蝴蝶定理的证明及推广

1、摘 要蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。关键词：蝴蝶定理；证明；推广；一 摘要蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志男士日记上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大

2、的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录老师以平面几何中的名题及其妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。1作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。2指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。 在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在几何证题法中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝

3、形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。二 蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则 ，于是。1证法2 过作关于直线的对称点，如

4、图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而 由、知，故。证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven给出）如图5，并令由，即化简得 即 ，从而 。证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以

5、下列出几个例子以供参考。证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。5证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1

6、在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;记 PM E, QM F,PMC, QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2S3S4S1= 1知M P

7、M Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+)MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )=DQM P2EPMQ2 = 1,即 QFQDM P2= PCPEMQ2. 又由割线定理知PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM.3（二）猜想

8、2在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2已知直线 AB与 O相离. OM AB, M 为垂足. 过 M作 O任意两条割线 MC, M E分别交 O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F作 FKAB, 交直线 OM于 N,交 O于 K .连结 M K交 O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .又

9、由割线定理知M EM F = MGM K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM

10、 .推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 从而利用 MACMBD知M平分 CD, 利用 MAEMBF知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE CF. 又由于 M平分 EF,故利用 M EP M FQ知 PM = QM。4 结 论从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2 .圆可以改为任意二次曲线。3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。参考文献1 沈文选.走向国际数学奥林匹