解释：电场单值性；电场单值性； 4)

28、电电场场线线不会不会形成形成闭合闭合曲线曲线性质性质（2）解释：解释：高斯定理；高斯定理；性质性质（4）解释：解释：环路定理环路定理性质性质（1 1）解释：解释：库仑力，电场强度、电场线定义库仑力，电场强度、电场线定义 二二. .电通量电通量 (electric flux)dE dS 通过任意通过任意面积元面积元的电通量的电通量如何计算通过如何计算通过任意曲面任意曲面的电通量？的电通量？方法方法: :（1 1）把曲面进行面元分割把曲面进行面元分割 （2 2）视每一面元上的）视每一面元上的局部电场局部电场均匀均匀电通量：通过任一曲面的电场线电通量：通过任一曲面的电场线 条数条数积分可得：积分可得

29、：()SEdS E n dSSdS E n 通过通过闭合面的闭合面的电通量电通量通量正负值：通量正负值：取决于面元取决于面元法线方向法线方向的选取的选取如图：如图：若面元法线方向如若面元法线方向如红箭头红箭头所示所示SSdS E dE dS 讨论讨论0E dS 0E dS SE dS 可任意选取法线方向？见可任意选取法线方向？见下页下页 。 S SE dS dS 0E dS 0E dS SEdS 三三. .静电场的高斯定理静电场的高斯定理 Gauss theoremGauss theorem0 除以除以 1.1.表述表述 (a)(a)文字表述文字表述: : 在在真空真空中的静电场内，任一中的静

30、电场内，任一闭合面闭合面的电通量的电通量等于这闭合面所包围的电量的等于这闭合面所包围的电量的代数和代数和 。(b)(b)数学表述数学表述: :0iiSqSdE 2.2.高斯定理的证明高斯定理的证明 说明：说明：由于数学课程（由于数学课程（二重积分）二重积分）进度滞后于进度滞后于电磁学，高斯定理的证明借助电磁学，高斯定理的证明借助电场线电场线图像论证。图像论证。 待学过二重积分后，希望同学结合课件和教材待学过二重积分后，希望同学结合课件和教材，掌握高斯定理的二重积分证明。，掌握高斯定理的二重积分证明。证明：证明： 思路思路（1 1）利用）利用库仑定律库仑定律+ +电场强度定义电场强度定义+ +电

31、场电场 线线+ + 叠加原理；叠加原理；（2 2）先证明）先证明点电荷点电荷的电场遵守高斯定的电场遵守高斯定 理，然后推广至理，然后推广至一般电荷一般电荷的电场的电场1 1） 源电荷是点电荷源电荷是点电荷q在该条件下，在电场中取一包围点电荷，以在该条件下，在电场中取一包围点电荷，以 点电荷为球心，半径为点电荷为球心，半径为r的球面的球面S。S+ +球面上的电通量，即穿过球面球面上的电通量，即穿过球面E E线的根数为线的根数为sE dS 204Sqr dSrr S+ +220044SSqqr dSrdSrr 220044qqrr 0sqE dS 点电荷、曲面为球面点电荷、曲面为球面时，高斯定理成

32、立时，高斯定理成立+ +闭合曲面闭合曲面S为为任意形状任意形状, ,曲面曲面包围包围点电荷点电荷q q时时0sqE dS 时时 推推理理E线线穿出穿出闭合曲面闭合曲面E线线穿入穿入闭合曲面闭合曲面+ +闭合曲面闭合曲面S为任意曲面为任意曲面, ,曲面不包围电荷曲面不包围电荷q q时时点电荷点电荷q发出（或接收）的发出（或接收）的E线线线不中断线不中断0/ )0(0的电荷量闭合曲面内SdEs该条件下，该条件下，闭合曲面闭合曲面S电通量电通量为零为零条数相等条数相等电通量电通量为负为负(q0时时)电通量电通量为正为正（q0时时)0sqE dS 闭合曲面闭合曲面S为为任意形状任意形状, ,曲面曲面不

