数分定理上册

1、1. 可列个可列集之并也是可列集。2. 有理数集Q是可列集。3. 三角不等式a-ba+ba+b。4. 平均值不等式5. 确界存在定理实数系连续性定理：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数 集必有下确界。6. 非空有界数集的上（下）确界是惟一的。7. 数列极限的性质（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必惟一。（2）数列的有界性：收敛数列必有界。（3）数列的保序性：设数列均收敛，若且，则存在正整数N，当nN时，成立。推论：1）.若0,则存在正整数N，当nN时，； 2）.若N时，.（4）极限的夹逼性：若三个数列，从某项开始成立 ，n, 且=则。8. 数列极限的四则运算（详见P42）。9. 设，则

2、是无穷大量的充分必要条件是是无穷小量。10. 设是无穷大量，若当n时,成立，则是无穷大量。11. 设是无穷大量，则与都是无穷大量。12. （Stolz定理）设是严格单调增加的正无穷大量，且（a可以为有限量，+与-），则。13. 单调有界数列必定收敛。14. （闭区间套定理）如果形成一个闭区间套，则存在惟一的实数属于所有的闭区间，且=。15. 实数集R是不可列集。16. 若数列收敛于a，则它的任何子列也收敛于a，即= a 17. 推论：若存在数列的两个子列与，分别收敛于不同的极限，则数列必定发散。18. （Bolzano-Weierstrass 定理）有界数列必有收敛子列。19. 若是一个无界数

3、列，则存在子列，使得。20. (Cauchy收敛原理) 数列收敛的充分必要条件是：是基本数列。21. 实数系的完备性等价于实数系的连续性。22. 函数极限的性质（1） 极限的唯一性：设A与B都是函数f(x)在的极限，则A=B。（2） 局部保序性：若，且AB,则存在0，当时，成立。推论1：若0，则存在0，当时，成立。推论2：若，且存在，使得当时，成立，则。推论3（局部有界性）：若，则存在0，使得f（x）在中有界。（3）夹逼性：若存在，使得当时，成立，且，则。23. 函数极限四则运算（详见P77）24. Heine定理：的充分必要条件是：对于任意满足条件，且的数列，相应的函数值数列成立。25. 存

4、在的充分必要条件是：对于任意满足条件，且的数列，相应的函数值数列收敛。26. =。（左右极限存在并且相等）27. 函数极限存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的0，存在X0，使得对一切，成立。28. 连续函数的四则运算（详见P91）。29. 开区间上单调函数的不连续点必定为跳跃点，30. 反函数存在性定理：若函数，是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数，并且也是严格单调增加（减少）的。31. 反函数连续性定理：若函数在闭区间上连续且严格单调增加，则它的反函数在,连续且严格单调增加。32. 若在点连续，又在点连续，则复合函数在点连续。33. 一切初等函数在其定义区间上连续。34. 0时

5、，sin，1-cos， tan-sin，ln（1+），-1，（1+）-1，tan。，。tan。35. 设，和在的某个去心邻域U上有定义，且（即（），那么（1）当时，；（2）当时，。36. 有界性定理：若函数在闭区间上连续，则它在a，b上有界。（开区间上的连续函数就不一定是有界，如=1/x，在开区间（0，1）上）37. 最值定理：若函数在闭区间上连续，则它在上必能取到最大值与最小值，即存在和，对于一切x成立。38. 零点存在定理（介值性的推论）：若函数在闭区间上连续，且，则一定存在，使得。39. 中间值定理（介值性）：若函数在闭区间上连续，则它一定能取到最大值和最小值之间的任何一个值。40. 推

6、论：若函数在闭区间上连续，m是最小值，M是最大值，则的值域是闭区间。41. 设函数在区间X上定义，则在X上一致连续的充分必要条件是：对任何点列（）和（），只要满足，就成立。（为判断非一致连续性提供便利）42. Cantor定理：若函数在闭区间上连续，则它在上一致连续。43. 函数在有限开区间连续，则在上一致连续的充分必要条件是：和存在。44. 若函数在x处是可微的，那么当0时必有y0，即在x处连续，所以可微必定连续。45. 函数在x处可微的充分必要条件是它在x处可导。46. 和在某一区间上都是可导的，则=， ， 47. 反函数求导定理：若函数在上连续、严格单调、可导并且0，记=min（，），=

