二元一元方程组综合指导

1、二元一元方程组综合指导 丰富的问题情境含义二元一次方程组解法应用代入消元法加减消元法图象法一、了解知识网络二、明确复习目标1掌握二元一次方程组及它的解的概念，会检验一对数值是不是某个方程或方程组的解；2掌握解二元一次方程组基本步骤，能灵活地运用代入法、加减法解二元一次方程组；3能找出实际问题中的未知量与已知量，并能利用它们之间的关系列出二元一次方程组解决实际问题；4进一步掌握消元思想、转化思想等数学思想方法三、解读重点难点（一）正确理解四个基本概念1二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：（1）是方程；（

2、2）有且只有两个未知数；（3）方程是整式方程，即各项都是整式；（4）各项的次数最高为1，例如：像中，不是整式，所以就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点2二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如，都是二元一次方程组，但就不是二元一次方程组3二元一次方程的一个解适合二元一次

3、方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有唯一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解（二）熟练掌握两种基本方法1代入消元法解方程组的基本思路是“消元”-把“二元”转化为“一元”，其

4、主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法其主要步骤可以概括成三句话：（1）求关系式：用一个未知数的值去代替另一个未知数注意：求关系式时，应选取系数比较简单的方程进行变形（2）代入消元：将求得的关系式代入到另一个方程，消去其中的一个未知数，并求出另一个未知数的值注意：代入消元时，一定将求得的关系式代入另一个方程进行消元（3）回代得解：将求得的这个未知数的值代入关系式中，求出另一个未知数的值，最后写成方程解的形式回代得解时，应将求得的未知数的值代入

5、变形后的关系式中，求出另一个未知数的值，并写成方程解的形式，最后还要下结论2加减消元法通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法其主要步骤也可以概括成三句话：（1）变换系数：将某一未知数的系数变成相等或互为相反数注意：变换系数时，要选取系数较为简单的未知数作为消元对象，不要漏乘方程中的某一项，特别是常数项！（2）加减消元：就是将变形后的方程与另一个方程相加或相减，消去一个未知数注意：加减消元时，要将方程组中相同未知数上下对齐，以便观察是用加法还是用减法消元，并注意计算中容易错的地方，特别是符号！（3）回代得解：注意：回代得解时，可将求出的未知数的

6、值回代到原来方程组中任意一个方程，从而求出另一个未知数的值，最后要写成解的形式！总之，代入法和加减法都是解二元一次方程组最基本、最常见的方法，在解方程组时，如果题目无具体要求，可选用任何一种方法，至于选择哪种方法，一定要先对系数进行认真观察分析，根据系数的具体特点，选择较为简便的方法（三）关注实际应用1列方程组解应用题的关键应用方程组解决实际问题的关键再于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性2列二元一次方程组的应用题的一般步骤（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（4）

7、列：根据这个相等关系列出重要的代数式，从而列出方程（组）；（5）解：解这个所列出的方程（组）；（6）验：检验根是否符合实际情况；（7）答：写出答案可以简记为：“审、设、找、列、解、验、答”七个字，请同学们要牢记3注意实际问题中的基本数量关系及关键词 常用的数量关系有：（1）距离=速度时间；（2）工作量=工作效率工作时间；（3）商品的销售额=商品销售价商品销售量；（4）商品的总销售利润=（销售价成本价）销售量；（5）商品售价=标价折数（6）商品的利润率=100等等还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如：“提前”、“超过”、“早到”、“迟到”、“几倍”、“增加了”、“相向而行”

8、、“同向而行”等等4列二元一次方程组解应用题常用策略（1）“直接”与“间接转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然（2）“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然（3）“部分”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题（4）“一般”与“特殊”转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然（5）“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意四、思想方法在复习这部分内容时，要密切关注两种重要的数学思想方法消元转化1消元思想：同学们在学会了代

9、入法和加减法解二元一次方程组，首先要搞清解方程组的基本思想就是：“消元”，它的基本模式就是：二元一次方程组 一元一次方程，它的基本方法就是：代入法和加减法通过代入或加减达到将“二元”转化为“一元”的目的2转化思想：解二元一次方程组的实质是通过消元将二元转化为一元，在这种“消元”中，渗透了化“未知”为“已知”的重要的转化思想方法列二元一次方程组解决实际问题的实质是将实际问题转化为数学问题转化是一种重要的思想方法，在解题中主要体会这种思想方法的灵活应用五、易混、易错点提示1对二元一次方程组的定义理解得不准确，如：“未知项的次数都是1”理解为“每个未知数的次数都是1”，误认为xy+2=0也是二元一次

10、方程2用代入消元法解方程组时，求解不完整，只求出一个未知数就以为求出方程组的解了，这是对方程组的解不明确的一种表现3用加减消元法时，当减去一个负系数时，总以为这个负系数为“-”，就是减号，忘记了减去一个数等于加上这个数的相反数的法则4解一元一次方程的基本技能不过关，时常在去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1等步骤出现错误5列二元一次方程组解应用题时，时常找不到等量关系、单位不统一等错误六、考点、热点解密1考基本概念型例1（2006年河北省课程改革实验区）九章算术是我国东汉初年编订的一部数图12图11学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的，为

11、看图方便，我们把它改为横排，如图11、图12图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项把图11所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图12所示的算筹图我们可以表述为AB C D析解：本题主要考查学生的看图能力，只要看懂图1-1、图12图中各行从左到右列出的算筹数，再改写成方程组即可，由图1-1所得的方程组，我们就可以推断出图1-2中的方程组，故选A2考基本性质型例2（2006年山西省）方程有一组解是，则的值是（ ）（A）1（B）1（C）0（D）2析解：根据二元一次方程的解的定义可知，因为是方程方程有一组解，所以代入方程后，左右两边的值相等，从而

12、使方程只含有一个字母系数可求出把代入方程，得，解得=1，故应选（A）3考基本解法型 例3（2006年宿迁市）解方程组：解：方法一（加减消元法）：2得：6x2y10 ，得：11x33，x3把x3代入得：9y5，y4，所以 方法二（代入消元法）：由得：y3x5 ，把代入得：5x2(3x5)23，11x33，x3 ，把x3代入得：y4，所以4考综合应用型例4（2006年日照市）已知方程组的解x、y满足2x+y0，则m的取值范围是（ ） （A）m-（B）m（C）m1（D）-m1析解：本题先通过解方程组，解出x，y的值，再代入不等式2x+y0中，从而求出m的取值范围，应选A点评：本题主要考查二元一次方程

13、组与一元一次不等式的综合运用能力5考实际应用型例5（2006年济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由解：（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得 解这个方程组，得答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐 （2）因为，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐6综合决策型例6（2006

14、年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：， 解之得：x=40，y=60 （2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，根据题意，要使工程在