33、包围不包围点电荷点电荷q q时时绝对值相等绝对值相等阶段结论：阶段结论：在闭合曲面、点电荷（组）条件下，在闭合曲面、点电荷（组）条件下， 高斯定理成立高斯定理成立！0)()( kkisiSiisqSdESdESdE曲面内2 2） 源电荷是源电荷是点电荷点电荷组组iqSiiEE 0kksqE dS 闭合曲面内包闭合曲面内包 围的电量和围的电量和数数学学形形式式2 2）连续电荷分布）连续电荷分布qq 连续电荷连续电荷体积微分体积微分带电单元带电单元点电荷组（点电荷组（ q0,电荷数目电荷数目）前面已证明前面已证明电荷连续分布时：电荷连续分布时： 高斯定成立高斯定成立！0kksqE dS 闭合曲面内

34、包闭合曲面内包 围的电量和围的电量和- 有时电荷量有时电荷量需要需要积分积分求得求得积分方法积分方法证明静电场高斯定理证明静电场高斯定理 起始页起始页平面角平面角：由一点发出的两条射线之间的由一点发出的两条射线之间的夹角夹角证明高斯定理的知识补充：立体角的概念证明高斯定理的知识补充：立体角的概念dr1为半径的弧长为半径的弧长取取dl1dl1r1rdl一般的定义一般的定义：r线段元线段元 与某点的距离为与某点的距离为 ，则线，则线段元对该点所张的平面角段元对该点所张的平面角dld单位：弧度单位：弧度cos0rdlrdld11rdld定义：定义：00rdld同理：同理：dl0r0r立体角立体角面元

35、面元dS dS 对某点所张的立体角：对某点所张的立体角： 锥体的锥体的“顶角顶角”211rdSd 单位：单位：球面度球面度dS0r0对比平面角，取半径为对比平面角，取半径为 ，1r球面面元球面面元 。1dscos2rdSd平面角平面角ddlrdlr0cosddl1r1rdldl0r0dSdr1dS1定义定义同理同理弧度弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角计算闭合曲面对面内一点所张的立体角442020200rrrdSdSSld计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角coslrdl000lrdl2lr0l0rd00l00rr2dlr10球面度球面度库仑定律

36、库仑定律 + + 叠加原理叠加原理思路：思路：先证明点电荷的电场遵守高斯定理，先证明点电荷的电场遵守高斯定理， 然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场1) 1) 源电荷是点电荷源电荷是点电荷在该场中取一在该场中取一包围点电荷包围点电荷的闭合面的闭合面( (如图示如图示) )2.2.高斯定理的证明高斯定理的证明 在闭合面在闭合面S S上任上任取面元取面元sd该面元对点电荷所张该面元对点电荷所张 的的立体角立体角d点电荷在面元处的点电荷在面元处的场强场强为为EqSdSdEdE dSqrr dS402qd40dqSdESS040iiSqsdE内qSdSdE点电荷在面元处的场强为点电荷在

37、面元处的场强为rrqE204 rr 204cosrqds44400qdqS0q在所设的情况下得证在所设的情况下得证（点电荷在曲面内）（点电荷在曲面内）2)2)源电荷源电荷q q仍是仍是点电荷点电荷，位于曲面，位于曲面外外 取一闭合面不包围点电荷取一闭合面不包围点电荷( (如图示如图示) ) 两面元处对应的点电荷的电场强度分别为两面元处对应的点电荷的电场强度分别为21EE，2211sdEsdEd222201121044sdrrqsdrrq 22022210114cos4cosrqdsrqds0做小立体角做小立体角d立体角锥体与闭合立体角锥体与闭合 曲面的截面为曲面的截面为 21, sdsd1Sd

38、Sd1Eq2Sd2r2E12 r1 r20SsdEiSiSiiSSdESdESdE0iiq1SdSd1E1r q2Sd2r1r2E1dd1200iiSqsdE积分方法积分方法证明静电场高斯定理证明静电场高斯定理 结束页结束页01E E SSdE四、由高斯定理分析电场线性质四、由高斯定理分析电场线性质1.1.电场线的起点、终点电场线的起点、终点 （a)a)起点起点 、 夹角为锐角，夹角为锐角，电通量电通量 ，由高斯定理：，由高斯定理： E n0E 00Eq E n电场线电场线起点起点处处一定一定存在存在正电荷正电荷（b)b)终点终点 同样分析同样分析：电场线电场线终点处终点处存在存在负电荷负电荷