7、max（，），则它的反函数在（，）上可导，且有。48. 基本初等函数的导数和微分公式（详见P139140）49. 多个函数线性组合的导函数，其中为常数。50. 多个函数乘积的导函数。（可用数学归纳法证明）51. 复合函数求导法则：设函数在可导，而函数在处可导，则复合函数在可导，且有 = 52. 链式法则： 53. 形如的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用的方法叫对数求导法，计算时，先对两边取对数，再分别求导。54. （sin） =sin（+）。（cos） =cos（+）。 55. 特别的！。56. 设和g（x）是n阶可导的，则对于任意常数 和，它们的线性组合也是n阶可导的，且= 。5

8、7. Leibniz公式，是组合系数。58. ，y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分的n次方（此公式不能推广到中间变量的情况）。59. 费马Fermat引理：设是的一个极值点，且在处存在导数，则 。60. 罗尔Rolle定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则至少存在一点，使得。61. 罗尔Rolle定理的几何意义：满足定理条件的函数一定在某一点存在一条与x轴平行，亦即与曲线的两个端点的连线平行的切线。62. 拉格朗日Lagrange中值定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则至少存在一点，使得（Lagrange公式）。63. 若函数在上可导且有，则在上恒为常数。64.

9、 一阶导数与单调性的关系：设函数在区间I上可导，则在I上单调增加的充分必要条件是：对于任意有；特别地，若对于任意有，则在I上严格单调增加。65. 二阶导数与凸性的关系：设函数在区间I上二阶可导，则在区间I上是下凸函数的充分必要条件是：对于任意有；特别地，若对于任意有，则在I上是严格下凸函数。66. 设函数在区间I上连续，。a) 设函数在和上二阶可导。若在与上的符号相反，则点是曲线的拐点；若在与上的符号相同，则点不是曲线的拐点。b) 设函数在上二阶可导，若点是曲线的拐点，则=0.67. Jensen不等式：若函数为区间I上的下凸（上凸）函数，则对于任意和满足的，成立a) （）b) 特别地，取，就

10、有（）68. Cauchy中值定理：设函数和都在闭区间上连续，在开区间上可导，且对于任意。则至少存在一点，使得。69. LHospital法则：设函数和在上可导（d是某个正常数），且。若此时有=0或=，且存在（可以是有限数或），则成立=。70. 带Peano余项的Taylor公式：设在处有n阶导数，则存在的一个邻域，对于该邻域中的任一点x，成立 其中余项。上述公式称为在x=处的带Peano余项的Taylor公式，它的前n+1项组成的多项式称为的n次Taylor多项式，余项称为Peano余项。71. 带Lagrange余项的Taylor公式：设在上具有n阶连续导数，且在有n+1阶导数，设为一定点

11、，则对于任意x，成立 其中余项在x和之间。上述公式称为在x=处的带Lagrange余项的Taylor公式，余项（在x和之间）称为Lagrange余项。72. 插值多项式和余项等其余内容详见P195201.73. 函数在x=0处的Taylor公式又称为函数的麦克劳林Maclaurin公式：（Peano余项），(Lagrange余项)。74. 余项或。75. 。76. 。77. 。78. 极值点判定定理：设函数在点的某个邻域中有定义，且在点连续。a) 设存在0,使得在与上可导，1. 若在上有，在上有，则点是的极大值点。2. 若在上有，在上有，则点是的极小值点。3. 若在与上同号，则不是的极值点。b