39、E n电荷与电场流、聚之间的关系电荷与电场流、聚之间的关系0kksqEdS (c)(c) 高斯定理的高斯定理的形象理解形象理解单一点电荷情形单一点电荷情形: : 正电荷：正电荷： 正电荷发出正电荷发出 根电场线。根电场线。 负电荷：负电荷：来自无穷远的来自无穷远的 根电根电场场线终止于线终止于 负电荷负电荷0q 0q 由由正电荷正电荷发出的电发出的电场场线线全部终止于全部终止于负电荷负电荷qq qq 终止负电荷的终止负电荷的部分部分电电场场线来自于无穷线来自于无穷远远qq 正负电合同时存在时正负电合同时存在时由由正电荷正电荷发出的电场线部分终止于发出的电场线部分终止于 负电荷负电荷，其余的电场

40、线终止于，其余的电场线终止于无穷远无穷远（b b）电场线管电场线管的高斯面及通量的高斯面及通量 ：高斯面高斯面： 侧面侧面+ +两个截面。包围电荷？两个截面。包围电荷？2.2.电场线的疏密与场强电场线的疏密与场强 1E 2E 1 n2 n(a)(a)电场线管的概念：电场线管的概念：由一束电场线由一束电场线 围成的围成的管状区域管状区域。（c c）结论结论电场线电场线稀疏稀疏处，电场处，电场弱弱；电场线电场线密集密集处，电场处，电场强强。0 11220EEE SE S 12211ESEESS 侧面侧面性质：性质：在在侧面侧面上没有电场线穿过上没有电场线穿过通过高斯面的电通量：通过高斯面的电通量：

41、在电荷分布具有在电荷分布具有的情的情况下，况下，0kksqEdS 均匀均匀带电带电球面球面，总电量为总电量为Q， 半径为半径为R，求：电场强度分布。，求：电场强度分布。Q解解: :ESE dS SEdS SEdS 24Er PrSdSRoSE dS 24Er 再再解解高斯定理所规定的方程高斯定理所规定的方程204iiqEr 204iiqEr 求求过场点的高斯面内电量代数和过场点的高斯面内电量代数和204QrREr 0iir Rq 0rRE QEPrSdSRo如何理解球面内的场强为如何理解球面内的场强为0 ?0 ? 2211dSdqdSdq1120 14dSdEr 2220 24dSdEr P1

42、dq2dq在在P点的场强点的场强1dq2dq在在P点的场强点的场强04d 04d 12dEdE 120EdEdE 讨论讨论Q(2)(2)球面上的电场强度球面上的电场强度oErR电场场强的径向分布（如图）电场场强的径向分布（如图）在球面处场强分布在球面处场强分布不连续不连续球面处的球面处的E E取何值？取何值？(b)(b) 在在带电球面（或任意带电体）带电球面（或任意带电体）中，由中，由电场叠加原理知，电场叠加原理知，E EB B=(E=(EA A + E+ EC C)/2)/2仍然成立仍然成立(a)(a)点电荷点电荷电场中，电场中，A,CA,C为相邻两点为相邻两点 ，B B为为 A,CA,C连

43、线的中点。连线的中点。ACAC长度足够小时，长度足够小时， E EB B=(E=(EA A + E+ EC C)/2)/2qABC2020BR8Q)R4Q0(21E (c)(c) 对于对于带电球面带电球面，取，取A,C为充分靠近球面的内外为充分靠近球面的内外两点，中点两点，中点B在球面上在球面上：CAB(d)(d)用用积分法积分法求解球面上的电场强度求解球面上的电场强度 3 22204xdqdExR 对球面积分对球面积分分割球面分割球面Rxyzoxr例例2 2 均匀均匀带电带电球体球体，解：与均匀带电球面解：与均匀带电球面相同，相同，根据根据电荷分布的电荷分布的 对称性，选取合适对称性，选取合

44、适的高斯面的高斯面( (闭合面闭合面) )取取过场点过场点P P，以，以 O O 为球心的球面。为球心的球面。SE dS SE dS SEdS 24Er Q总电量为总电量为半径为半径为R求：电场强度分布求：电场强度分布 先先从高斯定理等式的从高斯定理等式的左方左方入手入手 先先计算高斯面的电通量计算高斯面的电通量QERoPrSdS0kksqE dS 求求过场点的高斯面内的电量代数和过场点的高斯面内的电量代数和33343errQR RrQRriiq3014rQR Rr204Qr RrE204iiqEr 高斯定理高斯定理oErR电场分布电场分布1Er 2Er ？2Er 例例3 3 均匀带电无限长的

45、直线的电场分布均匀带电无限长的直线的电场分布线密度线密度电场电场对称性分析对称性分析rPEd取合适的高斯面取合适的高斯面lr计算通过闭合高斯面的电通量计算通过闭合高斯面的电通量 SsdE 侧面侧面sdErlE2利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lErl sdEsd02Er 极限情况极限情况有限长带电棒的有限长带电棒的 两底面两底面sdEsd0eE21SSESE 侧侧面面例例4 4 均匀带电的无限平面薄板的场强均匀带电的无限平面薄板的场强对称性的分析对称性的分析: :E E的方向、大小的方向、大小 取合适的高斯面（正柱体）取合适的高斯面（正柱体）计算电通量计算电通量EE均匀电场均匀电场 (

46、(相同相同板板/ /面面距离距离) )0 两两底底面面侧侧面面sdEsdEE 1E1nd2E2nd3nd0e212EEE 全空间全空间E均匀均匀1E 1dn 2E 2dn 3dn 1.1.对于本题而言，对于本题而言，仅靠电场叠加仅靠电场叠加分析，分析， 还不能得到电场在全空间均匀的还不能得到电场在全空间均匀的结论，在应用高斯定理时，结论，在应用高斯定理时，要求要求使用使用对称对称 的上、下面。的上、下面。2.2.是否可以是否可以通过高斯定理分析，通过高斯定理分析， 首先首先得到均匀电场的结论？得到均匀电场的结论？ 由此，求由此，求E E时时不再要求对称不再要求对称 的上、下底面。的上、下底面。

47、1E 1dn 2E 2dn 3dn 12EEE ？3.3.也可以通过电场线管理解也可以通过电场线管理解 均匀电场均匀电场0SESEE21 侧侧面面 对称体系体积分知识的简单补充对称体系体积分知识的简单补充1. 球对称体系积分球对称体系积分0rdrr dV)r(q drrSdrdV24 drr )r(drr)r(q2244 RRRrdrrdVV03020344 334RV 2. 柱对称体系柱对称体系 积分积分drr r dV)r(q dr)rl(SdrdV 2 rdr)r(lrldr)r(q 22柱壳体积柱壳体积l球壳体积球壳体积RR4 4 电位及其梯度电位及其梯度 作业作业p(66-69)8,

48、15,27,34p(66-69)8,15,27,34(1)(1)该结论该结论是静电场另一基本性质是静电场另一基本性质(2)(2)其其证明所能依据的证明所能依据的已有已有知识：知识：: : (a)(a)库仑定律库仑定律; ; (b) (b)电场叠加原理（电场叠加原理（高斯定理是否可为依据？高斯定理是否可为依据？）(3)(3)证明思路证明思路: : 首先在单个点电荷的电场中求证首先在单个点电荷的电场中求证 然后扩展到任意带电体系的电场然后扩展到任意带电体系的电场 0qqOPQ( (以正电荷为例以正电荷为例) )。E FdrdAdrKNcoslddlcosld 在在径径矢矢上上的的投投影影是是KNM

49、dl ：lddAF cosdlFl dFdA dl Q电场力电场力沿路径沿路径L做的功做的功 QPrrQPpQFdrldFA QrPr200QrPr0drr4qqEdrq )r1r1(4qq4qqdrr14qqQP00rr00rr200r1QPQP 0qqOPl结论：单个点电荷的电场对试探电荷所做的结论：单个点电荷的电场对试探电荷所做的 功功与路径无关与路径无关, ,只与的只与的起、始点起、始点有关。有关。 l QPiiQpQPpQl dEql dEql dFA00 iQPi0l dEq）（ QP0QP0Qp0QPpQldEdqldEdqldEqldFA）（）（0 LldE l dE） 。PQ

50、1L2L QPQPPQQPLl dEl dEl dEl dEl dE01()L2()L1()L2()Lld典型静电场中的闭合回路积分典型静电场中的闭合回路积分有正功、负功部分有正功、负功部分和和等于零等于零+ +存在？存在？是静电场的基本方程之一；是静电场的基本方程之一；静电场是保守力场；静电场是保守力场；功与路径无关与；功与路径无关与； 等价等价 微分形式：微分形式：0E 0Edl 静电场中静电场中电场线电场线不能闭合不能闭合电场线不能闭合的证明电场线不能闭合的证明反正法：假设电场线可以闭合，反正法：假设电场线可以闭合，如图积分路径每一段上如图积分路径每一段上 ，违反环路定理。，违反环路定理