12、) 设，且在点二阶可导1. 若，则是的极大值点；2. 若，则是的极小值点；3. 若，则可能是的极值点，也可能不是的极值点。79. 不定积分的线性性质：若函数和的原函数都存在，则对任意常数，函数的原函数也存在，且有d=.80. 基本积分表（详见P256-257）81. 有理函数的分解P26382. 若在原有划分中加入分点形成新的划分，则大和不增，小和不减。83. 对任意和,恒有84. Darboux定理：对任意在上有界的函数，恒有 。85. 有界函数在可积的充分必要条件是，对于任意划分P，当时，Darboux大和与Darboux小和的极限相等，即成立。86. 有界函数在可积的充分必要条件是，对于

13、任意划分，当时，。87. 有界函数在可积的充分必要条件是，对于任意给定的0,存在着一种划分，使得相应的振幅满足。88. 闭区间上的连续函数必定可积。89. 闭区间上的单调函数必定可积。90. 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。91. 定积分的基本性质a) 线性性质：设和都在上可积，和是常数。则函数在上也可积，且有dx=dx+dx。1. 推论：若在上可积，而只在有限个点上与的取值不相同，则在上也可积，并且有dx=dx。b) 乘积可积性：设和都在上可积，则*在上也可积。c) 保序性：设和都在上可积，且在上恒有，则成立dxdx。d) 绝对可积性：设在上可积，则在上也可积，且成立。e) 区

14、间可加性：设在上可积，则对任意点c，在和上都可积；反过来，若在和上都可积，则在上可积。此时成立dx= +。f) 积分第一中值定理：设和都在上可积，在上不变号，则存在, 使得 ， 这里M和m分别表示在的上确界和下确界。 1. 特别地，若在上连续，则存在，使得 。2. 更加特殊的一种情况，在上连续，而时，上述积分第一中值定理的结论变成：。（有明显的几何意义）g) 积分第二中值定理：设在上可积，在上单调，则存在，使得。 1. 若在上单调增加，且，则存在，使得。2. 若在上单调减少，且，则存在，使得。92. 不等式：设，在上连续，p，q为满足的正数，则。93. 设和都在上可积，a) Schwarz不等

15、式：b) Minkowski不等式：+94. 设在上可积，作函数 x，a) 是上的连续函数；b) 若在上连续，则在上可微，且有 =。（对积分上限求导）1. 推广95. 微积分基本定理：设在上连续，是在上的一个原函数，则成立（NewtonLeibniz公式）。96. 定积分的分部积分法：设在区间上有连续导数，则。上式也能写成下列形式。97. 定积分的换元积分法：设在上连续，在区间（或区间）上有连续导数，其值域包含于，且满足和，则。98. 设在对称区间上可积，a) 若是偶函数，则成立；b) 若是奇函数，则成立。99. 设是以T为周期的可积函数，则对任意a，。100. 规定0！=1，101. 设在0

16、,1上连续，则：a) ；b) 。102. 弧长公式：若由参数方程确定的曲线是光滑曲线，其弧长为103. 一些计算公式直角坐标显式方程， 直角坐标参数方程极坐标方程平面图形面积弧长的微分曲线弧长旋转体体积旋转曲面面积104.105.106. Cauchy收敛原理：反常积分收敛的充分必要条件是：对任意给定的，存在，使得对任意,有。107. 若反常积分绝对收敛，则它一定收敛。108. 非负函数反常积分的收敛判别法a) 比较判别法：设在上恒有，其中K是正常数，则1. 当收敛时也收敛；2. 当发散时也发散。b) 比较判别法的极限形式：设在上恒有0和0，且，则1. 若，则收敛时也收敛；2. 若，则发散时也发散。所以，当，和同时收敛或同时发散。c) Cauchy判别法：设在上恒有0，K是正常数，1. 若，且p1,则收敛；2. 若，且p1，则发散。d) Cauchy判别法的极限形式：设在上恒有0，且 ，则1. 若，且p1,则收敛；2. 若，且p1，则发散。109. 一般函数反常积分的收敛判别法：若下列两个条件之一满足，则收敛：a) （Abel判别法）：收敛，在上单调有界；b) （Dirichlet判别法）：= 在上有界，在上单调且=0。110. 无界函数反常积分的收敛判别法：a) Cauchy收敛原理：反常积分收敛的