51、。0 ldE0Edl E QPQPPQl dEql dFA0 QPPQldEqW04.14.1电位差与电位电位差与电位PQ0qE0q PQQPPQAWWW Qpl dEq0: :代表电场的性质，代表电场的性质，APQ与与试探试探电荷有关。电荷有关。 : :0qWPQ只只与电场有关，且与电场有关，且仅仅与与位置（路位置（路径？）径？）有关。因此，左式仅与有关。因此，左式仅与电电场、空间场、空间位位置有关置有关 QPQPPQldEUUU ：QPPQldEqW01 )(PPl dEU势势能能零零点点如何确定某一点的电位？如何确定某一点的电位？0QU不同不同带带电电体系，取体系，取不同不同的的参考电位

52、参考电位零点零点讨论讨论电位（电位（势）零点势）零点( (参考点）的选择参考点）的选择（1 1）当带电体为）当带电体为有限小有限小时时, ,理论上定义理论上定义无穷远处无穷远处PPPldE)(UUU0 此时，无穷远处的电位此时，无穷远处的电位也自然也自然为零（后面为零（后面以点电荷电位为例说明）以点电荷电位为例说明） 也可以取也可以取非无穷远非无穷远电位零点，虽然各点电位电位零点，虽然各点电位值改变，但不影响电场描述（原因？）。值改变，但不影响电场描述（原因？）。的电位为零，此时，电场中任一点的电位为零，此时，电场中任一点P点的电位点的电位（2 2）当带电体为）当带电体为无限大无限大时时, ,

53、定义电场中的定义电场中的某点某点为为（a a）一维无穷大：无穷长带电线）一维无穷大：无穷长带电线PrePePprlndrrUUU0022 )ln(ln20Per0Up为为无穷大，取无穷大，取非无非无穷远穷远为电位零点，数为电位零点，数学上合理。学上合理。（b b）二维无穷大：无穷大带电板）二维无穷大：无穷大带电板PrePePprdrUUU0022 电位零点。电位零点。沿电场方向的电位变化沿电场方向的电位变化PQEldPQQPQPUUl dEUU0电位沿电场线减小，与移动电荷无关电位沿电场线减小，与移动电荷无关在电场力的推动下，电荷所在位置的电位的变化在电场力的推动下，电荷所在位置的电位的变化正

54、电荷：正电荷： 顺电顺电场场线移动线移动 电位：高电位：高 低低负电荷：负电荷： 逆电逆电场场线移动线移动 电位：低电位：低 高高电场力做功与电位差电场力做功与电位差：)UU(qAQPPQ0rldEdrrQr204 rQU04QPr Erd PPl dEUrdrrQr204rdl d PldEUdrr4Qdl0R20Rr RQor r4QERr0ERr20 Pr2004RrRQdldrr 204rQUdrr 04Qr RQoPr场点场点P P在球面外时在球面外时, , 即即04QR RrR4QU0 电电位位空间分布空间分布r4QU0 Rr 与电量集中在球心的与电量集中在球心的点电荷点电荷的电势

55、分布的电势分布相同相同电位分布电位分布图示图示Ur0R等势体等势体Er0R E E不连续，不连续， 而而U U连续连续 U U可以不连续可以不连续? ?4.34.3 电位叠加原理电位叠加原理 PkPpl d)EEE(l dEU21iPiPUU PkPPl dEl dEl dE11PkPPUUU 21iiPirqU04 Upi为为qi单独存在单独存在时产生的电位时产生的电位电位叠加原理电位叠加原理文字表述文字表述 点电荷组在空间某一点的点电荷组在空间某一点的电位，等于各点电荷电位，等于各点电荷单独存单独存在在时在该点的电位和时在该点的电位和。 1r多个多个点电荷点电荷体系的电位体系的电位2rkrP（2 2）连续分布带电体系的电位）连续分布带电体系的电位prO P P 带电体带电体在在P点产生的总电位点产生的总电位rrdV)r(rdqdUpe0044 元电荷在元电荷在P点产生的电位点产生的电位分割